В защиту Литлвуда

[Профессор Снэйп]

Глядеть на соседнюю тему сил больше нет, глаза и уши в трубочку сворачиваются

Люди, несогласные с тем, что в корзине в полдень останется пустое множество шаров (или даже допускающие какой-то другой вариант) напоминают мне Вовочку на уроке математики.

Учительница: А теперь, дети, будем изучать вычитание. Вовочка, ответь мне на вопрос. Предположим, что мама положила тебе под подушку 5 яблок...
Вовочка: Ничего она не ложила, я под подушкой смотрел, когда проснулся, там пусто было!...
Учительница: Ну она потом положила, когда ты уже в школу ушёл.
Вовочка: Ну надо же, не ожидал! Да откуда бы она их взяла, если я вечером все яблоки съел, а магазин сегодня закрыт на учёт?
Учительница: Ну хорошо, пусть не яблоки, а кубики от конструктора. Кубики у вас дома есть?
Вовочка: Да, есть.
Учительница: Ну вот она и положила пять кубиков под подушку, когда ты в школу ушёл. А потом сестра оттуда три штуки взяла. Сколько кубиков сейчас под подушкой?
Вовочка: Ах она с..., я не разрешал сестре под мою подушку лазить. Вот я ей задам, когда приду со школы!
Учительница: Да причём тут разрешал-не разрешал, ты скажи, сколько кубиков осталось, если мама 5 положила, а потом сестра 3 взяла.
Вовочка: Не знаю, Марь Ивановна... Не могла сестра под мою подушку без спроса залезть, она ведь знает, что ей за это будет!
Учительница: Ну хорошо, а папа мог?
Вовочка: Нет, не мог, он на работу с утра ушёл и до вечера оттуда не вернётся...

Диалог может продолжаться до бесконечности, а точнее, до звонка с урока Учительница всего лишь хотела на наглядном примере объяснить Вовочке, сколько будет $5-3$, но не тут-то было: Вовочка, по малолетству не умея абстрагироваться от несущественных деталей (а ведь важны тут только количества и действия, кроме них в этой задаче всё надо пропускать мимо ушей), начинает цепляться к несущественным мелочам и вместо того, чтобы выполнить простое арифметическое действие, разводит целую философию, в которую входят и моральные качества сестры, и график работы продуктового магазина, и много чего ещё.

Так же и у Литлвуда. Человек пытается объяснить неподготовленной аудитории, насколько неожиданно на первый взгляд может выглядеть (в пределе) результат процесса, содержащего бесконечное число шагов. Для наглядности (предвидя возражения подобных Вовочке читателей) он пытается показать, как это бесконечное число шагов можно уложить в конечный отрезок времени: первый шаг за полчаса до полудня, второй за 15 минут до полудня и так далее, в полдень можно наблюдать результат. А разные "Вовочки" вместо того, чтобы выполнить простой предельный переход о объявить, что результатом действия является пустое множество, начинают заяснять, что каждое перекладывание требует достаточно большого времени для его осуществления, что полдень может и не наступить и прочее... Хорошо, ещё никто не догадался заявить о том, что бесконечных коробок не бывает и что на каком-то шаге шары в коробку не поместятся, какую бы большую мы её не взяли.

Что теряет Вовочка, не желая учиться вычитанию? Не научившись вычитать, он не освоит умножение, деление, возведение в степень и, как следствие, никогда не докажет ВТФ. Интересный мир теории чисел, содержащий так много удивительного, пройдёт мимо его ума. И я вот думаю: может, ради той красоты, которая в теории чисел присутствует, ему всё-таки лучше попробовать оставить свои придирки к сестре и попытаться понять Марь Ивановну?

