Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения

[Modest]

Отделил «Соотношение с логарифмом».

Отделил очередное «Соотношение Эйлера». Просьба обращать внимание на слово "малоизвестные" в заголовке темы.

Отделил «Соотношения с конечными разностями». Пожалуй, на "малоизвестные" не тянет, но могут быть какие-то интересные обсуждения.

[Padawan]

Не знаю, малоизвестно или нет. Я не знал до недавнего времени, по крайней мере.
Формула суммирования Пуассона (англ. вики)

$$\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty \hat f\left(k\right),$$

где $\hat f(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)e^{-2\pi i xy} dx$.

Условия на функцию $f$ -- 1) $f$ абсолютно интегрируема на всей прямой (чтобы преобразование Фурье имело смысл) 2) в любой точке $n\in\mathbb Z$ функция $\varphi(x)=f(x-n)$ в нуле является суммой своего ряда Фурье 3) существует $R>0$ такое, что в промежутках $(-\infty,R)$ и $(R,+\infty)$ функция $f$ имеет ограниченную вариацию.

[nnosipov]

Пусть $\Lambda$ --- решетка целых гауссовых чисел (на комплексной плоскости) и $\beta \not\in \Lambda$. Тогда

$$\pi=\frac{1}{\beta}+\frac{1}{1-\beta}+\sum_{0 \neq \alpha \in \Lambda}\left(\frac{1}{\alpha+\beta}+\frac{1}{1-\alpha-\beta}+\frac{1}{\alpha^2}\right).$$

Это тождество связано с дзета-функцией Вейерштрасса $\zeta(z,\Lambda)$, ассоциированной с решеткой $\Lambda$. Доказательство вполне элементарно.

[KKKKCD 3000]

Самая простая серия замечательных соотношений, где в правых частях равенства идут последовательно нечётные натуральные числа и где количество слагаемых равно соответствующему основанию третьей степени:

$1^3=1,$

$2^3=3+5,$

$3^3=7+9+11,$

$4^3=13+15+17+19,$

$5^3=21+23+25+27+29,$

$6^3=31+33+35+37+39+41,$

$7^3=43+45+47+49+51+53+55, -$

что в общем виде можно написать:

$n^3=\sum\limits_{k=\frac{n(n-1)}{2}}^{\frac{(n-1)(n+2)}{2}}[2k+1].$

[Padawan]

1) Соотношение для якобианов (непосредственное следствие формулы Бине-Коши)
Если

$$ \begin{array}{cccccc} \mathbb R^n &\longrightarrow &\mathbb R^m &\longrightarrow &\mathbb R^l \\ x &\longmapsto&y & \longmapsto &z \end{array} $$

то для любого набора индексов $1\leqslant i_1<\ldots<i_p\leqslant l$, $1\leqslant j_1<\ldots< j_p\leqslant n$

$$ \frac{\partial(z_{i_1},\ldots, z_{i_p})}{\partial (x_{j_1},\ldots, x_{j_p})}=\sum\limits_{1\leqslant k_1<\ldots<k_p\leqslant m} \frac{\partial(z_{i_1},\ldots, z_{i_p})}{\partial (y_{k_1},\ldots, y_{k_p})}\cdot\frac{\partial(y_{k_1},\ldots, y_{k_p})}{\partial (x_{j_1},\ldots, x_{j_p})} $$

2) Если отображение $y=f(x)$ определяется из системы уравнений

$$ \begin{cases} F_1(x_1,\ldots,x_n,y_1\ldots,y_n)=0\\ \cdots\\ F_n(x_1,\ldots, x_n,y_1,\ldots, y_n)=0 \end{cases} $$

то его якобиан

$$ \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial (x_1,\ldots, x_n)}=(-1)^n\frac{\frac{\partial(F_1,\ldots,F_n)}{\partial (x_1,\ldots, x_n)}}{\frac{\partial(F_1,\ldots,F_n)}{\partial (y_1,\ldots, y_n)}} $$

Следует из равенства для матриц Якоби $\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial\mathbf {x}}+\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial\mathbf {y}}\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial\mathbf {x}}=0$ $\Longrightarrow$ $\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial\mathbf {x}}=-\left(\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial\mathbf {y}}\right)^{-1}\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial\mathbf {x}}$.

[piksel]

Ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{[g(n)]}}{f(n)},$$

где $g(x)\to \infty $ возрастающая функция и $\dfrac{g'(x)=o(1)}{x\to \infty}}$, сходится, если монотонно возрастает $g'(x)f(x)\to\infty$ и сходится ряд

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{f(g^{-1}(k))}},$$

где $g^{-1}$ функция, обратная к $g$.

[Anton_Peplov]

Теперь есть компьютерная программа для поиска красивых выражений $e$ и $\pi$ через цепные дроби: http://www.ramanujanmachine.com/. Примеры по ссылке есть. Код открытый, работа в распределённой сети пользовательских компьютеров, при желании можно подключиться.

