Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.

[Mihr]

Ну, альтернативных определений числа $e$, вероятно, можно отыскать немало. Чем не альтернативное определение:

$$e=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$

[ewert]

Mihr в сообщении #1417887 писал(а):

Чем не альтернативное определение:

$$e=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$

Оно альтернативно своей одарённостью (т.е. абсолютной бесполезностью). В отличие от через производную, кстати.

oleg.k в сообщении #1417880 писал(а):

Знать, что такое показательная функция для того чтобы определить экспоненту как решение дифура $f'(x) = f(x); f(0) = 1$?

Это-то уж безусловно до. Что такое вообще дифур -- и при чём тут начальное условие?...
Это достаточно тяжёлое понятие.
Единственное, что на этот момент можно было бы сказать: "Дети, подождите с полгодика-годик, и узнаете, что это такое; но мамой клянусь, что оно есть!"

oleg.k в сообщении #1417880 писал(а):

Уж обратные то функции к этому моменту знают. Про функции надо говорить еще до теории пределов и даже до действительных чисел.

До действительных чисел никто про обратные функции ничего не знает.

oleg.k в сообщении #1417880 писал(а):

причем рациональные степени определены через корни и повезло еще, если корни нормально были определены во время рассказа про $\mathbb{R}$

Теорема Больцано-Коши -- это самое начало пределов функций. После чего как следствие идёт существование обратных функций вообще (а до неё их нет в принципе). После чего корни определять специально уже не нужно -- они появляются автоматически.

[Mihr]

(ewert)

ewert в сообщении #1417888 писал(а):

Оно альтернативно своей одарённостью (т.е. абсолютной бесполезностью).

Для обучаемого? Спорить невозможно. Но тут и копья ломать не из-за чего: наиболее полезное определение уже в учебнике.
А насчёт всех остальных... Не знаю. Я бы не был столь категоричен. Подозреваю, что специалист по численным методам куда охотнее рассматривал бы $e$ как указанный сходящийся ряд. Тогда при вычислениях нужная точность будет достигнута существенно за меньшее число шагов, чем при использовании традиционной формулы для предела числовой последовательности.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1417888 писал(а):

-- и при чём тут начальное условие?...

Этому дифуру не только экспонента удовлетворяет, но и тождественный ноль, о чем Вы безусловно в курсе.

ewert в сообщении #1417888 писал(а):

До действительных чисел никто про обратные функции ничего не знает.

Странно. Функции могут быть где-угодно заданы и куда угодно действовать. Это все в ликбезе про наивную теорию множеств рассказывается: сюрьекции, инъекции, биекции, обратные функции, композиция и т.д. Но я не настаиваю, что всегда именно так. Может быть кто-то и впрямь изучает обратные функции уже после того, как изучены действительные числа. Просто на мой взгляд это как-то некрасиво: зачем привязываться к $\mathbb{R}$, когда этого можно не делать...

ewert в сообщении #1417888 писал(а):

Теорема Больцано-Коши -- это самое начало пределов функций.

Самое начало теории пределов функций - это определение (в 2-3 формулировках), единственность предела, сходимость (финально) постоянных функций, (локальная) ограниченность сходящихся функций, предел как локальное свойство (независимость предела от сужения функции на произвольно малую окрестность предельной точки, т.е. независимость предела от значений функции, которые она принимает вне некоторой пусть и маленькой но фиксированной окрестности предельной точки), предельный переход и арифметические операции (про сумму/произведение/частное сходящихся функций), предельный переход и неравенства (лемма о милиционерах и т.д.), предел композиции (с оговорками об ограничениях на внутреннюю или внешнюю функции, чтобы теорема работала), предел монотонной функции, колебания функции на проколотой окрестности и критерий Коши, асимптотика и еще может что-то, что я забыл. А я еще непрерывность не трогал. Хотя если Вы хотели сказать не про пределы, а про непрерывность, то все равно теорема Больцано-Коши где-то в середине/конце рассказа про непрерывность (т.е. после локальных свойств непрерывных функций, что уже половина главы "Непрерывность функций одной переменной") и уже всяко после рассказа про пределы. Опять же может быть где-то и не так, но это уже скорее аномалия изучать глобальные свойства непрерывных функций до их локальных свойств.

ewert в сообщении #1417888 писал(а):

После чего как следствие идёт существование обратных функций вообще (а до неё их нет в принципе). После чего корни определять специально уже не нужно -- они появляются автоматически.

Существование обратных функций как следствие теоремы Больцано-Коши? Для того, чтобы существовала обратная функция, достаточно чтобы прямая была биективной (да даже достаточно инъективности, просто надо будет быть аккуратным с областью определения обратной функции и все). Вобщем я тут пишу про очевидные вещи, которые Вы знаете в 10 раз лучше меня. Я полагаю, что Вы не очень точно выразились и имели в виду теорему о непрерывности обратной функции, а не существование обратной функции. Ну дак это уже самый конец теории пределов и непрерывности, о чем я и говорил.

