В защиту Литлвуда

[Dan B-Yallay]

epros писал(а):

Есть такие номера, которые неизвестно когда будут положены и будут ли вообще. Как конкретно для этих номеров мы можем судить, будут они вынуты или нет? Пример: минимальное нечётное совершенное число.

То что мы умудрились дать описание числа, существование которого даже сами не можем доказать, мало волнует ангела с чертиком. Их также мало волнует конечность или бесконечность нулей римановой зета-функции лежащих на той или иной прямой.

Из того, что я не знаю существует ли хотя бы одно гладкое решение трехмерного уравнения Навье-Стокса не следует что шар номер один не будет положен в корзину.

Дело в том, что шары просто тупо пронумерованы, безотносительно арифметических свойств приписываемых чисел.
Если указанное вами минимальное нечетное число существует (а ангелу и чертику плевать на то что мы можем или не можем это доказать), то можете быть уверены: шар с этим номером будет положен в корзину и через некоторое время вынут оттуда - до обеда.

Добавлено спустя 22 минуты 53 секунды:

Лукомор писал(а):

1. По первому пункту можно еще более заострить ситуацию
В корзине лежит один шар, с номером 1.
Мы кладем в корзину шар с номером 10 и вынимаем шар №1.
На следующем шаге кладем шар №100 и вынимаем шар №10.
Потом плюем на это дело, и вместо того, чтобы ложить/вынимать шары просто дописываем нули в конце номера:
1, 10, 100, 1000, 10000... и.т.д.
Ясно, что к обеду множество шаров в корзине будет пустым...
2. По второму пункту: Если в корзине всегда счетно-бесконечное количеств шаров, то и пустое множество шаров, оставшееся к обеду тоже содержит счетно-бесконечное количество шаров, вы не находите???
Ведь мы на любом конкретном шаге не переходим от счетно-бесконечного множества к конечному.

1) С переписыванием номеров на шарах дискуссия уже была. Ничего хорошего из этого не получается.

2) Я ничего удивительного или неудивительного в ваших доводах не нахожу.

Это не я, а именно Вы утверждали, что в первоначальной задаче Литтвуда в корзине останется бесконечно много шаров, обосновывая это тем, что нет момента, когда число шаров в корзине начнет уменьшаться. В связи с тем, что во втором варианте задачи ясно, что корзина опустеет и без "начала уменьшения количества шаров", то ваш аргумент (с уменьшением количества шаров) становится неубедительным и даже сомнительным. Поэтому логично было бы с вашей стороны не ерничать, а хоть как-то прокомментировать сложившуюся непростую для вашего аргумента ситуацию.

Или Вы не согласны с "пустой корзиной" в упрощенном варианте задачи?

[ewert]

Лукомор в сообщении #142709 писал(а):

Эквивалентна.
Более того, если мы будем только вкладывать шары, и не будем их вынимать, а будем перекладывать шары внутри ящика, то множество шаров в ящике к обеду, при некоторых дополнительных условиях, может стать пустым.

Не хотите -- как хотите.

Тогда докажите, что при перестановке элементов множество меняется. Это будет воистину выдающимся открытием.

[juna]

Резюмирую.
Итак, предполагаем, что задача Литлвуда - корректная задача. В любой корректно сформулированной задаче данных должно быть ровно столько, сколько требуется для нахождения решения.
Тогда становится ясно, наличие времени в задаче является не менее существенным фактом, чем порядок кладки, вынимания пронумерованных шариков.
Поэтому вот такое рассуждение

Профессор Снейп писал(а):

Я вообще не понимаю, зачем нужны эти заморочки со временем. На мой взгляд это ни что иное, как просто (не шибко удачная) попытка Литлвуда "объяснить операцию вычитания на примере яблок". Очень благодатное поле для "вовочкиных спекуляций".

Речь ведь по сути идёт просто о последовательности шагов, упорядоченной по типу ординала $\omega+1$ (все шаги, соответствующие натуральным числам, плюс ещё один шаг, больший всех предыдущих, на котором, собственно, и надо смотреть результат). Для наглядности представления этот ординал вкладывают в некий объект физического мира --- временной отрезок. И тут Вовочка сразу же начинает разговор о невозможности мгновенных действий и прочей не имеющей отношения к делу чепухе.

представляется мне ничем не обоснованным, кроме собственных фантазий.
Ведь в задаче недвусмысленно спрашивается о количестве шариков в полдень.
По сути есть величина - время, которая непрерывно с заданной скоростью меняет свое значение. Есть другая величина - мощность формируемого множества, которая по отношению к первой изменяется дискретно, но временные отрезки между последовательными изменениями становятся все меньше и меньше, в пределе тоже непрерывно меняется. Для каждого последующего значения первой величины, вторая величина увеличивается, т.к. скорость ее изменения не может быть больше скорости изменения первой. Становится очевидно, что у нас просто не хватит времени до полудня, чтобы вторая величина начала уменьшаться. Не можем же мы менять вторую величину быстрее времени.
То, что утверждают здесь последователи Литлвуда должно совершиться уже во вневременной метаданности. После чего вся бессмысленность этой задачи становится очевидной. О чем собственно я говорил в самом первом посте

juna в сообщении #114990 писал(а):

Если попытаться смоделировать этот процесс, то ясно, что мы не можем положить и вынуть шарик мгновенно. Поэтому, когда отставшееся до полудня время меньше времени вынимания (кладки) шарика, мы ничего не сможем положить и вынуть. Так что, сколько останется зависит от указанных длительностей вынимания (кладки), а задача не имеет отношения к действительности и живет только в воображении.

После чего, как я полагаю, у некоторых начались обратимые изменения

Профессор Снэйп в сообщении #115582 писал(а):

Глядеть на соседнюю тему сил больше нет, глаза и уши в трубочку сворачиваются

Эти господа привыкли заниматься умственными извращениями, думая, что все главное находится в метаданности.

