2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 19:24 


11/07/16
02/03/20
622
maxal Доказательство в Математике:
Код:
ForAll[x, x >= 0,
  1176 x^8 + 3248*x^7 - 2759*x^6 - 2736*x^5 + 5290*x^4 - 3377*x^3 +
    1056*x^2 - 152*x + 8 >= 0];Resolve[%, Reals]
True

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 19:39 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5430
Markiyan Hirnyk, и как именно она это делает?

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 19:47 


05/09/16
7077
maxal в сообщении #1407673 писал(а):
Показать неотрицательность здесь проще по теореме Штурма
,
Почитал Вики по ссылке. Там требуется полином без кратных корней. Это тоже какое-то "легко видеть, что" свойство нашего полинома?

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5610
wrest в сообщении #1407703 писал(а):
Это тоже какое-то "легко видеть, что" свойство нашего полинома?


Оно легко проверяемое: достаточно посчитать его дискриминант (но я не считал)

https://ru.wikipedia.org/wiki/Дискриминант

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 20:14 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5430
wrest, g______d, достаточно посчитать всего лишь $\gcd(f(x),f'(x))$ и убедиться, что это константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5610

(Оффтоп)

maxal, согласен, так проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 22:05 


05/09/16
7077
maxal в сообщении #1407715 писал(а):
достаточно посчитать всего лишь $\gcd(f(x),f'(x))$ и убедиться, что это константа.

А... то есть если у многочлена есть кратные корни, то они общие с корнями первой производной. ХитрО! А есть какой-то ускоренный способ это определить, или надо (в олимпиадных условиях) столбиком делить пока не получится $gcd=const$?

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 23:39 
Аватара пользователя


26/02/14
156
so dna
wrest в сообщении #1407695 писал(а):
Плюс остается вопрос доказательства справедливости
Rak so dna в сообщении #1407363 писал(а):
Неравенство $(\frac{\sin(\pi x)}{\pi})^2 \geqslant \frac{x^2(8-9x)}{7x^3+16x^2-8x+8}$

Для $0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}$
$\left( \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\right)^2\geqslant 1-\frac{\pi^2x^2}{3}+\frac{2\pi^4x^4}{45}-\frac{\pi^6x^6}{315}\geqslant \frac{8-9x}{7x^3+16x^2-8x+8}$
Для $\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant1$ достаточно показать, что $\left( \frac{\sin(\pi (y+\frac{1}{2}))}{\pi}\right)^2\geqslant \frac{(y+\frac{1}{2})^2\left(8-9(y+\frac{1}{2})\right)}{7(y+\frac{1}{2})^3+16(y+\frac{1}{2})^2-8(y+\frac{1}{2})+8}$ для $0\leqslant y\leqslant\frac{1}{2}$.
Показываем:
$\left( \frac{\cos(\pi y)}{\pi}\right)^2\geqslant \frac{1}{\pi^2}-y^2+\frac{\pi^2y^4}{3}-\frac{2\pi^4y^6}{45}\geqslant -\frac{72y^3+44y^2-10y-7}{56y^3+212y^2+106y+71}$ для $0\leqslant y\leqslant\frac{1}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 00:48 


05/09/16
7077
Rak so dna
Т.е. трех членов Тейлора достаточно оказалось, но как же показать что неравенство выполняется?
Оно же опять "на тоненького", а там число $\pi$ -- его тоже раскладывать? :mrgreen:
Ну и следующий вопрос -- а правая часть неравенства из космоса свалилась? В смысле -- вы просто знали или как-то решали?

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 08:11 


11/07/16
02/03/20
622
maxal
Цитата:
и как именно она это делает?

Этот же вопрос можно задать и о команде
Код:
polsturm
. Не знаю. Продемонстрировал, что предикаты и кванторы эффективно внедрены в Математике.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 09:11 


05/09/16
7077
Markiyan Hirnyk в сообщении #1407811 писал(а):
Этот же вопрос можно задать и о команде

Покашта из предложенных способов проверки неравенства после его конвертации в алгебраическое, ряд полиномов Штурма -- самый доступный для проверки "руками".

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 14:07 


05/09/16
7077
В общем, я попробовал построить ряд Штурма на бумаге, это адъ!
Лист А4 надо класть поперек иначе не влезает убористым почерком, и это только первые пара членов, дальше там тьма.