-- 28.09.2019, 12:19 --

Mihr в сообщении #1417891 писал(а):

...наиболее полезное определение уже в учебнике.

Через с неба рухнувший предел? Сомнительно.

[Mihr]

(oleg.k)

oleg.k в сообщении #1417892 писал(а):

Сомнительно.

Возможно, Вам придётся преодолеть Ваше сомнение. В математике многое поначалу кажется "с неба рухнувшим" - пока не разберёшься, что к чему. В самом определении предела разве не кажутся поначалу "с неба рухнувшими" всякие "эпсилон", "дельта"? А когда разберёшься, всё видится абсолютно логичным.

[ewert]

oleg.k в сообщении #1417892 писал(а):

зачем привязываться к $\mathbb{R}$, когда этого можно не делать...

Этого невозможно не делать -- обратные функции существуют исключительно благодаря аксиоме/теореме полноты/непрерывности. Соответственно, до $\mathbb{R}$ их нет.

oleg.k в сообщении #1417892 писал(а):

Для того, чтобы существовала обратная функция, достаточно чтобы прямая была биективной

Прямой не бывает.

Насчёт того, что теорема Б.-К. идёт в начале пределов, я действительно погорячился (но всё-таки в начале непрерывности). Тем не менее, в том, что Вы перечислили про пределы, много лишнего. В частности, арифметические свойства пределов и теорему о двух милиционерах (да и вообще все свойства, кроме ограниченности и отделимости от нуля) достаточно просто упомянуть -- они автоматически вытекают из аналогичных свойств пределов последовательностей благодаря определению предела функции по Гейне. Которое безусловно необходимо наряду с определением по Коши.

-- Сб сен 28, 2019 13:45:17 --

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1417891 писал(а):

Подозреваю, что специалист по численным методам куда охотнее рассматривал бы $e$ как указанный сходящийся ряд. Тогда при вычислениях нужная точность будет достигнута существенно за меньшее число шагов,

Определение и вычисление -- вещи разные. Для определения важна мотивация, для вычисления -- нет.

Определение через ряд не мотивировано ничем. А вот, скажем, определение $e$ как такого основания, при котором производная показательной функции равна ей самой -- вполне идейно. Правда, в этом случае возникает проблема: мы знаем, что такое основание существует (и единственно), однако понятия не имеем, чему оно равно хотя бы примерно. Так что всё равно придётся переходить от $\frac{e^x-1}x\to1$ к $(1+\frac1n)^n\to e$. Ну так тогда проще именно с последнего и начать.

-- Сб сен 28, 2019 13:52:02 --

oleg.k в сообщении #1417892 писал(а):

Через с неба рухнувший предел?

Исторически он рухнул как раз не с неба, а из вполне себе коммерческих соображений (там сложные проценты и всё такое).

[oleg.k]

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

Этого невозможно не делать -- обратные функции существуют исключительно благодаря аксиоме/теореме полноты/непрерывности. Соответственно, до $\mathbb{R}$ их нет.

Все равно я не вижу потребность знать $\mathbb{R}$, чтобы говорить об обратных функциях. Просто я мыслю понятие обратной функции, как нечто столь фундаментальное, о чем Бурбаки стали бы рассказывать сразу через 5 страниц после аксиомы пары. В любом случае, как относиться к обратным функциям - исключительно вопрос предпочтений. Почвы для спора тут нету.

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

Прямой не бывает.

Вы же прекрасно понимаете о чем я. Говоря об обратной функции $f^{-1}: Y \supset f(X) \to X$ надо упомянуть собственно ту инъективную функцию $f: X \to Y$, к которой она обратная. Почему бы в таком контексте не назвать $f$ прямой?

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

...они автоматически вытекают из аналогичных свойств пределов последовательностей благодаря определению предела функции по Гейне. Которое безусловно необходимо наряду с определением по Коши.

"Определение" по Гейне я мыслю как критерий, но соглашусь - это исключительно моя личная завихрень Просто я "теорию последовательностей" не выделяю в отдельный блок. У меня среди функций демократия Функции натурального аргумента с этой точки зрения ничем у меня не отличаются от всех других функций вида $f: \mathbb{R} \supset X \to \mathbb{R}$. Но я ни в коем случае ничего никому не навязываю. Просто мне так удобно.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1417756 писал(а):

Доктор, что я делаю не так?

ну там же $e$ в ответе будет)) Я только это и имел ввиду

[ewert]

oleg.k в сообщении #1417899 писал(а):

Все равно я не вижу потребность знать $\mathbb{R}$, чтобы говорить об обратных функциях.

Ну а откуда Вы знаете про существование хотя бы квадратного корня?... Между тем как всем прекрасно известно, что его, вообще говоря, нет. Даже из двух.

oleg.k в сообщении #1417899 писал(а):

Почему бы в таком контексте не назвать $f$ прямой?