[Someone]

juna в сообщении #142896 писал(а):

Резюмирую.
...

Бред.

juna в сообщении #142694 писал(а):

То, что в вашей формализации они исчезли, как и предполагал Литлвуд, так это свойство данной конкретной формализации. Однако в условии задачи оно есть. Литлвуд пытался вложить математическую реальность в физическую.

Литлвуд хотел описать построение наглядно, для нематематиков. Ни в какую физическую реальность он ничего вложить не хотел, поскольку это невозможно.

Формализация не моя, а совершенно стандартная. Я "свою" формализацию изложил. Попробуйте Вы изложить свою. Только не забудьте, что бесконечных рассуждений (построений) в математике нет.

juna в сообщении #142694 писал(а):

дискретно меняющаяcя, которая стремиться стать непрерывно меняющейся - мощность формируемого множества... Вот это и требует корректной формализации.

Вы эту глупость выдумали - Вы её и формализуйте.

epros в сообщении #142707 писал(а):

Не преувеличивайте. В матанализе далеко не всё основано на аксиоме бесконечности. Я посмею утверждать даже большее: То в матанализе, что основано на аксиоме бесконечности, можно спокойно выкинуть без ущерба для приложений - нормальные пользователи этого даже не заметят.

Поскольку уже конструкция действительного числа основана на аксиоме бесконечности, а без действительного числа не будет математического анализа вообще, то можете считать, что без аксиомы бесконечности не будет математического анализа.

Или Вы намекаете на конструктивную математику? Во-первых, это не имеет отношения к вопросу о полезности классического математического анализа, а во-вторых, Вы, скорее всего, плохо себе представляете, что это такое - конструктивная математика. Там бесконечные множества тоже есть, и, более того, множество конструктивных действительных чисел эффективно несчётно (в смысле конструктивной математики).

epros в сообщении #142707 писал(а):

А "глупой выдумкой" Вы считаете соображения о том, что когда бесконечный процесс (сборки индуктивного множества) завершается результатом (предъявлением этого самого множества), то сие есть абсурд?

Я уже объяснял, что всякие "бесконечные процессы" такого рода - не более чем наглядные описания. В аккуратной формализации никаких "бесконечных процессов" нет. Индуктивное определение представляет собой конечную последовательность символов, которую можно записать за конечное время. И как только оно (определение) будет написано, результат будет определён, и его можно изучать.

И не нужно путать математику с физикой. Это очень глупо выглядит.

[juna]

Someone
Еще раз прочитайте условие задачи и укажите, в каком месте вашей стандартной конструкции используется

Цитата:

За 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т.д.

Вы сами вместе с Литлвудом решили, что это несущественная деталь.

Someone писал(а):

Вы эту глупость выдумали - Вы её и формализуйте.

Стандартный прием объявлять глупостью, то где следует расписаться в собственном бессилии.
В общем, я ввязался в этот спор повторно лишь для того, чтобы попытаться объяснить, почему до сих пор продолжаются споры. Нет в этой задаче однозначного ответа, некорректно она сформулирована для того, чтобы получилось пусто.

Someone писал(а):

Литлвуд хотел описать построение наглядно, для нематематиков. Ни в какую физическую реальность он ничего вложить не хотел, поскольку это невозможно.

Почему, решая задачу, я должен проверять - является она математической или физической?
Да потому, что математики придумали метаданность, которую соответственно никуда невозможно вложить. Тогда незачем натягивать ее на физический мир - это будет противоречить наглядности.

[Someone]

juna в сообщении #142941 писал(а):

Еще раз прочитайте условие задачи и укажите, в каком месте вашей стандартной конструкции используется

Цитата:

За 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т.д.

Вы сами вместе с Литлвудом решили, что это несущественная деталь.

Да, я совершенно согласен с Литлвудом, что это - не более чем наглядное, популяризаторское описание для нематематиков. Метафора фремени используется для того, чтобы определить последовательность множеств. Слова "и т.д." означают буквально следующее: "Ну, ты понял, как это делается? Продолжай дальше сам. Отсюда и до обеда."
В самой математике таких бесконечных "процессов" нет, потому что это - бесконечное рассуждение, а бесконечные рассуждения неприемлемы, поскольку никогда не заканчиваются, и установить их результат невозможно. А формализуются они как применение одной из схем индукции. Индуктивное рассуждение конечно. В арифметике Пеано схема индукции явно является одной из аксиом (точнее, бесконечным множеством аксиом), а в теории множеств эти схемы являются теоремами, следующими из аксиом.

juna в сообщении #142941 писал(а):

Стандартный прием объявлять глупостью, то где следует расписаться в собственном бессилии.

Я напомню Ваш "стандартный приём", о котором я писал:

juna в сообщении #142694 писал(а):

Есть непрерывно меняющаяся величина - время и дискретно меняющаяcя, которая стремиться стать непрерывно меняющейся - мощность формируемого множества.

Это - бред, а не стандартный приём.

juna в сообщении #142694 писал(а):

Вот это и требует корректной формализации.

Корректную формализацию я привёл. Никакой другой пока никто не предложил.

juna в сообщении #142941 писал(а):

Почему, решая задачу, я должен проверять - является она математической или физической?

У Литлвуда ясно сказано, что речь идёт о математике, а не о чём-либо ещё. Что касается физики, то физическая невозможность описанной ситуации настолько очевидна, что мне вообще непонятно, откуда может взяться мысль, что это физическая задача.

juna в сообщении #142941 писал(а):

Да потому, что математики придумали метаданность, которую соответственно никуда невозможно вложить.

