2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Степенное диофантово уравнение
Сообщение24.08.2006, 09:11 
Решить в целых числах:
$3^k+5^k=n^m,m>1.$

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 13:32 
А что ищем? к?

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 13:42 
Ищем k,n,m.

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 13:51 
Аватара пользователя
Раз, два, три - очевидно, а дальше не думал. :D

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 13:57 
Аватара пользователя
Во-первых, заметим, что $n$ обязано быть четно. Тогда, рассматривая уравнение по модулю 4, получаем, что $k$ - нечетно, а поэтому
$$3^k + 5^k = (4-1)^k + (4+1)^k \equiv 8k\equiv 8\pmod{16}$$.
Отсюда немедленно следует, что $m=3$ и $n=2t$, где $t$ - нечетное.

Очевидно, что $k=t=1$ является решением уравнения $3^k + 5^k = 8 t^3$. Других решений у него нет, что можно установить, например, рассматривая это уравнение по модулю 15624.

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:11 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
Рассматривая уравнение $3^k + 5^k = 8 t^3$ по модулю 15624...
:shock:
Когда с неба сваливаются такие числа, это всегда звучит как цитата из какого-нибудь бородатого анекдота про математиков ("Ну, коллега, это же совершенно очевидно..."). :lol:

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:17 
Аватара пользователя
ИСН писал(а):
maxal писал(а):
Рассматривая уравнение $3^k + 5^k = 8 t^3$ по модулю 15624...
:shock:
Когда с неба сваливаются такие числа, это всегда звучит как цитата из какого-нибудь бородатого анекдота про математиков ("Ну, коллега, это же совершенно очевидно..."). :lol:

Число 15624 выбрано так, что оно, во-первых, равно $5^6-1$ (то есть период степеней 5-ки по его модулю мал), а, во-вторых, делится на $3^2$ (что не дает решению $3+5=8$ распространяться на большие степени $k$).
Отсутствие других решений рассматриваемого уравнения при этом устанавливается на компьютере тупым прогоном всех возможных $k$ и всех возможных $t$.

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:22 
Решается безо всяких прогонов на компьютере.

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:26 
Аватара пользователя
С компьютером быстрее. Дело пары минут.
Тем, кому интересен подобный метод доказательства - см. http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=48431

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:26 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
Отсутствие других решений рассматриваемого уравнения при этом устанавливается на компьютере тупым прогоном всех возможных $k$ и всех возможных $t$.

:evil: На компутере? "Шоб зло пресечь, собрать все эти компы и сжечь" (с-цопирайт). Енто не математиский подход... я бы даже сказал антиматематиский :twisted:

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:30 
Аватара пользователя
Highwind писал(а):
:evil: На компутере? "Шоб зло пресечь, собрать все эти компы и сжечь" (с-цопирайт). Енто не математиский подход... я бы даже сказал антиматематиский :twisted:

И что же в нем такого антиматематического?
Все то же самое можно проделать с ручкой и бумажкой, просто на компьютере получится гораздо быстрее.

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:35 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
И что же в нем такого антиматематического?
Все то же самое можно проделать с ручкой и бумажкой, просто на компьютере получится гораздо быстрее.

Антиматематический он в том, что без компьютера этот "тупой" прогон займет очень много времени, а наверняка есть более изящные способы. Собственно, каков прогон, таково и решение.

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:40 
Аватара пользователя
Highwind писал(а):
Антиматематический он в том, что без компьютера этот "тупой" прогон займет очень много времени, а наверняка есть более изящные способы. Собственно, каков прогон, таково и решение.

Не соглашусь. Сведение к конечному перебору - это путь решения многих задач (самый известный пример - проблема 4-х красок), так что ничего антиматематического в нем нет.
А насчет более/менее изящных способов - это вопрос скорее эстетики.

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:42 
Так как справа куб числа не делящегося на 3, то остаток при делении на 9 может быть равным 1 или 8, т.е. (при k>1) $5^k=1 \ or \ 8 (mod \ 9)$. Отсюда следует, что k делится на 3. Учитывая, что $3^{3l}+5^{3l}=(3^l+5^l)(3^{2l}-3^l5^l+5^{2l})$ и сомножители взаимно просты получаем, что каждый из них куб. Таким образом, доходим, что кубом является и число, когда k не делится на 3. А этого не может быть при k>1 согласно проверке по остаткам по модулю 9, как ранее установили.

 
 
 
 
Сообщение24.08.2006, 14:42 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
Не соглашусь. Сведение к конечному перебору - это путь решения многих задач (самый известный пример - проблема 4-х красок), так что ничего антиматематического в нем нет.
А насчет более/менее изящных способов - это вопрос скорее эстетики.

:evil: Ну дык и я об том же. Собстна, когда надо шо-то перебрать, это чаще какая-то практическая и не очень интересная с точки зрения математики задача, но решить которую надыть позарез, а то завтра газ перекроють :shock: . А когда надыть решить такую задачу, то подразумевается, что решение должно быть сколько-нибудь красивым.

 
 
 [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group