Парадокс обмена

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1424121 писал(а):

Видите ли, если я рассчитал апостеорную вероятность "51% что противник сыграет "чет"", то это условная вероятность: "противник играет в 51% случаев "чет", при условии, что я придерживаюсь той стратегии (смешанной), которой придерживался до этого".

Ну так решение всегда принимается на основании той информации, которая есть. Т.е. Вы оцениваете вероятность хода противника на основании того, что знаете о его стратегии, включая знание о том, что он знает о Вашей стратегии.

EUgeneUS в сообщении #1424121 писал(а):

Поэтому не факт, что резкое изменение стратегии в детерминированную "всегда играть "чет"", будет лучшим выбором.

Почему резкое изменение? Просто Вы предложили на основании истории делать какие-то выводы о стратегии противника, а значит, в частности, Вы получаете какие-то оценки вероятностей его следующего хода.

Допустим, что оценка вероятности хода "чёт" - 51%. При таких условиях самому загадать "чёт" было бы, казалось бы, вполне рационально.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1424108 писал(а):

$X_1$ и $X_2$ с точки зрения игрока различаются.
Например, $X_1$ - это в конверте справа, а $X_2$ - в конверте слева.

Я, вообще-то спрашивал не про $X_1$ и $X_2$, которых в Вашем посте не было.
И даже не про $x_1$ и $x_2$, про которые достаточно знать, что для двух игроков, и двух конвертов на столе между ними,
то, что для первого игрока $x_1$ в конверте справа, то для второго игрока, который напротив, $x_1$ - в конверте слева.
И наоборот.
Я спрашивал, чем отличаются, с точки зрения игрока, два случая : $B=0$ и $B=1$?

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1424191 писал(а):

Я, вообще-то спрашивал не про $X_1$ и $X_2$, которых в Вашем посте не было.

Пардон. В моем посте как раз то были $X_1$ и $X_2$, а не было $x_1$, $x_2$.

Лукомор в сообщении #1424191 писал(а):

Я спрашивал, чем отличаются, с точки зрения игрока, два случая : $B=0$ и $B=1$?

1. Вы не возражаете, если мы пронумеруем игроков? "Первый" и "второй"
2. По условиям игры, конверты игрокам вручаются.

Тогда $B=0$ означает, что в конверте, который вручили первому в два раза меньше, чем в конверте, который вручили второму. $B=1$ означает, что первому вручили конверт с суммой в два раза больше, чем в конверте, который вручили второму.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1424195 писал(а):

Тогда $B=0$ означает, что в конверте, который вручили первому в два раза меньше, чем в конверте, который вручили второму.

Ну хорошо, $B=0$.
Как в этом случае первому игроку увеличить свой средний выигрыш?

[EUgeneUS]

Лукомор
Сорри, припозднился с ответом.

Вопрос не очень понятен.
Если игрок знает, что $B=0$, то никак. Раунд уже закончился.
Если игрок предполагает, что $B=0$, то очевидно как - выбрать второй конверт, в котором в два раза больше, чем в первом.

-- 11.11.2019, 11:02 --

Может быть повторюсь.

1. Есть две случайные величины - сумма в одном (в "первом") конверте, и сумма другом (во "втором"). Эти величины не являются независимыми - в каждом опыте одна в два раза больше другой.

2. Причем не обязательно одна зависит от другой. Они обе могут зависеть от каких-то случайных (или детерминированных) величин.

3. Одно из описаний игры я предложил:

EUgeneUS в сообщении #1424080 писал(а):

В общем виде раскладка в одном раунде описывается так:
$X_1 = 2 B Y_1 + (1-B) Y_2$
$X_2 = B Y_1 + 2 (1-B) Y_2$

(кстати, не так уж уверен, что это наиболее общее описание).

4. "Атака" игрока может быть направлена на
а) нахождение закономерностей в величине $B$ (в условиях указано, что в два раза больше в каком-то конверте, не не указано, что конверт, где больше, выбирается честной монеткой)
б) "Перекосы" в величинах $Y_1$ и $Y_2$.

5. Выше было показано, что
а) при некоторых зависимостях между $Y_1$ и $Y_2$
б) а так же, если $Y_1$ и $Y_2$ независимы, но имеют различное матожидание
5.1 Кроме того, если $Y_1$ и-или $Y_2$ будут зависеть от $B$
то $M[X_1] \ne M[X_2]$, UPD: даже в том случае, если $B$ - "честная монетка".

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1425200 писал(а):

Если игрок предполагает, что $B=0$, то очевидно как - выбрать второй конверт, в котором в два раза больше, чем в первом.

Это - из другой задачи...
Нам ТС предложил здесь задачу, где два игрока, у каждого - своя стратегия,
и обмен может состояться лишь по взаимному согласию обоих игроков.
Так вот, если $B=0$, то и первый, и второй игрок догадываются, что "Это «ж-ж-ж» — неспроста!…" (с) Винни-Пух ,
а потому, второй игрок никогда не согласится на обмен, и первый будет проигрывать всегда.

[EUgeneUS]

Лукомор

В таких трактовках условий - согласен с Вами.
Однако, в условиях ничего не сказано, что будет, если один хочет меняться, а второй не хочет

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1425219 писал(а):

Однако, в условиях ничего не сказано, что будет, если один хочет меняться, а второй не хочет

Я об этом спрашивал у ТС, еще на первой странице:

Лукомор в сообщении #1422638 писал(а):

И что будем делать, если один участник непременно хочет поменять конверт на противоположный,
а второй категорически против?