Математики занимаются логическими конструкциями. Зачем их надо куда-то "вкладывать"?

juna в сообщении #142941 писал(а):

Тогда незачем натягивать ее на физический мир - это будет противоречить наглядности.

Потому что если сформулировать эту задачу формально, то нематематика это не заинтересует, поскольку будет непонятно, а математику будет неинтересно, поскольку это для него очевидно.

Что касается того, насколько текст Литлвуда нагляден - это, как минимум, спорный вопрос, ответ на который индивидуален.

Что касается того, какое вообще эти логические конструкции имеют отношение к реальному миру, то практика показывает, что всё-таки какая-то связь есть. Несмотря на то, что напрямую они в реальный мир не вкладываются.

juna в сообщении #142941 писал(а):

В общем, я ввязался в этот спор повторно лишь для того, чтобы попытаться объяснить, почему до сих пор продолжаются споры. Нет в этой задаче однозначного ответа, некорректно она сформулирована для того, чтобы получилось пусто.

Здесь я видел три подхода.
1) Нормальный математический. Если требуется определить число элементов какого-либо множества, то сначала надо определить, какие элементы в него входят. В данном случае очевидно, что никакие, поэтому ответ - $0$.
2) Извращённый математический. Почему-то сначала начинают считать элементы, используя для этого предельный переход без какого-либо обоснования (а предельный переход оказывается незаконным, что встречается сплошь и рядом не только с числом элементов, но и с множеством других "мер"), а потом становятся в тупик, будучи не в состоянии указать ни одного элемента. Но продолжают отстаивать очевидную глупость и всячески увиливают от требования предъявить хотя бы один элемент.
3) Извращённый физический. Были, по-моему, несколько вариантов, но они все глупые, поскольку очевидно, что физически описанный процесс перекладывания шаров неосуществим (впрочем, если посмотреть текст Литлвуда, то слово "шары" там упоминается один раз, а потом речь идёт просто о числах), так что к физике задача явно отношения не имеет.

[juna]

Someone в сообщении #143047 писал(а):

Я напомню Ваш "стандартный приём", о котором я писал:

Где Вы увидели, что я говорю, что это стандартный прием? Не надо приписывать мне того, чего не было. Это место лишь попытка указать на каком моменте спекулируют математики с их безвременными действиями.

Someone в сообщении #143047 писал(а):

Корректную формализацию я привёл. Никакой другой пока никто не предложил.

Я конечно не читал всех сообщений этой темы, но, по-моему, эту формализацию предложил AD. Были и другие, например, автор темы стремился продемонстрировать предельный переход к пусто "весьма успешно".

Someone писал(а):

Потому что если сформулировать эту задачу формально, то нематематика это не заинтересует, поскольку будет непонятно, а математику будет неинтересно, поскольку это для него очевидно.

Утрируя, формальная постановка такая: есть бесконечное счетное множество, последовательно удаляется каждый элемент этого множества. Что в итоге получится?
Неинтересно? Давайте вплетем сюда физический мир, не беда, что правильно это сделать не удастся, зато удастся изрядно удивить обывателей.

Someone писал(а):

Что касается того, какое вообще эти логические конструкции имеют отношение к реальному миру, то практика показывает, что всё-таки какая-то связь есть. Несмотря на то, что напрямую они в реальный мир не вкладываются.

Связь такая - человек часть реального мира, в мозгу этого человека родилось понятие, которое может только там и существовать. Таким образом, это понятие часть реального мира.

[epros]

Dan B-Yallay писал(а):

То что мы умудрились дать описание числа, существование которого даже сами не можем доказать, мало волнует ангела с чертиком.

А нас не должно волновать, что волнует ангела с чёртиком.
Мы ведь взялись отвечать на некий конкретный вопрос (Ваш, между прочим): "Сможет ли ангел накидать нечто такое, что чёртик не вынет"? А я так "чувствую", что ангел непременно накидает столько, что чёртик рано или поздно не сможет раскидать. Но поскольку Вы конкретно спрашиваете "что именно это будет", то я признаЮ: Да, я не могу конкретно указать "что именно" такого накидает ангел. Но я могу в свою очередь спросить Вас: А почему Вы вдруг решили, что "чего-то такого" в принципе не существует?

Если любое число, на которое у Вас хватит воображения, чёртик непременно вынет, то это не означает, что не найдётся чего-то за пределами Вашего воображения...

Dan B-Yallay писал(а):

Если указанное вами минимальное нечетное число существует (а ангелу и чертику плевать на то что мы можем или не можем это доказать), то можете быть уверены: шар с этим номером будет положен в корзину и через некоторое время вынут оттуда - до обеда.

Увы, я не могу ни в чём быть уверен, пока мне не продемонстрируют конкретно. Слова "нечетное совершенное число существует" для меня просто ничего не значат до тех пор, пока Вы не объясните мне, как его построить. В этом отличие от классической логики, которая исходит из "общих" соображений (которые, кстати, неизвестно откуда взялись).

Добавлено спустя 30 минут 50 секунд:

Someone писал(а):

Поскольку уже конструкция действительного числа основана на аксиоме бесконечности, а без действительного числа не будет математического анализа вообще, то можете считать, что без аксиомы бесконечности не будет математического анализа.

Это слишком сильное утверждение. Конструктивные действительные числа ничуть не хуже того, что якобы "основано на аксиоме бесконечности". И дифференциальное и интегральное исчисления к ним применимы.

Someone писал(а):

Или Вы намекаете на конструктивную математику?

Я не намекаю, я прямо о ней говорю.

Someone писал(а):

Вы, скорее всего, плохо себе представляете, что это такое - конструктивная математика. Там бесконечные множества тоже есть, и, более того, множество конструктивных действительных чисел эффективно несчётно (в смысле конструктивной математики).