А что теряют люди, не желающие поверить Литлвуду и понять его? О, они много чего теряют!!! Вся современная теория вычислимости (особенно после изобретения методов приоритета и теоремы Фридберга-Мучника) основана на подобных предельных переходах. И поверьте мне, она содержит удивительной красоты результаты. Конечно, между примером Литлвуда и теоремой Фридберга-Мучника (не говоря уже о более сложных конструкциях, основанных на бесконечном приоритете) огромная пропасть расстояния, такая же, как между таблицей умножения и теоремой Чебышева о распределении простых чисел. Но чтобы пройти это расстояние, первый шаг всё-таки нужно сделать: для понимания теоремы Чебышева в универе нужно для начала выучить таблицу умножения в первом классе. Так и тут: чтобы когда-нибудь разобраться в приоритетных конструкциях, нужно для начала поверить Литлвуду и понять, не цепляясь к несущественным деталям, что он хотел сказать, когда заявлял, что в полдень в ящике не останется ни одного шара.

Тем, кто не видит в рассуждении Литлвуда ничего парадоксального, предлагаю для разминки несколько задач.

1) Ангел и чёрт играют в такую игру. В начале игры перед ангелом стоит пустой ящик, перед чёртом --- корзина, полная натуральных чисел (в ней лежит по одному экземпляру каждого числа). Ходы делаются по очереди. В свой ход ангел кладёт в ящик два произвольных натуральных числа (которых там ещё нет). В ответ на это чёртик выкидывает любое число из корзины. Чёрт выигрывает, если после завершения игры (в полдень ) в корзине остаётся бесконечное множество чисел и оно оказывается подмножеством множества чисел, лежащих в ящике у ангела. Всегда ли чёрт может выиграть?

2) То же самое, только ангел кладёт не по два, а по одному числу?

3) Корзина, ящик и очерёдность ходов такие же, как и в первой задаче. Ангел может на каждом своём ходе класть любое конечное количество чисел в ящик (в том числе и нулевое количество, то есть, фактически, пропускать ход). Чёрт может либо выкидывать число из корзины, либо пропускать ход. Считается, что чёрт выигрывает, если после завершения игры множество $D$ чисел, оставшихся в корзине, бесконечно и либо $D \cap A$, либо $D \setminus A$ --- конечное множество, где $A$ --- множество чисел, положенных ангелом в ящик в процессе игры. Вопрос тот же: всегда ли чёрт может выиграть?

4) См. тему в олимпиадном разделе.

[juna]

Можно сколько угодно рассуждать о предельных переходах. Но смысл в том, что в корректно поставленной задаче к предельному переходу можно стремиться, т.е. моделировать приближение к нему. В предложенной задаче Литлвуда этого сделать не удается (и дальше все зависит от тренированности ума на рассмотрение таких фантазий - в математике их много), так что это плохой пример, чтобы научить Вовочку умножению.

[Профессор Снэйп]

Понимаете, для Вовочки все примеры плохи. Если его заставить считать яблоки, он будет говорить, что закрыт магазин, если кубики --- что сестра не могла, а папа на работе, если пальцы на руках --- скажет, что они у него не гнутся и что он вообще за распальцовку реально завалит любого козла, когда вырастет...

Вообще-то ему надо учиться не предметы считать, а производить операции над числами. Но числа сами по себе, как абстракция высокого порядка, неподготовленному уму не доступны. Вот и начинают показывать на примерах, считая предметы. А предметы обладают кучей посторонних свойств, не важных для задачи, но присутствующих de facto. Получаем неразрешимую педагогическую проблему.

juna писал(а):

Но смысл в том, что в корректно поставленной задаче к предельному переходу можно стремиться, т.е. моделировать приближение к нему. В предложенной задаче Литлвуда этого сделать не удается

Ну почему же не удаётся? Как раз очень даже удаётся. Что такое пустое множество? Это множество, не содержащее ни одного элемента. Вот мы и стремимся к нему, убирая на каждом шаге элементы из множества, один за другим. Так что всё тут очень корректно и наглядно: после первого шага нет первого элемента, после второго шага --- второго и т. д., в предел ни один элемент не входит. Или Вас смущает то, что по ходу процесса текущее количество элементов растёт? Так вот попытайтесь понять, что это --- несущественная деталь, от которой надо просто абстрагироваться, подобно тому, как Вовочке надо абстрагироваться от вкуса яблок, своих взаимоотношений с сестрой и всего остального, не имеющего отношения к арифметическим действиям.

