2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение27.10.2019, 13:27 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Евгений Машеров в сообщении #1422599 писал(а):
Мне кажется, ответ прост.
Никак.

А в чём проблема? Вроде бы и уравнение имеет решение, и эллиптический синус происходит из уравнения колебаний маятника, и тэта выражается через синус, да и дзета получается из тэты.
Или я спросил какую-то глупость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение28.10.2019, 01:24 
Заблокирован


16/04/18

1129
В учебнике Аппеля кажется есть упоминание, что Якоби рассматривал уравнения маятника с комплексными параметрами и что -то выводил из этого для обычных колебаний. Когда то пытался найти ссылки и спрашивал других, но не нашёл ничего. И там было про тета-функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение28.10.2019, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9971
Москва
Аппель это "Теоретическая механика" или "Историческая физика"? Или что-то иное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение28.10.2019, 10:11 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
novichok2018 в сообщении #1422709 писал(а):
В учебнике Аппеля кажется есть упоминание, что Якоби рассматривал уравнения маятника с комплексными параметрами и что -то выводил из этого для обычных колебаний. Когда то пытался найти ссылки и спрашивал других, но не нашёл ничего. И там было про тета-функции.

Странно всё это, потому как согласно википедии эллиптический синус это не только функция обратная к неполному эллиптическому интегралу, но и функция, которая с точностью до множителя из тэта-констант равна тэта функции Якоби.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение30.10.2019, 00:01 
Заблокирован


16/04/18

1129
Аппель - терфизика, один из томов. Могу поискать точную ссылку, если это надо, чуть позже. Вопрос интересный, но пока ссылки на литературу не находятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение30.10.2019, 19:39 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Немного в сторону от стартовой темы, но чтобы не плодить новую, спрошу здесь. Интересует нижеследующее интегральное преобразование
$$\int\limits_{0}^{+\infty}\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\vartheta(0,\mathrm{i}n\tau)\tau^{\mathrm{i}z-1}\mathrm{d}\tau = \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\vartheta(0,\mathrm{i}\tau)\tau^{\mathrm{i}z-1}}{1-\vartheta(0,\mathrm{i}\tau)}\mathrm{d}\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\vartheta(0,\mathrm{i}\mathrm{e}^{t}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}zt}}{1-\vartheta(0, \mathrm{i}\mathrm{e}^{t})}\mathrm{d}t$$
где $\vartheta(0,\mathrm{i}\tau)$ - тэта-функция Якоби. Связано ли оно как-то с дзета-функцией Римана, и можно ли его решить, т.е получить образ в явном виде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение31.10.2019, 21:14 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Кстати, эволюция функции
$$\varphi(x,\mathrm{i}\tau)= \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\vartheta(x,n\mathrm{i}\tau) = \frac{\vartheta(x,\mathrm{i}\tau)}{1-\vartheta(x, \mathrm{i}\tau)}$$
описывается уравнением
$$\frac{\partial \varphi(x,\mathrm{i}\tau)}{\partial \tau}= \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{n}{4\pi}  \frac{\partial^2 \varphi(x,\mathrm{i}\tau)}{\partial x^2}$$
Кто-нибудь изучал это уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение01.11.2019, 20:09 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
bayak в сообщении #1421324 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что если говорить о времени колебаний, то в случае перехода к комплексному углу отклонения и комплексной круговой частоте имеет место переход к комплексному времени колебаний? Иначе говоря, формула для времени колебаний маятника
$$t=\int\limits_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{dt}{\omega\sqrt{2(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}}$$
остаётся той же
$$z=\int\limits_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{dz}{\omega\sqrt{2(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}}$$
но возвращает комплексные значения времени - действительное значение для времени одного маятника и мнимое значение для времени другого маятника.