Может быть я недостаточно хорошо представляю себе, что такое конструктивная математика, но уж то, о чём Вы пишете здесь, я знаю.

Бесконечных множеств в конструктивной математике нет. Есть понятия натурального числа и действительного числа, и им в некотором смысле "нет конца". Но никто никогда не утверждал, что из всех натуральных или действительных чисел можно собрать множество. Такое утверждение можно принять только опираясь на аксиому бесконечности, которая для конструктивизма неприемлема, поскольку нет процедуры её проверки.

"Множество конструктивных действительных чисел несчётно" - это абсолютно некорректное утверждение. Во-первых, из конструктивных действительных чисел не собирается множество (не считая конечных множеств из некоторого ограниченного количества оных). Во-вторых, в конструктивном анализе нет адекватной аналогии теоретико-множественному понятию "несчётности" (равно как и понятию "счётности"). Мне хорошо известна теорема о "конструктивной несчётности действительных чисел", однако Ваша (теоретико-множественная) её интерпретация некорректна. Эта теорема всего лишь утверждает, что для любой последовательности действительных чисел можно построить действительное число, которого нет в последовательности. Ну и что? Где здесь "несчётность", то бишь отсутствие биекции между "множествами"?

Someone писал(а):

Я уже объяснял, что всякие "бесконечные процессы" такого рода - не более чем наглядные описания. В аккуратной формализации никаких "бесконечных процессов" нет. Индуктивное определение представляет собой конечную последовательность символов, которую можно записать за конечное время.

Определение любой процедуры есть "конечная последовательность символов". А любая осмысленная логическая формула предполагает процедуру её проверки. Проблема в том, что процедура проверки формулы, которой записывается аксиома бесконечности, не имеет точки останова. Это и называется "бесконечным процессом": Как Вы ни отказывайтесь от того, что речь идёт о процессах, а исследования любой формальной теории (доказательство её теорем и т.п.) - это всегда процессы.

Цитата:

И не нужно путать математику с физикой. Это очень глупо выглядит.

Альтернатива - начать путать математику с богословием: С его постулированием принципиально ненаблюдаемых сущностей, для которых можно строить теории любой сложности.

[Dan B-Yallay]

epros писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

То что мы умудрились дать описание числа, существование которого даже сами не можем доказать, мало волнует ангела с чертиком.

А нас не должно волновать, что волнует ангела с чёртиком.
Мы ведь взялись отвечать на некий конкретный вопрос (Ваш, между прочим): "Сможет ли ангел накидать нечто такое, что чёртик не вынет"? А я так "чувствую", что ангел непременно накидает столько, что чёртик рано или поздно не сможет раскидать. Но поскольку Вы конкретно спрашиваете "что именно это будет", то я признаЮ: Да, я не могу конкретно указать "что именно" такого накидает ангел. Но я могу в свою очередь спросить Вас: А почему Вы вдруг решили, что "чего-то такого" в принципе не существует?

Я таки не понимаю, а зачем мне собственно решать или доказывать существование чего-то такого? Вы "чувствуете" - вам и обосновывать.

epros писал(а):

Если любое число, на которое у Вас хватит воображения, чёртик непременно вынет, то это не означает, что не найдётся чего-то за пределами Вашего воображения...

Ну дык это же ангел сначала должен добраться за пределы моего воображения, не так ли? Зачем запрягать телегу впереди лошади? Как высказался Лукомор, чертик ведет хороший бизнес: пока ангел чего-то не положит, чертик это вынимать не станет. Это ангел должен мучиться доказательством существования "в принципе" или построением "минимальных нечетных совершенных" и прочее. Сможет построить до обеда - пусть ложит. У чертика проблем намного меньше - если ангел чего накидал, видать оно существует и это надо успеть выгрести.

Кроме того, вы ведь не будете отрицать существование и бесконечность множества простых чисел? Вот теперь давайте для нашего (именно нашего, а не чертика с ангелом) удобства мысленно перенумеруем их маркером и начнем игру заново.

[Someone]

juna в сообщении #143060 писал(а):

Где Вы увидели, что я говорю, что это стандартный прием?

Ну вот последовательность цитат.

Someone в сообщении #142913 писал(а):

juna в сообщении #142694 писал(а):

дискретно меняющаяcя, которая стремиться стать непрерывно меняющейся - мощность формируемого множества... Вот это и требует корректной формализации.

Вы эту глупость выдумали - Вы её и формализуйте.

juna в сообщении #142941 писал(а):

Someone писал(а):

Вы эту глупость выдумали - Вы её и формализуйте.

Стандартный прием объявлять глупостью, то где следует расписаться в собственном бессилии.

Someone в сообщении #143047 писал(а):

juna в сообщении #142941 писал(а):

Стандартный прием объявлять глупостью, то где следует расписаться в собственном бессилии.

Я напомню Ваш "стандартный приём", о котором я писал:

juna в сообщении #142694 писал(а):

Есть непрерывно меняющаяся величина - время и дискретно меняющаяcя, которая стремиться стать непрерывно меняющейся - мощность формируемого множества.

Это - бред, а не стандартный приём.

Можете проверить.

juna в сообщении #143060 писал(а):

Я конечно не читал всех сообщений этой темы, но, по-моему, эту формализацию предложил AD.

Это определение результирующего множества (причём, в разных эквивалентных видах) обсуждали несколько человек, причём, не только в этой теме. Я вовсе не претендую на авторство. Я же говорю не об определении результирующего множества, а о формализации "бесконечного процесса" в виде индуктивного построения. Кстати, я называл эту формализацию стандартной, и из этого можно понять, что и в этом случае на авторство не претендую.

juna в сообщении #143060 писал(а):

Someone писал(а):

Что касается того, какое вообще эти логические конструкции имеют отношение к реальному миру, то практика показывает, что всё-таки какая-то связь есть. Несмотря на то, что напрямую они в реальный мир не вкладываются.

