Математический маятник с комплексным углом отклонения

[bayak]

Евгений Машеров в сообщении #1422599 писал(а):

Мне кажется, ответ прост.
Никак.

А в чём проблема? Вроде бы и уравнение имеет решение, и эллиптический синус происходит из уравнения колебаний маятника, и тэта выражается через синус, да и дзета получается из тэты.
Или я спросил какую-то глупость?

[novichok2018]

В учебнике Аппеля кажется есть упоминание, что Якоби рассматривал уравнения маятника с комплексными параметрами и что -то выводил из этого для обычных колебаний. Когда то пытался найти ссылки и спрашивал других, но не нашёл ничего. И там было про тета-функции.

[Евгений Машеров]

Аппель это "Теоретическая механика" или "Историческая физика"? Или что-то иное?

[bayak]

novichok2018 в сообщении #1422709 писал(а):

В учебнике Аппеля кажется есть упоминание, что Якоби рассматривал уравнения маятника с комплексными параметрами и что -то выводил из этого для обычных колебаний. Когда то пытался найти ссылки и спрашивал других, но не нашёл ничего. И там было про тета-функции.

Странно всё это, потому как согласно википедии эллиптический синус это не только функция обратная к неполному эллиптическому интегралу, но и функция, которая с точностью до множителя из тэта-констант равна тэта функции Якоби.

[novichok2018]

Аппель - терфизика, один из томов. Могу поискать точную ссылку, если это надо, чуть позже. Вопрос интересный, но пока ссылки на литературу не находятся.

[bayak]

Немного в сторону от стартовой темы, но чтобы не плодить новую, спрошу здесь. Интересует нижеследующее интегральное преобразование

$$\int\limits_{0}^{+\infty}\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\vartheta(0,\mathrm{i}n\tau)\tau^{\mathrm{i}z-1}\mathrm{d}\tau = \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\vartheta(0,\mathrm{i}\tau)\tau^{\mathrm{i}z-1}}{1-\vartheta(0,\mathrm{i}\tau)}\mathrm{d}\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\vartheta(0,\mathrm{i}\mathrm{e}^{t}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}zt}}{1-\vartheta(0, \mathrm{i}\mathrm{e}^{t})}\mathrm{d}t$$

где $\vartheta(0,\mathrm{i}\tau)$ - тэта-функция Якоби. Связано ли оно как-то с дзета-функцией Римана, и можно ли его решить, т.е получить образ в явном виде?

[bayak]

Кстати, эволюция функции

$$\varphi(x,\mathrm{i}\tau)= \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\vartheta(x,n\mathrm{i}\tau) = \frac{\vartheta(x,\mathrm{i}\tau)}{1-\vartheta(x, \mathrm{i}\tau)}$$

описывается уравнением

$$\frac{\partial \varphi(x,\mathrm{i}\tau)}{\partial \tau}= \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{n}{4\pi} \frac{\partial^2 \varphi(x,\mathrm{i}\tau)}{\partial x^2}$$

Кто-нибудь изучал это уравнение?

[bayak]

bayak в сообщении #1421324 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что если говорить о времени колебаний, то в случае перехода к комплексному углу отклонения и комплексной круговой частоте имеет место переход к комплексному времени колебаний? Иначе говоря, формула для времени колебаний маятника

$$t=\int\limits_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{dt}{\omega\sqrt{2(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}}$$

остаётся той же

$$z=\int\limits_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{dz}{\omega\sqrt{2(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}}$$

но возвращает комплексные значения времени - действительное значение для времени одного маятника и мнимое значение для времени другого маятника.

Вернёмся к нашим баранам. Вычислим четверть действительного и мнимого периодов колебаний соответственно

$$T_1/4=\int\limits_{\beta_0}^{0}\frac{dt}{\omega\sqrt{2(\cos\beta-\cos\beta_0)}}$$

$$T_2/4=\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{dt}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}}$$

где $\alpha = \beta + \mathrm{i}\gamma$. Действительный период легко найти, обратившись к полному эллиптическому интегралу первого рода. А где мы можем найти мнимый период?

