Как объяснить простым языком, что такое аксиальный вектор?

[Ktina]

Как объяснить простым языком, что такое аксиальный вектор? И почему его ещё называют псевдовектором?

[Munin]

Так вам нужно объяснить кому-то, или вам самому хочется узнать и понять? Это две разные задачи.

[Ktina]

Munin в сообщении #1420182 писал(а):

Это две разные задачи.

Тогда вторую, пожалуйста.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Зачем объяснять простым языком то, что в простом языке не используется...

[Pphantom]

Конструкция, очень похожая на вектор (в частности, преобразующаяся как вектор при поворотах осей координат), но меняющая направление на противоположное при зеркальной инверсии системы координат (т.е., например, при замене двух осей местами).

[Munin]

Первое же гугление по форуму даёт:

«Физический смысл векторного произведения»
«Векторное произведение... Физический смысл»
post648306.html#p648306

«Векторное произведение»

«Скаляр, псевдоскаляр, вектор и псевдовектор.»

post625247.html#p625247

Вы всё это прочитали? Какие остались вопросы?

[arseniiv]

Надоумился написать краткую справку по этой вещи, умещающуюся в один пост и удалять после всего написанного выше не буду.

Вектор $v\in V$ может задавать ориентацию прямой, и аналогично бивектор $B\in\wedge^2 V$, элемент второй внешней степени $V$, — ориентацию плоскости и т. д. вплоть до $n$-вектора из $\wedge^n V, \; n = \dim V$ (высшие степени все нулевые), задающего ориентацию на всём пространстве. Это внутренние ориентации, они никак не меняются под действием линейных преобразований, множество неподвижных точек которых включает интересующее подпространство. У подпространства может быть ещё и внешняя ориентация, вот она задаётся псевдо-чем-то-там. Она меняется на противоположную, если преобразование как выше меняет ориентацию всего пространства.

Построить же такие объекты можно как пары из (поли)вектора и ориентации пространства, рассматриваемые с точностью до одновременной смены знака обоих. Действие невырожденного линейного оператора на них задаётся покомпонентно, причём как обычно ориентация умножается на знак определителя оператора. Звёздочка Ходжа, взаимно однозначно отображающая $k$-векторы в $(n-k)$-векторы, требует для своего определения и скалярного произведения, и ориентации пространства (через форму объёма), но можно снять зависимость от ориентации, считая, что или на входе, или на выходе псевдо-.

Исходно псевдовекторы расплодились из-за ситуации с трёхмерным пространством, в котором таким образом бивекторы (связанные со сп. ортогональными преобразованиями; $\wedge^2 V$ изоморфно алгебре Ли $\mathfrak{so}(V)$) «упрощаются» до псевдовекторов, задающих оси и величины вращения (угол, угловая скорость и т. п.), оттуда пошло «аксиальный». Вместе с ними появляются векторное произведение (из внешнего, $u\times v = \star(u\wedge v)$) и ротор — их результаты от «чистых» аргументов «нечистые». Для более простого случая двумерной плоскости с вращениями связан псевдоскаляр, а для всех размерностей выше переход к псевдо-величинам ничем не помогает, размерность понижаться не будет.

P. S. Это насколько я начитался как-то Бёрке, что по крайней мере сходится с моей визуализацией.

Утундрий в сообщении #1420186 писал(а):

Зачем объяснять простым языком то, что в простом языке не используется...

-- Пт окт 11, 2019 01:55:18 --

(На самом деле тут было бы хорошо это всё связать с плотностями. Но я с ними как раз сам недоразобрался.)

-- Пт окт 11, 2019 01:57:23 --

Вообще характеризацию того, что такое внутренняя и внешняя ориентация, я щас сам выдумал. Не помню как это будет правильно, но вроде тесты проходит.

-- Пт окт 11, 2019 01:57:52 --

(Последние вопросы, разумеется, не к ТС.)

[Gagarin1968]

Munin

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1420182 писал(а):

Так вам нужно объяснить кому-то, или вам самому хочется узнать и понять?

Правильно будет: вам самой. Ktina - женщина.

[Munin]

Gagarin1968
Нет. (И это на этом форуме давно известно и многократно обсуждалось. Ищите сами.)

-- 11.10.2019 00:08:37 --

arseniiv
Вот представьте перед собой девяти-десятиклассника. Он недавно только узнал, что такое векторы. Ну может, знает про скалярное и векторное произведение, но ещё мало освоился с ними. Как вы объясните ему, на его языке? (Понятия векторного пространства он не знает, понятия размерности - нет, линейного преобразования - нет, тем более внешнего произведения. "Подпространство, ориентация" - на уровне фонетических ассоциаций. Ось и угол вращения - ну допустим, понимает.)

[arseniiv]

Munin в сообщении #1420195 писал(а):

Вот только я боюсь, что не в коня корм в данном случае.

Так кто мешает мигрировать пост (например просто цитируя его куда захочется), если он вышел хорошим. Когда я его писал, я вдохновился модой SE: ответы важнее вопросов.


UPD: Плюс это была моя форма выражения того, что сказал Утундрий, разве что более конструктивная: есть возможность посидеть и выписать в полноте всё непонятное и как-то наконец состыковать. Без того, что я написал (и про ориентации, и про пример конкретного представления парами), моё собственное понимание этой вещи было неудовлетворительным; ну и говоря об аксиальном применении, как-то странно не упомянуть контекст ($\mathrm{SO}$ в каком-то виде). Конечно, надо писать длиннее, если предполагаемый входной уровень низкий, но в таком случае продуктивнее сослаться на уже готовое и работать с результатами его чтения, как сделали уже вы, так что я не счёл нужным ничего подобного добавлять к себе.

[Утундрий]

Ну наворотили...

Короче, есть такие достаточно общие объекты - векторы. А есть один достаточно специальный - по всём параметрам вектор, пока в зеркало не посмотрит. Вот и обозвали его вектором с приставкой псевдо-.

А есть ещё такой псевдотензор. Который вообще в очень частном случае тензор. Так его тоже опсевдили.

(Кстати, один экспериментатор в воспоминаниях о Ландау запросто перепутал эти две псевды, в результате чего его понимание вклада ЛЛ в попытки ввести законы сохранения в ОТО получилось изрядно комическим).

[Munin]

Утундрий в сообщении #1420198 писал(а):

А есть один достаточно специальный - по всём параметрам вектор, пока в зеркало не посмотрит.

Вампир, значит?

[Ktina]

Только что потыбрено в Тырнетах найдено на просторах Сети:

Цитата:

Преподаватель у университете задал вопрос. В чем отличие псевдовектора (аксиального вектора) от обычного вектора? Говорили преподавателю, что псевдовектор меняет направление на противоположное при сохранении абсолютной величины при любой инверсии координатной системы. Но он говорил, что дело не в этом. Сказал, что что-то можно сделать с одним вектором, что нельзя или не получится сделать с другим. Вроде дал подсказку, что это связано с координатами. Уже не одно занятие не получается ответить на этот вопрос.

[arseniiv]

Не отвлекайтесь на координаты, они нужны для практических расчётов, а не для геометрического понимания.

[Munin]

Ktina в сообщении #1420206 писал(а):

Только что потыбрено в Тырнетах найдено на просторах Сети

Непонятно, почему вы вообще копаетесь во всяком мусоре, вместо того, чтобы искать ответа на тот вопрос, который вас заинтересовал.

Или на самом деле не заинтересовал?