Связь такая - человек часть реального мира, в мозгу этого человека родилось понятие, которое может только там и существовать. Таким образом, это понятие часть реального мира.

Великолепный образец вульгарного материализма (так это называлось в курсе диамата): "Мозг выделяет мысль так же, как печень выделяет желчь".

Я же имел в виду совсем другое: эти абстрактные логические конструкции, "как ни странно", могут служить моделями каких-то явлений реального мира. На самом деле странного ничего нет, поскольку отбираются, как наиболее интересные, именно те конструкции, которые можно связать с чем-то реальным. Не обязательно столь прямолинейно, как Вы пытаетесь связать построения Литлвуда с физикой.

epros в сообщении #143101 писал(а):

А я так "чувствую", что ангел непременно накидает столько, что чёртик рано или поздно не сможет раскидать. Но поскольку Вы конкретно спрашиваете "что именно это будет", то я признаЮ: Да, я не могу конкретно указать "что именно" такого накидает ангел. Но я могу в свою очередь спросить Вас: А почему Вы вдруг решили, что "чего-то такого" в принципе не существует?

Потому что это следует из очень простых рассуждений, если не морочить себе голову нечётными совершенными числами и прочими вещами, о которых в инструкциях наших персонажей ничего не сказано. Им абсолютно наплевать на нечётные совершенные числа. Если таковые есть, то один положит их в "корзину", а другой следом вынет. Если таких чисел нет, то первый не будет их класть, а второй не будет вынимать. При этом ни тому, ни другому совершенно не нужно знать, есть такие числа или нет.

epros в сообщении #143101 писал(а):

Это слишком сильное утверждение. Конструктивные действительные числа ничуть не хуже того, что якобы "основано на аксиоме бесконечности". И дифференциальное и интегральное исчисления к ним применимы.

Я уже один раз говорил и ещё раз повторю: то, что возможен конструктивный математический анализ, не имеет ни малейшего отношения к полезности классического математического анализа. А классический математический анализ без аксиомы бесконечности не существует.

epros в сообщении #143101 писал(а):

Бесконечных множеств в конструктивной математике нет. Есть понятия натурального числа и действительного числа, и им в некотором смысле "нет конца". Но никто никогда не утверждал, что из всех натуральных или действительных чисел можно собрать множество. Такое утверждение можно принять только опираясь на аксиому бесконечности, которая для конструктивизма неприемлема, поскольку нет процедуры её проверки.

Процедура проверки? Вы считаете, что доказательство бесконечности множества непременно требует перечисления всех его элементов по одному?

Разумеется, множества в конструктивной математике трактуются не так, как в теории множеств.

Б.А.Кушнер. Лекции по конструктивному математическому анализу. "Наука", Москва, 1973.

Б.А.Кушнер писал(а):

Глава 3. § 4. Эффективная несчётность конструктивного континуума.

В этом параграфе будет показано, что конструктивный континуум, являющийся, очевидно, счётным при традиционном понимании счётности, не может быть расположен в эффективную последовательность. Доказательство этого результата использует канторовский диагональный метод и по существу мало чем отличается от доказательства известной теоремы Кантора о несчётности классического континуума.
Определение 1. Множество КДЧ $\mathcal M$ назовём эффективно несчётным, если можно построить алгорифм $\mathfrak A$, перерабатывающий запись всякой ПДЧ $\alpha$ в КДЧ таким образом, что...

epros в сообщении #143101 писал(а):

"Множество конструктивных действительных чисел несчётно" - это абсолютно некорректное утверждение.

А я его не формулировал. У меня написано так:

Someone в сообщении #142913 писал(а):

множество конструктивных действительных чисел эффективно несчётно (в смысле конструктивной математики).

Сравните с цитатой из книги Б.А.Кушнера.

epros в сообщении #143101 писал(а):

Определение любой процедуры есть "конечная последовательность символов". А любая осмысленная логическая формула предполагает процедуру её проверки. Проблема в том, что процедура проверки формулы, которой записывается аксиома бесконечности, не имеет точки останова. Это и называется "бесконечным процессом"

Я не знаю, что такое "процедура проверки формулы", и почему она должна быть "бесконечным процессом". Вы вообще понимаете, о чём говорите?

epros в сообщении #143101 писал(а):

Как Вы ни отказывайтесь от того, что речь идёт о процессах, а исследования любой формальной теории (доказательство её теорем и т.п.) - это всегда процессы.

Для меня "процесс исследования формальной теории (доказательство её теорем и т.п.)" состоит в том, что я некоторое время хожу по комнате и размышляю (иногда довольно долго - месяцами), а потом сажусь за стол, беру ручку и бумагу, и начинаю писать. Эти фазы могут много раз чередоваться. Вообще, у меня такое впечатление, что Вы всё на свете перепутали.

epros в сообщении #143101 писал(а):

Альтернатива - начать путать математику с богословием: С его постулированием принципиально ненаблюдаемых сущностей, для которых можно строить теории любой сложности.

Ладно, откровенный бред-то не пишите. Математика - это не физика и не богословие. Физика занимается исследованием реальных явлений, построением их физических и математических моделей. Богословие занимается исследованием вопросов, актуальных для религии. Математика занимается изучением логических конструкций. Логические конструкции принципиально ненаблюдаемы, поскольку как физические объекты не существуют, и "экспериментальной проверке" не поддаются. Если Вы до такой степени запутались, что понять это не можете, то мне остаётся только пожать плечами. Убеждать Вас в чём либо больше не буду.