Пардон, я Вас тогда просто неправильно понял.

oleg.k в сообщении #1417899 писал(а):

"Определение" по Гейне я мыслю как критерий, но соглашусь - это исключительно моя личная завихрень

Это не завихрень, а исключительно дело вкуса -- называть его критерием или эквивалентным определением. Я предпочитаю называть определением в силу его исключительной важности.

oleg.k в сообщении #1417899 писал(а):

Просто я "теорию последовательностей" не выделяю в отдельный блок. У меня среди функций демократия

Демократия -- не всегда хорошо. Всё-таки при слове "функция" ассоциация возникает в первую очередь с кривулинками, а не с россыпями отдельных точек. Кроме того, многие вещи удобнее разбирать на языке последовательностей. Кроме того, последовательности встречаются очень часто именно как таковые. И в конце-то концов, вся вычислительная математика (ну бОльшая её часть) говорит именно на этом языке: найти приближённое решение -- это в точности построить последовательность приближений к нему.

И как Вы рассказываете про критерий Коши и принцип компактности?... Демократические принципы это ведь запрещают.

-- Сб сен 28, 2019 14:20:54 --

(Оффтоп)

[quote="alcoholist в сообщении #1417900"]ну там же $e$ в ответе будет))/quote]
Раньше было лучше -- слово "нужно" действительно означало условие именно необходимое. Т.е. формально Ваша формулировка была вполне корректной, хотя смотрелась и странно.

[alcoholist]

ewert
Для функции $f\colon\{a,b\}\to \{a,b\}$, заданной как $f(a)=b$, $f(b)=a$, обратной является она сама. И никаких действительных чисел.

[Munin]

ewert в сообщении #1417888 писал(а):

Это-то уж безусловно до. Что такое вообще дифур -- и при чём тут начальное условие?...
Это достаточно тяжёлое понятие.

На не очень строгом уровне, что такое дифур, все вполне знают. Дифуры изучают на физике, и в частности, дифур $\dfrac{d}{dt}f=-kf$ проходят в школе для радиоактивного распада (школьное решение $f=f_0 2^{-t/T}$ не упоминает $e$). Так что идеологически апеллировать к дифуру вполне можно.

ewert в сообщении #1417888 писал(а):

До действительных чисел никто про обратные функции ничего не знает.

Ну уж! Развернуть график вокруг оси $x=y$ способны даже дошкольники. И обратное отображение вычислить, например, для функции "ребёнок $to$ шкафчик".

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

Этого невозможно не делать -- обратные функции существуют исключительно благодаря аксиоме/теореме полноты/непрерывности.

Вы меня извините, но у функции $D(x)+x,$ где $D(x)$ - функция Дирихле, есть обратная. (И у её ограничений на $\mathbb{Q},\mathbb{Z},\mathbb{N}$ - тоже.)

[ewert]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #1417904 писал(а):

Для функции $f\colon\{a,b\}\to \{a,b\}$, заданной как $f(a)=b$, $f(b)=a$, обратной является она сама. И никаких действительных чисел.

А теперь вытащите из Вашей функции квадратный корень.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1417903 писал(а):

Ну а откуда Вы знаете про существование хотя бы квадратного корня?... Между тем как всем прекрасно известно, что его, вообще говоря, нет. Даже из двух.

Ну где-то есть, а где-то и нету, а где-то и не один Вопрос надо по-другому ставить: зачем мне обратные функции, если я не знаю про корни. А тут исключительно эстетика. Обратное отображение слишком хорошо, чтобы не сказать о нем сразу после разговора о произвольном отображении. Про корни, вообще, отдельный разговор. Я считаю, что в $\mathbb{R}$ нужны только "арифметические" корни и значком радикалами надо обозначать их и только их. А все эти $\sqrt[3] {(-8)} = -2$ надо оставить в школе.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1417905 писал(а):

Так что идеологически апеллировать к дифуру вполне можно.

А я и не возражал против размахивания руками. Это даже и полезно. Но -- недостаточно.

Кстати, Ваше "школьное решение" никак формально не связано с уравнением. Так что решением его назвать трудно.

Munin в сообщении #1417905 писал(а):

Вы меня извините, но у функции $D(x)+x,$ где $D(x)$ - функция Дирихле, есть обратная.

Между прочим, функции Дирихле и вовсе нет. Раз нет $\mathbb R$. Да и к делу она не относится.

Munin в сообщении #1417905 писал(а):

Развернуть график вокруг оси $x=y$ способны даже дошкольники.

Только если он нарисован на прозрачной плёнке.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1417903 писал(а):

И как Вы рассказываете про критерий Коши и принцип компактности?... Демократические принципы это ведь запрещают.

Нисколько! Я в августе этого лета как раз всю теорию пределов строил только на основе определения Коши (повторял + спортивный интерес). Элементарно доказал критерий Коши и все теоремы о глобальных свойствах непрерывных функций на отрезках без упоминания Гейне. Про критерий Коши скину ссылку на мое доказательство без последовательностей post1409252.html#p1409252