Вернёмся к нашим баранам. Вычислим четверть действительного и мнимого периодов колебаний соответственно
$$T_1/4=\int\limits_{\beta_0}^{0}\frac{dt}{\omega\sqrt{2(\cos\beta-\cos\beta_0)}}$$
$$T_2/4=\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{dt}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}}$$
где $\alpha = \beta + \mathrm{i}\gamma$. Действительный период легко найти, обратившись к полному эллиптическому интегралу первого рода. А где мы можем найти мнимый период?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение05.11.2019, 13:03 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Уберу свои ляпы:
$$T_1/4=\int\limits_{\beta_0}^{0}\frac{d\beta}{\omega\sqrt{2(\cos\beta-\cos\beta_0)}}$$
$$T_2/4=\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{d\gamma}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}}$$
где $\alpha = \beta + \mathrm{i}\gamma$.
С учётом этого исправления, период колебаний двойного маятника равен $T = T_1\cdot T_2$, где $T_1,T_2 \in \mathbb{N}$. И что тогда мы можем сказать о корнях уравнения
$$4\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{d\gamma}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}} = n$$ где $n \in \mathbb{N}$. Не здесь ли прячутся нетривиальные нули zfR.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение06.11.2019, 07:06 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
bayak в сообщении #1424107 писал(а):
С учётом этого исправления, период колебаний двойного маятника равен $T = T_1\cdot T_2$, где $T_1,T_2 \in \mathbb{N}$. И что тогда мы можем сказать о корнях уравнения
$$4\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{d\gamma}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}} = n$$ где $n \in \mathbb{N}$. Не здесь ли прячутся нетривиальные нули zfR.


Опять наступаю на те же грабли. Цикл колебаний двойного маятника равен $C = mn$, а простейший минимальный цикл, который и есть период, равен $T = 1\cdot p$, где $p\in\mathbb{P}$. Следовательно ищем корни уравнения
$$4\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{d\gamma}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}} = p$$ где $n \in \mathbb{P}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение08.11.2019, 12:00 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Последний вопрос.
Где можно посмотреть значения полного эллиптического интеграла первого рода для комплексного аргумента? А если конкретно, то меня интересуют значения $K(\mathrm{i}\rho)$, где $\mathrm{i}\rho$ - нетривиальные корни zfR без вещественной части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение11.11.2019, 22:19 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Несмотря на ваше упорное молчание, просто не могу не поделиться. Подставил в wolframalpha с конкретными $n$ вот это
$$\int\limits_{0}^{\log(n)}\frac{\mathrm{i}d\gamma}{\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\log(n))}}$$
и увидел, что он выдаёт полный эллиптический интеграл от правильной отрицательной дроби $K(-\dfrac{k}{m})$, причём, если в знаменателе аргумента стоит $n$, то есть $m=n$, то, за исключением $n=2$, число $n$ или простое или заканчивается на 5. Этому есть какое-то объяснение? Или я в очередной раз выпытываю у вас какую-то тривиальность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение12.11.2019, 14:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

bayak в сообщении #1425402 писал(а):
Несмотря на ваше упорное молчание
Ну а чего тут отвечать-то? То довольно технические вопросы, на которые мало кто ответит (хотя кстати обзавестись толстым справочником по спецфункциям как минимум никогда не поздно), а вы себя зарекомендовали уже определённым образом, так что специалисты будут скорее всего проходить мимо; а то странные вопросы, на которые лучше не отвечать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение12.11.2019, 19:20 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
arseniiv, спасибо, понял. Что касается вопроса, то тоже понял - всему виной $\cosh(\log(n))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический маятник с комплексным углом отклонения
Сообщение20.11.2019, 07:43 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Всё же вернёмся к истокам. Проверьте, пожалуйста, правильно ли я понимаю постановку задачи.
Итак, если перед нами стоит задача о моделировании колебаний с комплексным углом отклонения, то нам не обойтись без конструирования действия такой колебательной системы. Предлагаю следующий вариант:
$$S = \left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 +  \left(\frac{d\gamma}{dt}\right)^2 - \int\limits_{\varphi_0,\gamma_0}^{\varphi(t),\gamma(t)}\sin\varphi\cosh\gamma d\varphi + \sinh\gamma\cos\varphi d\gamma$$
с дополнительными начальными условиями для угловых скоростей $\frac{d\varphi}{dt}$, $\frac{d\gamma}{dt}$. По крайней мере, именно такое действие порождает требуемое дифференциальное уравнение колебаний с комплексным аргументом. Но тут возникает вопрос - как из множества решений, минимизирующих это действие, выбрать замкнутые траектории, которые собственно и являются настоящими колебательными процессами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 59 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group