[juna]

Еще раз и в последний в этой теме.
В той последовательности цитат, что Вы привели - бред мой, а стандартный прием ваш, который состоит в объявлении бредом всего, с чем Вы не согласны и не знаете, что сказать по существу.
Попытайтесь тогда Вы объяснить по какой такой причине условия задачи нельзя вложить в физический мир, с чем, я надеюсь, Вы согласны, и почему при попытке вложить, а потом формализовать теряется какой-то математический смысл. По-моему, я вполне корректно указал на безвременность ваших действий. И где тут бред? Или у вас все, что не математика, то бред?

juna писал(а):

Связь такая - человек часть реального мира, в мозгу этого человека родилось понятие, которое может только там и существовать. Таким образом, это понятие часть реального мира.

Someone писал(а):

Великолепный образец вульгарного материализма (так это называлось в курсе диамата): "Мозг выделяет мысль так же, как печень выделяет желчь".

Не знаю, как в вашем курсе диалектического материализма, а в нормальной философии это называется объективный идеализм, которым страдаете Вы.

Someone писал(а):

Я же имел в виду совсем другое: эти абстрактные логические конструкции, "как ни странно", могут служить моделями каких-то явлений реального мира. На самом деле странного ничего нет, поскольку отбираются, как наиболее интересные, именно те конструкции, которые можно связать с чем-то реальным. Не обязательно столь прямолинейно, как Вы пытаетесь связать построения Литлвуда с физикой.

Уже второй раз вы пытаетесь указать, что это может быть связано с чем-то реальным. Вот и приведите конкретные примеры, с чем именно.

Someone писал(а):

Логические конструкции принципиально ненаблюдаемы, поскольку как физические объекты не существуют, и "экспериментальной проверке" не поддаются.

А вот это действительно бред. Как же вы их изучаете эти конструкции, они же ненаблюдаемы. Наблюдал, наблюдал Гаусс за натуральным рядом, и все впустую...

[epros]

Dan B-Yallay писал(а):

Я таки не понимаю, а зачем мне собственно решать или доказывать существование чего-то такого? Вы "чувствуете" - вам и обосновывать.

Это не я утверждал, что все шары будут вынуты. А мои "чувства" - это моё личное дело.

Dan B-Yallay писал(а):

Ну дык это же ангел сначала должен добраться за пределы моего воображения, не так ли?

Ну, наверное. И что?

Dan B-Yallay писал(а):

У чертика проблем намного меньше - если ангел чего накидал, видать оно существует и это надо успеть выгрести.

Не оценивайте за чёртика размер его проблем. Вы не знаете, что именно будет накидано, а значит не имеете морального права ( ) судить о том, с какими проблемами он столкнётся.

Dan B-Yallay писал(а):

Кроме того, вы ведь не будете отрицать существование и бесконечность множества простых чисел?

Отрицать не буду. И даже могу утверждать отсутствие максимального простого числа. А вот существование множества всех простых чисел утверждать не берусь.

Добавлено спустя 1 час 30 минут 38 секунд:

Someone писал(а):

epros в сообщении #143101 писал(а):

А я так "чувствую", что ангел непременно накидает столько, что чёртик рано или поздно не сможет раскидать. Но поскольку Вы конкретно спрашиваете "что именно это будет", то я признаЮ: Да, я не могу конкретно указать "что именно" такого накидает ангел. Но я могу в свою очередь спросить Вас: А почему Вы вдруг решили, что "чего-то такого" в принципе не существует?

Потому что это следует из очень простых рассуждений, если не морочить себе голову нечётными совершенными числами и прочими вещами, о которых в инструкциях наших персонажей ничего не сказано. Им абсолютно наплевать на нечётные совершенные числа. Если таковые есть, то один положит их в "корзину", а другой следом вынет. Если таких чисел нет, то первый не будет их класть, а второй не будет вынимать. При этом ни тому, ни другому совершенно не нужно знать, есть такие числа или нет.

Вы демонстрируете классический пример неконструктивного рассуждения. У Вас нет конкретного примера для того, чтобы использовать его в посылке, но Вы готовы сделать общий вывод. Конечно же, это "очень просто". Примерно так же просто, как из наблюдения нескольких серых кошек сделать общий вывод, что все кошки серые.

Someone писал(а):

Я уже один раз говорил и ещё раз повторю: то, что возможен конструктивный математический анализ, не имеет ни малейшего отношения к полезности классического математического анализа. А классический математический анализ без аксиомы бесконечности не существует.

А я готов ещё раз повторить, что конструктивный матанализ ничуть не хуже классического, хотя он и не использует аксиому бесконечности.

Someone писал(а):

epros в сообщении #143101 писал(а):

Бесконечных множеств в конструктивной математике нет. Есть понятия натурального числа и действительного числа, и им в некотором смысле "нет конца". Но никто никогда не утверждал, что из всех натуральных или действительных чисел можно собрать множество. Такое утверждение можно принять только опираясь на аксиому бесконечности, которая для конструктивизма неприемлема, поскольку нет процедуры её проверки.

Процедура проверки? Вы считаете, что доказательство бесконечности множества непременно требует перечисления всех его элементов по одному?

Смотря что Вы считаете за легальную теорию и, соответственно, что готовы признать за легальное доказательство. Можно выдумать любую аксиому и считать "доказанным" всё, что из неё следует по формальным правилам вывода - это классический подход. А можно сначала задаться вопросом, конструктивна ли та или иная аксиома или нет - это конструктивный подход. Как, думаете, проверяется конструктивность аксиомы? Нужно просто предложить процедуру её проверки на неких модельных объектах. Например, хотите я продемонстрирую процедуру проверки аксиомы пустого множества на примере традиционной записи множеств: разделённого запятыми списка символов, заключённого в фигурные скобки?