И хотя нам надо знать только старший и младший коэффициенты полиномов-членов ряда, т.к. смотреть мы будем на перемены знаков при нуле и бесконечности, я не вижу как это можно быстро посчитать...

Для справки, предпоследний член:

(Оффтоп)

4066635782071730062726234052745758704691969669464140874088294871889986104157
3571504985594483320901196100/67006081316873233816878142542290045220643577
9269914205819165489009032178840893121884499791141784106569x - 600033197365
5556050396403570127294760235332159474332104439208852445393760888362952038
442179385172659050/670060813168732338168781425422900452206435779269914205
819165489009032178840893121884499791141784106569
Ясно, что столько знаков не надо, но не ясно сколько надо.
Знаки у старших коэффициентов выходят ++++--++- (бесконечность - 3 перемены), знаки у младших +----+--- (ноль - 3 перемены), так что корней от нуля до бесконечности $3-3=0$ (т.е. нет корней). На всякий случай проверяем знаки старших коэффициентов на минус бесконечности: +-+--++-- получаем 5 перемен, так что всего у полинома два корня, оба отрицательные - Штурм работает.
На pari/gp, которая может делить многочлены с остатком, "вручную" это выглядит так:

(Оффтоп)

? f0=1176*x^8 + 3248*x^7 - 2759*x^6 - 2736*x^5 + 5290*x^4 - 3377*x^3 + 1056*x^2 - 152*x + 8;
? f1=deriv(f0);f2=-f0%f1;f3=-f1%f2;f4=-f2%f3;f5=-f3%f4;f6=-f4%f5;f7=-f5%f6;f8=-f6%f7;
Печатаем знаки старших коэффициентов (при старших степенях):
? print(sign(polcoef(f0,8)),sign(polcoef(f7,1)),sign(polcoef(f6,2)),sign(polcoef(f5,3)),sign(polcoef(f4,4)),
sign(polcoef(f3,5)),sign(polcoef(f4,4)),sign(polcoef(f5,3)),sign(polcoef(f6,2)),sign(polcoef(f7,1)),sign(polcoef(f8,0)))
1111-1-111-1
Печатаем знаки младших коэффициентов (свободных членов):
?print(sign(polcoef(f0,0)),sign(polcoef(f7,0)),sign(polcoef(f6,0)),sign(polcoef(f5,0)),sign(polcoef(f4,0)),
sign(polcoef(f3,0)),sign(polcoef(f4,0)),sign(polcoef(f5,0)),sign(polcoef(f6,0)),sign(polcoef(f7,0)),sign(polcoef(f8,0)))
1-1-1-1-11-1-1-1
Ну и поскольку рациональные числа pari/gp хранит точно, то можно сказать что это доказательство неотрицательности полинома на нужном нам интервале (с учетом конечно того, что НОД полинома и его первой производной - константа, т.е. кратных корней нет). НОД вычисляем так:

(Оффтоп)

?gcd(f0,f1)
%1 = 1

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 16:44 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5430
Markiyan Hirnyk, я вам дал ссылку в Википедию на то, что именно делает команда polsturm. Можно ее работу проверить вручную, как это сделал wrest.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 17:14 


05/09/16
7077
maxal
У меня вопрос по Штурму. Там по процедуре мы должны каждый раз менять знак остатка. В этой связи, когда мы получаем константу на послднем ($n$-ом) шаге, означает ли это автоматически, что и НОД полинома и её производной - константа? И если НОД не константа, то в процессе вычисления по процедуре с переменой знаков -- обнаружим ли мы это (получив константу в остатке раньше времени)?

То есть надо ли нам сначала искать НОД, а затем по той же, фактически, процедуре, выписывать полиномы ряда Штурма?

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение30.07.2019, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5610
maxal в сообщении #1407907 писал(а):
я вам дал ссылку в Википедию на то, что именно делает команда polsturm. Можно ее работу проверить вручную


Думаю, стоит отметить, что алгоритм цилиндрического разложения, на который я ссылался ранее, тоже является точным, работает только с рациональной арифметикой, и описан в литературе (ссылки я могу привести, но их легко найти). И тоже может быть проверен вручную :mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group