[AD]

juna писал(а):

Но смысл в том, что в корректно поставленной задаче к предельному переходу можно стремиться, т.е. моделировать приближение к нему.

1. Это что за утверждение? Определение? Аксиома? Теорема?
2. Приближение отлично моделируется. Что значит, что "не останется шариков"? Это значит, что "не останется ни одного шарика". Ну вот и приближаем: "не останется первого шарика", "не останется первых двух шариков", ...
Сходимость и приближение бывают разные. И это отличный пример, чтобы научить участника по имени juna это понимать.

(Профессор Снэйп опередил)

Вообще, да. Если в таком духе будем говорить, то чем это отличается от основной темы?

[TOTAL]

juna писал(а):

В предложенной задаче Литлвуда этого сделать не удается (и дальше все зависит от тренированности ума на рассмотрение таких фантазий - в математике их много), так что это плохой пример, чтобы научить Вовочку умножению.

После стажировки у Литллвуда Вовочка стал крутым парадоксистом и отомстил Училке:
Вовочка: под подушкой лежат 1 пирожок с капустой и 1 пирожок с морковкой. Сколько всего прирожков?
Училка: два.
Вовочка: а вот и нет, непрогрессивная Вы наша. Нет там пирожков. Т.к. пирожками считаются только те, что с мясом.

[AD]

P.S.

Профессор Снэйп писал(а):

Глядеть на соседнюю тему сил больше нет, глаза и уши в трубочку сворачиваются

+1.

Добавлено спустя 41 секунду:

TOTAL ... напомнило анекдот про пустой дом.

Добавлено спустя 2 минуты 25 секунд:

Ну вот в пустой дом вошло два человека, а вышло три. Как такое может быть?
Биолог: Они размножились.
Физик: Ошибка эксперимента.
...
Математик: Назовем дом пустым, если в нём не более одного человека.

[Профессор Снэйп]

Понимаете, в случае с яблоками вопрос о том, кто их положил и куда, некорректен. Он не имеет отношения к задаче. Правильный вопрос тут не кто, а сколько?

А в случае с ящиками и шарами вопрос о количествах шаров в ящиках на каждом шаге тоже некорректен, подобно вопросу о том, кто и что клал Вовочке под подушку. Правильным здесь будет не вопрос о количестве шаров после каждого шага, а вопрос о том, какие шары после каждого шага в ящике остаются. Всё, что пытается сделать Литлвуд --- это объяснить, какие именно вопросы следует задавать в данной ситуации.

P. S. Это я продолжал свой диалог с juna.

[AD]

Формализация задачи TOTALа.

Возьмём
$f:z\mapsto w=\sqrt{z}$
и
$\delta(x)\in\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
Сколько функций мы взяли?

Ответ: ни одной, потому что многозначные функции и обобщенные функции не являются функциями.

[juna]

Профессор Снейп писал(а):

Ну почему же не удаётся? Как раз очень даже удаётся. Что такое пустое множество? Это множество, не содержащее ни одного элемента. Вот мы и стремимся к нему, убирая на каждом шаге элементы из множества, один за другим. Так что всё тут очень корректно и наглядно: после первого шага нет первого элемента, после второго шага --- второго и т. д., в предел ни один элемент не входит. Или Вас смущает то, что по ходу процесса текущее количество элементов растёт? Так вот попытайтесь понять, что это --- несущественная деталь, от которой надо просто абстрагироваться, подобно тому, как Вовочке надо абстрагироваться от вкуса яблок, своих взаимоотношений с сестрой и всего остального, не имеющего отношения к арифметическим действиям.

Поверьте, абстрагироваться я умею и захожу в дискуссионый раздел не всегда для того, чтобы научиться. Вы можете хором кричать. Я даже принимаю вашу фантазию предельного перехода.
Но конструктивно решить эту задачу, значит, по крайней мере, составить программу, демонстрирующую этот предельный переход.
Так вот, становится очевидно, что такое невозможно.