Для аксиомы бесконечности таковой процедуры построить пока никому не удалось. Точнее, всё, что удаётся построить, оказывается без точки останова.

Someone писал(а):

Разумеется, множества в конструктивной математике трактуются не так, как в теории множеств.

Разумеется, совершенно не так. Без аксиомы бесконечности несомненно существующими оказываются только конечные множества, так что от всей теории множеств остаётся только самая тривиальная часть.

Someone писал(а):

epros в сообщении #143101 писал(а):

"Множество конструктивных действительных чисел несчётно" - это абсолютно некорректное утверждение.

А я его не формулировал. У меня написано так:

Someone в сообщении #142913 писал(а):

множество конструктивных действительных чисел эффективно несчётно (в смысле конструктивной математики).

Сравните с цитатой из книги Б.А.Кушнера.

Я не подвергаю сомнению то, что написано у Кушнера. Просто нужно понимать, что то, что названо "эффективной несчётностью", да ещё с уточнением "в смысле конструктивной математики", весьма далеко от классического (Канторовского) понятия о несчётности. Ни о каких "различных кардинальностях" здесь речь даже близко не идёт. На самом деле речь идёт о вполне тривиальном и малоинтересном для конструктивного анализа выводе, который совершенно незаслуженно поднимается в качестве "знамени" теми, кто берётся интерпретировать конструктивизм с точки зрения классической теории множеств. Ох, как же он страдает от таких интерпретаций... Логика такова: раз нет несчётности, то давайте найдём что-то хотя бы отдалённо похожее и назовём это "эффективной несчётностью" - просто чтобы все успокоились, ибо никаких полезных выводов из этого свойства всё равно не следует.

Someone писал(а):

epros в сообщении #143101 писал(а):

Определение любой процедуры есть "конечная последовательность символов". А любая осмысленная логическая формула предполагает процедуру её проверки. Проблема в том, что процедура проверки формулы, которой записывается аксиома бесконечности, не имеет точки останова. Это и называется "бесконечным процессом"

Я не знаю, что такое "процедура проверки формулы", и почему она должна быть "бесконечным процессом". Вы вообще понимаете, о чём говорите?

Я понимаю о чём говорю. Это основание, на котором стоит конструктивизм. Вы просто заходите в него "с заднего входа" - как привычнее для традиционного подхода, поэтому "главный вход" со всем тем, ради чего и создавался конструктивизм, Вы упускаете из виду. Отсюда и впечатление о нём как о какой-то жалкой пародии на классическую логику. Хотя на самом деле речь идёт о другом подходе в самых его основаниях.

Классическая логика начинает рассуждение с каких-то общих положений, зачастую взятых с потолка. Например, не наблюдая "в реальности" каких-либо принципиальных ограничений на размер множеств, очень легко прийти к обобщению о том, что "существует бесконечное множество". Но на самом деле это обобщение взято с потолка. Да, оно формально, казалось бы, ничему не противоречит, но и подтверждений ему никаких нет. А конкретный пример "может быть когда-нибудь в будущем построим".

Подход конструктивизма совершенно другой, в нём рассуждение начинается с конкретных моделей. Скажем, нам нужно понятие натурального числа. А что это такое? А вот мы возьмём конкретную модель в виде строки из вертикальных чёрточек ("зарубок на дереве"). Аксиомы в этом подходе возникают не откуда попало, а как как формализация соответствующих свойств модели. Например: "Существует единица" - легко проверяется путём обнаружения строки из одной чёрточки. "Не существует предшественника единицы" - противоположное утверждение легко сводится к противоречию на модельных объектах. И т.п. Если аксиома изначально непроверяема, т.е. не удаётся найти модельных объектов и процедуры, которая бы на них проверяла соответствующее утверждение, то такая аксиома не может считаться конструктивной.

Someone писал(а):

Ладно, откровенный бред-то не пишите. Математика - это не физика и не богословие. Физика занимается исследованием реальных явлений, построением их физических и математических моделей. Богословие занимается исследованием вопросов, актуальных для религии. Математика занимается изучением логических конструкций. Логические конструкции принципиально ненаблюдаемы, поскольку как физические объекты не существуют, и "экспериментальной проверке" не поддаются. Если Вы до такой степени запутались, что понять это не можете, то мне остаётся только пожать плечами. Убеждать Вас в чём либо больше не буду.

Ну что ж, если Вы хотите заниматься "изучением логических конструкций", то это Ваш выбор. Но это как раз та математика, которую я не могу отличить от богословия. Ибо "логические конструкции" тоже могут быть "актуальными для религии". Даже с учётом того, что логика и аксиоматика в чём-то могут отличаться от того, что занимает Вас. По моим понятиям значение математики заключается не в этом, а в том, чтобы формализовать практически значимые теории (не обязательно физические). Что же касается "логических конструкций", то они могут быть вполне "вещами в себе", неприложимыми ни к какой практике в принципе. Что-нибудь вроде "предсуществования святого духа" или "существования бесконечного множества".

[Dan B-Yallay]

epros писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Я таки не понимаю, а зачем мне собственно решать или доказывать существование чего-то такого? Вы "чувствуете" - вам и обосновывать.

Это не я утверждал, что все шары будут вынуты. А мои "чувства" - это моё личное дело.

Зато вы утверждали: " А я так "чувствую", что ангел непременно накидает столько, что чёртик рано или поздно не сможет раскидать.Но поскольку Вы конкретно спрашиваете "что именно это будет", то я признаЮ: Да, я не могу конкретно указать "что именно" такого накидает ангел. Но я могу в свою очередь спросить Вас: А почему Вы вдруг решили, что "чего-то такого" в принципе не существует? "
Во-первых: если это ваше личное дело, зачем задаете вопросы по этой личной теме на публичном форуме?
Во вторых: "чувствовать" - это как то не по математически.

epros писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Ну дык это же ангел сначала должен добраться за пределы моего воображения, не так ли?

