Математический маятник с комплексным углом отклонения

[bayak]

Если в маятнике в качестве грузика использовать пружину, замкнутую в окружность, то можно смоделировать математический маятник с комплексным углом отклонения. Для этого достаточно представить, что пружина обвивает тор, а её деформация вызывает такое преобразование (растяжение-сжатие задающих окружностей тора), которое сохраняет площадь тора. Тогда деформация пружины будет описываться гиперболическим углом отклонения от положения равновесия, а вместе с отклонением пружины как грузика мы получим комплексный угол отклонения. В этой связи у меня два вопроса:

1. Можно ли физически реализовать такой маятник?

2. Можно ли обобщить формулу для периода колебаний математического маятника переходом от обычного эллиптического интеграла к интегралу в комплексной области?

[Евгений Машеров]

По-моему, сделать маятник с уравнением
$\ddot {x}+\omega ^{2}\sh x=0$
можно проще. Что-то вроде шаблона в точке подвеса, по которому она перемещается.
И, кстати, зачем?

[bayak]

Задача в том, чтобы в уравнении были комплексными и икс и омега. А что за шаблон имелся в виду?

[bayak]

Отложим пока вопрос о физической реализации и обратимся к вопросу о периоде колебаний двойного маятника.
Понятно, что такой период не всегда существует, но пусть $mT_1 = nT_2$. Какой тогда получится период? Получается, что задача о периоде колебаний маятника с комплексным углом отклонения как-то связана с теорией чисел.

[bayak]

Правильно ли я понимаю, что если говорить о времени колебаний, то в случае перехода к комплексному углу отклонения и комплексной круговой частоте имеет место переход к комплексному времени колебаний? Иначе говоря, формула для времени колебаний маятника

$$t=\int\limits_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{dt}{\omega\sqrt{2(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}}$$

остаётся той же

$$z=\int\limits_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{dz}{\omega\sqrt{2(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}}$$

но возвращает комплексные значения времени - действительное значение для времени одного маятника и мнимое значение для времени другого маятника.

[Евгений Машеров]

bayak в сообщении #1421085 писал(а):

Задача в том, чтобы в уравнении были комплексными и икс и омега. А что за шаблон имелся в виду?

Комплексная частота это попросту колебания с затуханием (ну, или нарастанием)
А шаблон - что-то наподобие маятника Гюйгенса, только с иной формой щёчек.

[bayak]

Евгений Машеров в сообщении #1421402 писал(а):

Комплексная частота это попросту колебания с затуханием (ну, или нарастанием)

Не спорю, но в нашем случае комплексный угол это аргумент не экспоненты, а синуса (не важно какого - тригонометрического или гиперболического). Впрочем, синус выражается через экспоненты, и поэтому связь между комплексной частотой и комплексным углом отклонения маятника всё же имеется.

Однако странно, что с такими простыми вопросами меня не отсылают к литературе. Не верю, что это не паханное поле, наверняка уже всё нарыто и позабыто.

Попробую ещё переформулировать вопрос. Если исходить из того, что тэта-функция является обратной к эллиптическому интегралу, то меня интересует функция, обратная к тэта-функции. Где на неё можно посмотреть?

[Евгений Машеров]

bayak в сообщении #1421436 писал(а):

Если исходить из того, что тэта-функция является обратной к эллиптическому интегралу, то меня интересует функция, обратная к тэта-функции.

Эээ... $(f^{-1})^{-1}=f$

[bayak]

Евгений Машеров в сообщении #1421563 писал(а):

Эээ... $f^{-1}(f^{-1})=f$

Так то оно так, но некоторое недопонимание у меня осталось. Во-первых, я не понимаю почему при вычислении полного эллиптического интеграла с комплексной переменной $\theta$ в качестве верхнего предела интегрирования берут $\pi /2$, хотя казалось бы в уравнении $\sin\theta$=1 это не единственное решение. Во-вторых, я не знаю где мне посмотреть на обратную к тэта-функции, а если конкретно, то хотел бы посмотреть на аргументы тэты, соответствующие значению $-1$, то есть решить уравнение $\theta(0,\tau)+1=0$.