,
однако он внятно не ответил.

За все время обсуждения было только одно дельное предложение:

Евгений Машеров в сообщении #1422740 писал(а):

При взаимном согласии обмен, при несогласии нет обмена, если несогласен один, второй может предложить ему денег за согласие.

[EUgeneUS]

Лукомор
Еще есть вариант "игрок - ведущий".
Меняться или нет решает игрок.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1425225 писал(а):

Еще есть вариант "игрок - ведущий". Меняться или нет решает игрок.

Это совершенно другая задача.
А здесь мы рассматриваем ту, которую предложил ТС.

[sergey zhukov]

Чем принипиально ситуация, описанная в заглавии, отличается от следующей: ведущий загадывает любое $X$, а затем предлагает игроку одно из двух: либо сразу забрать $X$, либо бросить монетку по правилу: орел - платишь $X/2$, решка - получаешь $2X$ (бросание монетки - эквивалент обмена конвертами). В такой постановке рассуждения игрока из парадокса становятся правильными и ему всегда выгодно бросать монетку, а не брать $X$. В чем основное отличие этой постановки задачи от исходной?

Может, это уже обсуждалось? Я всего не просмотрел.

[EUgeneUS]

sergey zhukov
Разница в том, что описанная ситуация:

sergey zhukov в сообщении #1425234 писал(а):

ведущий загадывает любое $X$, а затем предлагает игроку одно из двух: либо сразу забрать $X$, либо бросить монетку по правилу: орел - платишь $X/2$, решка - получаешь $2X$

Не является

sergey zhukov в сообщении #1425234 писал(а):

эквивалент обмена конвертами

И не может иметь место одновременно (в одном раунде) сразу для обоих игроков.

[sergey zhukov]

Мне кажется, разница в том, что в этом случае исходы $X/2$ и $2X$ гарантированно равновероятны в каждом раунде. А в исходной постановке случай $2X$ как минимум в некоторых раундах имеет вероятность ниже, чем $X/2$.

[EUgeneUS]

sergey zhukov

1. В исходной постановке:

Цитата:

в одном конверте денег вдвое больше, чем в другом

конечно, может быть, что угодно. Например, в конверте игрока 1-го всегда больше, чем в конверте 2-го.

2. Если предположить, что у кого больше, а у кого меньше (до обмена), определяется честной монеткой (как предполагают игроки в стартовом посте), то
а) варианты "у первого больше в 2 раза, чем у второго" и "у второго в 2 раза больше, чем у первого" будут равновероятны. Ничего это не запретит. Ошибка в рассуждениях игроков не здесь.
б) а ошибка в том, что они нафантазировали перекошенную процедуру подготовки конвертов. Причем каждый из них считает, что перекос в его пользу. А так (одновременно) не бывает.

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1425243 писал(а):

А в исходной постановке случай $2X$ как минимум в некоторых раундах имеет вероятность ниже, чем $X/2$.

Нет.
В исходной постановке вероятности ничем не отличаются от раунда к раунду.
А вот в рассуждениях каждого из двух игроков от раунда к раунду повторяется ошибка
в нахождении ожидаемого количества денег.
И Вам пора бы уже эту ошибку найти.

Пусть вероятность выбрать любой из двух конвертов равна $p_1=p_2=\dfrac{1}{2}$,
никаких бесконечных серий, только один раунд, только два конверта, по которым уже до розыгрыша разложено только одно количество денег: $S$, никаких других денег не будет.

Найдите мат.ожидание суммы в конверте, который игрок выбрал сразу, и мат.ожидание суммы денег в другом конверте, которую игрок получит в результате обмена.

-- Пн ноя 11, 2019 14:13:07 --

sergey zhukov в сообщении #1425234 писал(а):

Чем принипиально ситуация, описанная в заглавии, отличается от следующей: ведущий загадывает любое $X$, а затем предлагает игроку одно из двух: либо сразу забрать $X$, либо бросить монетку по правилу: орел - платишь $X/2$, решка - получаешь $2X$ (бросание монетки - эквивалент обмена конвертами)

Принципиально, отличается тем, что в заглавном посте до начала розыгрыша определено количество денег $S$,
и это количество уже разложено по конвертам в соотношении $x_1 = S/3$ и $x_2 = 2S/3$.
Для данного раунда это - фиксированная величина: $x_1 +x_2 = S$, а выберет игрок $x_1$ или $x_2$, это - дело случая.

Во втором варианте эта общая сумма денег в двух конвертах $S$, не определена заранее.
Она определяется уже после того, как игрок вскрыл конверт, и нашел там $x$ денег.
Для данного варианта фиксированная величина уже $x$ - количество денег в первом конверте.

Теперь мы подбрасываем монетку, и определяем, сколько всего денег будет в этом раунде в двух конвертах:
$S_1 = x + x/2 = 3x/2$ или $S_2 = x + 2x = 3x = 2S_1$.
Поэтому в первом случае мы все расчеты должны вести, отталкиваясь от $S$, а во втором случае - от $x$, количества денег в первом конверте.