Ну, наверное. И что?...

Да собственно ничего, если вы не понимаете что не чертику решать какие числа существуюи а какие нет. Бесенок просто выгребает.

epros писал(а):

Не оценивайте за чёртика размер его проблем. Вы не знаете, что именно будет накидано, а значит не имеете морального права ( ) судить о том, с какими проблемами он столкнётся.

Ну если пошел такой разговор, то не "чувствуйте" за ангела его возможностей. И не надо сваливать проблему опять к чертику: с чем бы он ни столкнулся - ангелу придется решить это раньше.

epros писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Кроме того, вы ведь не будете отрицать существование и бесконечность множества простых чисел?

Отрицать не буду. И даже могу утверждать отсутствие максимального простого числа. А вот существование множества всех простых чисел утверждать не берусь.

Если на этом форуме поставят эту же проблему в конструктивистской формулировке (будь такое вообще возможно) с требованием конструктивного решения, с интересом поучаствую в прениях.
А пока что мы ходим по кругу и вы все пытаетесь свалить на чертика решение проблемы "существует ли то, чего может быть положено а может быть и не положено в корзину".
Складыванием занимается ангел.

[Anton Nonko]

epros в сообщении #143246 писал(а):

Отрицать не буду. И даже могу утверждать отсутствие максимального простого числа. А вот существование множества всех простых чисел утверждать не берусь.

А в чем проблема-то?

[epros]

Dan B-Yallay писал(а):

Во-первых: если это ваше личное дело, зачем задаете вопросы по этой личной теме на публичном форуме?
Во вторых: "чувствовать" - это как то не по математически.

Вопросы касались Вашего утверждения о том, что всё будет вынуто. Я же ничего в данном случае не утверждаю, а только "предполагаю" и "чувствую". Это конечно же "не по математически", но если мои чувства меня обманывают, то давайте попробуем уже вполне по математически их опровергнуть. Только с учётом того, что неконструктивные аргументы не принимаются.

Dan B-Yallay писал(а):

Да собственно ничего, если вы не понимаете что не чертику решать какие числа существуюи а какие нет. Бесенок просто выгребает.

Это не чёртик решает, а Вы за него решаете, что он всё выгребет. Хотя Вы и не знаете, что это такое за "всё". А выгрести, между прочим, придётся ни много, ни мало, а бесконечное множество. Посмотрел бы я на такого чёртика, который выгребет бесконечное множество...

Dan B-Yallay писал(а):

Ну если пошел такой разговор, то не "чувствуйте" за ангела его возможностей. И не надо сваливать проблему опять к чертику: с чем бы он ни столкнулся - ангелу придется решить это раньше.

Опять же, я не могу судить о том, кто насколько кого "раньше" и чьи проблемы "больше", когда речь идёт о "бесконечностях". Я просто вижу, что за микросекунду до полудня чёртику останется раскидать десяток миллионов шаров, и чем дальше - тем хуже. Так что проблемы у чёртика со временем только растут, а Вы меня при этом убеждаете (на основании взятой с потолка аксиомы), что в полдень они все вдруг разом разрешатся.

Dan B-Yallay писал(а):

Если на этом форуме поставят эту же проблему в конструктивистской формулировке (будь такое вообще возможно) с требованием конструктивного решения, с интересом поучаствую в прениях.

"В конструктивной формулировке" это не проблема, а бессмысленная постановка вопроса. Вроде вопроса о том, сможет ли всемогущий создать камень, который сам не поднимет. Здесь тоже вопрос состоит в том, сможет ли чёртик с неограниченными возможностями раскидать всё то, что ему накидает ангел с неограниченными возможностями.

Добавлено спустя 10 минут 57 секунд:

Anton Nonko писал(а):

epros в сообщении #143246 писал(а):

Отрицать не буду. И даже могу утверждать отсутствие максимального простого числа. А вот существование множества всех простых чисел утверждать не берусь.

А в чем проблема-то?

Какая проблема? Что я не берусь утверждать существование бесконечного множества? Так это можно только на основании аксиомы, принимать которую я, в свою очередь, не вижу никаких оснований.

Добавлено спустя 1 час 13 минут 22 секунды:

Добавление специально для верующих в бесконечности.

Someone писал(а):

Дж.Литлвуд. Математическая смесь. Москва, "Наука", 1990.

Обсуждаемый текст - на странице 9.

Дж.Литлвуд писал(а):

(5) Парадокс бесконечности. Шары, занумерованные числами 1, 2, ... (для математика - сами эти числа), кладутся в ящик следующим образом. За одну минуту до полудня кладутся числа от 1 до 10, и число 1 вынимается обратно. За 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т.д. Сколько чисел останется в ящике в полдень? Ответ: ни одного. Какое бы число мы ни назвали, например 106, оно отсутствует в ящике, так как оно вынимается при 106-й операции.

Доопределим условия, обозначенные в исходной постановке как "и т.д.", следующим образом:
"Ровно в полдень в ящик кладётся первый бесконечный ординал с 9-ю следующими за ним ординалами, а один минимальный ординал вынимается. За 1/2 минуты до 12:01 кладутся следующие 10 ординалов, а один минимальный вынимается. И т.д. Сколько чисел останется в ящике в полдень? В другие моменты после полудня?"

Очевидно, ответ изменится. Может это и можно назвать "умственными извращениями", однако исходной постановке это не противоречит, ибо никто не говорил, что под "числами" нужно понимать только натуральные числа. А когда решение задачи зависит от интерпретации использованных в ней слов (причем интерпретация остаётся в рамках достаточно общепринятого), значит всё-таки с задачей что-то не так.