Правда, она их не доказывает, а только формулирует. Насколько я понимаю, порождает по какому-то алгоритму и считает с доступной ей точностью, чтобы слева и справа было одно и то же. Таким образом, получаются гипотезы о тождествах, а не обязательно верные тождества.

[maxal]

Простенько, но тем не менее:

$$(a+b-2c)^2 + (a+c-2b)^2 + (b+c-2a)^2 = 3\left((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\right).$$

Это тождество также равносильно тому, что при условии $A+B+C=0$ выполняется тождество:

$$(B-C)^2 + (A-B)^2 + (C-A)^2 = 3(A^2 + B^2 + C^2).$$

[Andrey A]

А то еще так:

$$(a+b)^3+(c+d)^3+(a+c)^3+(b+d)^3+(a+d)^3+(b+c)^3=3(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)$$

[AlexSam]

И еще:

$p\, {{\left( s-k\right) }^{3}}+s\, {{\left( k-p\right) }^{3}}+k\, {{\left( p-s\right) }^{3}}=\left( k-p\right) \, \left( p-s\right) \, \left( s-k\right) \, \left( s+p+k\right)$

[piksel]

piksel в сообщении #1402291 писал(а):

Ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{[g(n)]}}{f(n)},$$

где $g(x)\to \infty $ возрастающая функция и $\dfrac{g'(x)=o(1)}{x\to \infty}}$, сходится, если монотонно возрастают $f(x)}$, $g'(x)f(x)\to\infty$ и сходится ряд

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{f(g^{-1}(k))}},$$

где $g^{-1}$ функция, обратная к $g$.

Исправлено, добавлено условие: $f(x)$ монотонно возрастает.

[Munin]

maxal в сообщении #1406099 писал(а):

Это тождество также равносильно тому, что при условии $A+B+C=0$ выполняется тождество:

$$(B-C)^2 + (A-B)^2 + (C-A)^2 = 3(A^2 + B^2 + C^2).$$

Потому что $-2(AB+BC+CA)=A^2+B^2+C^2,$ что получается простым возведением в квадрат $A+B+C=0.$

Но таким образом,

maxal в сообщении #1406099 писал(а):

$$(a+b-2c)^2 + (a+c-2b)^2 + (b+c-2a)^2 = 3\left((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\right)$$

$$(B-C)^2 + (A-B)^2 + (C-A)^2 = 3(A^2 + B^2 + C^2)$$

выполняются также и для векторов:

$$(\vec a+\vec b-2\vec c)^2 + (\vec a+\vec c-2\vec b)^2 + (\vec b+\vec c-2\vec a)^2 = 3\left((\vec a-\vec b)^2+(\vec a-\vec c)^2+(\vec b-\vec c)^2\right)$$

$$(\vec B-\vec C)^2 + (\vec A-\vec B)^2 + (\vec C-\vec A)^2 = 3(\vec A^2 + \vec B^2 + \vec C^2)$$

Велик соблазн проинтерпретировать $\vec a,\vec b,\vec c$ как радиус-векторы вершин треугольника, а $\vec A,\vec B,\vec C$ - как векторы его сторон, и дальше обобщить эти соотношения на многоугольники или на $n$-мерные тетраэдры. Но для этого нужно понять геометрический смысл этих соотношений, а я его пока не вижу.

-- 28.12.2019 16:41:31 --

Впрочем, для $n$-мерного тетраэдра (симплекса), вроде, получается чисто алгебраически:

$$\sum\limits_{i=1}^n \vec A_i=0\qquad\Longrightarrow\qquad\sum\limits_{\substack{i,j=1\\i>j}}^n (\vec A_i-\vec A_j)^2=n\sum\limits_{i=1}^n \vec A_i^{\,2}$$

[arqady]

$$\left|\begin{pmatrix}(x^2+1)^2 & (xy+1)^2 & (xz+1)^2 \\ (xy+1)^2 & (y^2+1)^2 & (yz+1)^2 \\ (xz+1)^2 & (yz+1)^2 & (z^2+1)^2 \end{pmatrix}\right|=2(x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2$$

Имеется доказательство без раскрытия определителя.

[SomePupil]

$$ 6\sum_{m,n=-\infty}^{\infty} e^{ -\frac{ 4\pi }{ \sqrt{7} } (m^2+mn+2n^2) } = 5\sum_{m,n=-\infty}^{\infty} e^{ -\frac{ 2\pi }{ \sqrt{7} } (m^2+mn+2n^2) }. $$

Встречается в статье
Chan, Heng Huat, and Yao Lin Ong. “On Eisenstein Series and ∑m,n=-∞. Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 127, no. 6, 1999, pp. 1735–1744. JSTOR, http://www.jstor.org/stable/119485. Accessed 29 June 2020.

Получен развитием идей Рамануджана и охарактеризован авторами как "surprising identity." И ведь действительно surprising!

[maxal]

В копилку:

scwec в сообщении #1498635 писал(а):

$(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4=1/2((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)^2$