2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 18:15 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5430
wrest, можно НОД отдельно не считать. Если многочлены был с кратными корнями, то в конце в виде константы получится 0, а предыдущий многочлен - как раз НОД. На него можно сократить и повторить процедуру, получив уже не 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 18:19 


05/09/16
7081
maxal в сообщении #1407937 писал(а):
можно НОД отдельно не считать. Если многочлены был с кратными корнями, то в конце в виде константы получится 0, а предыдущий многочлен - как раз НОД. На него можно сократить и повторить процедуру, получив уже не 0.

То есть смена знаков на это не влияет, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 19:40 
Аватара пользователя


26/02/14
156
so dna
wrest в сообщении #1407813 писал(а):
Покашта из предложенных способов проверки неравенства после его конвертации в алгебраическое, ряд полиномов Штурма -- самый доступный для проверки "руками".

Есть элементарный способ проверки этого неравенства за 4 подстановки, не требующий знаний никаких Штурмов и прочих ужасов :D

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 20:17 


05/09/16
7081
Rak so dna в сообщении #1407948 писал(а):
Есть элементарный способ проверки этого неравенства за 4 подстановки, не требующий...
Это при условии что подстановки явились по великому озарению свыше как явилось вам ваше неравенство с квадратом синуса? :mrgreen:
Я, честно сказать, ожидаю, что ТС иди кто-то из участников нам раскроет секрет решения этой задачи с использованием не более чем восьмиразрядного обычного калькулятора и листа бумаги в олимпиадное время (1-2 часа). Но надежды чего-то тают...

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 20:42 
Аватара пользователя


26/02/14
156
so dna

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1407956 писал(а):
...с использованием не более чем восьмиразрядного обычного калькулятора и листа бумаги в олимпиадное время (1-2 часа)
забыли добавить: "...школьными методами без неочевидных идей" :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение31.07.2019, 00:41 


05/09/16
7081
Rak so dna
Из идей, я думаю, стоит посмотреть на аппроксимацию синуса не рядом Тейлора, а каким-то другим полиномом (Чебышёва?)

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.08.2019, 17:44 
Заслуженный участник


03/01/09
1379
москва
Оцениваем минимальное значение функции трех переменных $f(a)+f(b)+f(c)$ при условии $a+b+c=1$. Одна из переменных,(пусть это будет $c$) должна быть $\geq \frac 13$, тогда сумма остальных $s=a+b\leq \frac 23$. При фиксированном значении $s$ получаем функцию одной переменной: $f(a)+f(s-a)+f(1-s)$, она достигает минимума при $a=\frac s2.$
Таким образом минимум при фиксированном значении $s$ равен: $G(s)=2f(\frac s2)+f(1-s)$. Ищем минимальное значение $G(s). G'(s)=f'(\frac s2)-f'(1-s)=2(\frac 32s+\frac 1{\pi }(\sin \pi s+\sin 2\pi s)).$
На отрезке $[0,\frac 23] G'(s)$ имеет 2 корня: $s=\frac 23$ и еще один корень $s_0\in (\frac 14,\frac 13 )$. Нам нужно оценить минимальное значение $G(s_0)$. Для оценки строим касательные к графику функции $G(s)$ в точках $(\frac 14, G(\frac 14)), (\frac 13, G(\frac 13))$. Находим точку пересечения касательных. Точка пересечения касательных лежит ниже точки минимума функции $G(x)$.
Таким способом у меня получилась оценка $G(s_0)>0.746$. Это все же хуже, чем требуется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group