[bayak]

Уберу свои ляпы:

$$T_1/4=\int\limits_{\beta_0}^{0}\frac{d\beta}{\omega\sqrt{2(\cos\beta-\cos\beta_0)}}$$

$$T_2/4=\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{d\gamma}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}}$$

где $\alpha = \beta + \mathrm{i}\gamma$.
С учётом этого исправления, период колебаний двойного маятника равен $T = T_1\cdot T_2$, где $T_1,T_2 \in \mathbb{N}$. И что тогда мы можем сказать о корнях уравнения

$$4\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{d\gamma}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}} = n$$

где $n \in \mathbb{N}$. Не здесь ли прячутся нетривиальные нули zfR.

[bayak]

bayak в сообщении #1424107 писал(а):

С учётом этого исправления, период колебаний двойного маятника равен $T = T_1\cdot T_2$, где $T_1,T_2 \in \mathbb{N}$. И что тогда мы можем сказать о корнях уравнения

$$4\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{d\gamma}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}} = n$$

где $n \in \mathbb{N}$. Не здесь ли прячутся нетривиальные нули zfR.

Опять наступаю на те же грабли. Цикл колебаний двойного маятника равен $C = mn$, а простейший минимальный цикл, который и есть период, равен $T = 1\cdot p$, где $p\in\mathbb{P}$. Следовательно ищем корни уравнения

$$4\int\limits_{\gamma_0}^{0}\frac{d\gamma}{\omega\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\gamma_0)}} = p$$

где $n \in \mathbb{P}$.

[bayak]

Последний вопрос.
Где можно посмотреть значения полного эллиптического интеграла первого рода для комплексного аргумента? А если конкретно, то меня интересуют значения $K(\mathrm{i}\rho)$, где $\mathrm{i}\rho$ - нетривиальные корни zfR без вещественной части.

[bayak]

Несмотря на ваше упорное молчание, просто не могу не поделиться. Подставил в wolframalpha с конкретными $n$ вот это

$$\int\limits_{0}^{\log(n)}\frac{\mathrm{i}d\gamma}{\sqrt{2(\ch\gamma-\ch\log(n))}}$$

и увидел, что он выдаёт полный эллиптический интеграл от правильной отрицательной дроби $K(-\dfrac{k}{m})$, причём, если в знаменателе аргумента стоит $n$, то есть $m=n$, то, за исключением $n=2$, число $n$ или простое или заканчивается на 5. Этому есть какое-то объяснение? Или я в очередной раз выпытываю у вас какую-то тривиальность?

[arseniiv]

(Оффтоп)

bayak в сообщении #1425402 писал(а):

Несмотря на ваше упорное молчание

Ну а чего тут отвечать-то? То довольно технические вопросы, на которые мало кто ответит (хотя кстати обзавестись толстым справочником по спецфункциям как минимум никогда не поздно), а вы себя зарекомендовали уже определённым образом, так что специалисты будут скорее всего проходить мимо; а то странные вопросы, на которые лучше не отвечать.

[bayak]

arseniiv, спасибо, понял. Что касается вопроса, то тоже понял - всему виной $\cosh(\log(n))$.

[bayak]

Всё же вернёмся к истокам. Проверьте, пожалуйста, правильно ли я понимаю постановку задачи.
Итак, если перед нами стоит задача о моделировании колебаний с комплексным углом отклонения, то нам не обойтись без конструирования действия такой колебательной системы. Предлагаю следующий вариант:

$$S = \left(\frac{d\varphi}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d\gamma}{dt}\right)^2 - \int\limits_{\varphi_0,\gamma_0}^{\varphi(t),\gamma(t)}\sin\varphi\cosh\gamma d\varphi + \sinh\gamma\cos\varphi d\gamma$$

с дополнительными начальными условиями для угловых скоростей $\frac{d\varphi}{dt}$, $\frac{d\gamma}{dt}$. По крайней мере, именно такое действие порождает требуемое дифференциальное уравнение колебаний с комплексным аргументом. Но тут возникает вопрос - как из множества решений, минимизирующих это действие, выбрать замкнутые траектории, которые собственно и являются настоящими колебательными процессами.