[AD]

juna писал(а):

составить программу, демонстрирующую этот предельный переход.

Это как, простите? На компутере, что-ли?

[juna]

Если вас это не устраивает, то постройте машину Тьюринга.

[TOTAL]

juna писал(а):

Поверьте, абстрагироваться я умею и захожу в дискуссионый раздел не всегда для того, чтобы научиться. Вы можете хором кричать. Я даже принимаю вашу фантазию предельного перехода.

juna, советую Вам, наоборот, Литллвуда обвинить в неумении абстрагироваться.
Ведь это он при подсчете количества шаров смотрит на их номера.

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

После стажировки у Литллвуда Вовочка стал крутым парадоксистом и отомстил Училке:
Вовочка: под подушкой лежат 1 пирожок с капустой и 1 пирожок с морковкой. Сколько всего прирожков?
Училка: два.
Вовочка: а вот и нет, непрогрессивная Вы наша. Нет там пирожков. Т.к. пирожками считаются только те, что с мясом.

Вот более тематический анекдот (о неумении абстрагироваться от несущественных деталей).

Идёт Вовочка по улице и встречает военрука. Спрашивает его: "А сколько вы пирожков можете съесть на голодный желудок". "Ну, пять или шесть", --- отвечает военрук. "А вот и нет", --- говорит ему Вовочка, --- "только один, потому что остальные будут уже не на голодный желудок!" Ишь ты, думает про себя военрук, а ведь действительно так оно и получается. Надо тоже эту загадку кому-нибудь загадать.

Через некоторое время военрук встречает директора школы. "А что, товарищ директор, сколько пирожков вы можете съесть на голодный желудок?" "Ну, четыре или пять". "Эх, чёрт", --- восклицает военрук, --- "сказали бы вы пять или шесть, я бы вас так классно подколол!"

Ну и конечно же классика (обратный пример о чересчур абстрактном мышлении):

Георг Вильгельм Фридрих Гегель писал(а):

"Эй, старая, ты торгуешь тухлыми яйцами, – сказала покупательница торговке. – Что? – возразила та. – Мои яйца тухлые? Сама ты тухлая! Ты мне смеешь говорить такое про мой товар? Ты? У которой папашу вши заели, мамаша с французами шашни водила, а бабка померла в богадельне! Ишь, целую простыню на свой платок извела! Известно, небось, откуда у тебя все эти шляпки да тряпки! Не будь офицеров, такие, как ты, не щеголяли бы в нарядах. Порядочные-то женщины больше за домом смотрят, а таким, как ты, самое место в каталажке! Заштопай лучше дырки на чулках! – Короче говоря, торговка ни единого зернышка в ней не заметит. Она мыслит абстрактно, и подытоживает все, начиная со шляпки покупательницы и кончая платками и простынями, вкупе с папашей и прочей родней – исключительно в свете того преступления, что та посмела назвать ее яйца тухлыми. В ее глазах все окрашивается в цвет этих тухлых яиц, тогда как те офицеры, о которых упоминает торговка (если они, конечно, имеют сюда какое-нибудь отношение – что весьма сомнительно), наверное, предпочли бы заметить совсем иные вещи..."

[AD]

juna писал(а):

Если вас это не устраивает, то постройте машину Тьюринга.

Дык это еще проще - у неё же лента бесконечная! Рисуем 10 квадратиков слева направо, потом едем влево и стираем самый левый, потом едем вправо и рисуем еще десять, едем влево и стираем еще один, итд.

[Профессор Снэйп]

juna писал(а):

Но конструктивно решить эту задачу, значит, по крайней мере, составить программу, демонстрирующую этот предельный переход.

Так вот, становится очевидно, что такое невозможно.

Я не знаю, как программировать такие вещи, поскольку не понимаю, что для Вас будет являться достаточной демонстрацией. Поясните для начала мне на примере, какие "программы" Вас вообще могут устроить. К примеру, составьте программу, демонстрирующую предельный переход

$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Или Вы с этим предельным переходом тоже не согласны?