[bayak]

bayak в сообщении #1421150 писал(а):

Отложим пока вопрос о физической реализации и обратимся к вопросу о периоде колебаний двойного маятника.
Понятно, что такой период не всегда существует, но пусть $mT_1 = nT_2$. Какой тогда получится период? Получается, что задача о периоде колебаний маятника с комплексным углом отклонения как-то связана с теорией чисел.

Попробую обосновать этот тезис.

Прежде всего, следует заметить, что период колебаний маятника $T$ равен минимальному циклу $C$. Иначе говоря, если цикл нельзя уже уменьшить делением на натуральное число , то этот цикл равен периоду.
Итак, пусть $C = mT_1 = nT_2$. Тогда $T = mT_1 = nT_2$, в том случае, когда $\gcd{(m,n)}=1$, то есть $m$ и $n$ взаимно просты. Потребуем также дополнительно, чтобы $T_1,T_2 \in \mathbb{N}$.
Тогда, если $T_1=k, \quad T_2=q$, то мы имеем цикл $C=mk=nq=p_1 \cdot\dots\cdot p_{r}$, где $p_1,\dots,p_{r}\in \mathbb{P}$. Минимизируя этот цикл, получаем период колебаний двойного маятника $T = p_{i}p_{j} = p_{j}p_{i}$. Тем самым, мы доказали, что дискретный спектр периодов колебаний двойного маятника принадлежит множеству парных произведений простых чисел. Откуда немедленно следует, что если $T_1 = 1$, то $T\in \mathbb{P}$, то есть, если период колебаний одного маятника равен единице, то период колебаний двойного маятника принадлежит множеству простых чисел.

Таким образом, решение задачи о поиске всех полных эллиптических интегралов не возможно без обращения к множеству простых чисел, и

(Оффтоп)

похоже, что я на правильном пути (стр.7) - нетривиальные нули zfR лежат где-то в тэта-функции Якоби.

[Евгений Машеров]

А зачем именно пары простых? Для взаимной простоты это не обязательно. Ну, будет один период 10, другой 21...

[bayak]

Евгений Машеров в сообщении #1421965 писал(а):

Ну, будет один период 10, другой 21...

Но это не периоды, а циклы. Мы минимизируем также и эти циклы, отсюда и пары простых периодов. Впрочем, возможно, всё это слишком тривиально и никакого толка в этом нет.

[bayak]

Пардон, похоже, я сам запутался и форумчан ввожу в когнитивный диссонанс. На самом деле, делением на натуральный множитель надо минимизировать не циклы, а периоды. Цель - выделить множество простых циклов.

[bayak]

bayak в сообщении #1421324 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что если говорить о времени колебаний, то в случае перехода к комплексному углу отклонения и комплексной круговой частоте имеет место переход к комплексному времени колебаний? Иначе говоря, формула для времени колебаний маятника

$$t=\int\limits_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{dt}{\omega\sqrt{2(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}}$$

остаётся той же

$$z=\int\limits_{\alpha_0}^{\alpha}\frac{dz}{\omega\sqrt{2(\cos\alpha-\cos\alpha_0)}}$$

но возвращает комплексные значения времени - действительное значение для времени одного маятника и мнимое значение для времени другого маятника.

Попробую продолжить тему. Поскольку $z=t_1 + \mathrm{i} t_2$, то приравнивая время колебаний маятников $t=t_1 = t_2$, получим уравнение

$$t + \mathrm{i}t = \int\limits_{\alpha_0}^{\alpha(t)}\frac{dz}{\omega\sqrt{2(\cos\alpha(t)-\cos\alpha_0)}}$$

решение которого даст нам угловую траекторию $\alpha(t)$ движения маятника с комплексным углом отклонения. Как нам теперь выбрать замкнутые траектории, а из них - траектории с простым циклом колебаний? И как тут аккуратно перейти к кривой (прямой) линии в эллиптическом синусе, а от неё к линии в тэта-функции Якоби и дзета-функции Римана?

[Евгений Машеров]

bayak в сообщении #1422505 писал(а):

И как тут аккуратно перейти к кривой (прямой) линии в эллиптическом синусе, а от неё к линии в тэта-функции Якоби и дзета-функции Римана?

Мне кажется, ответ прост.
Никак.