2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение26.07.2019, 20:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1883
Tel-aviv
wrest, я там добавил кое-что.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение26.07.2019, 20:34 


05/09/16
7325
arqady в сообщении #1407212 писал(а):
Нет, не хватает! Но ведь есть ряды... Короче, не вижу простого доказательства.

На ряды я тоже смотрел, надо брать до 10-й степени или около того, это мало отличается от доказательства численным решением уравнения (нахождением нуля производной и затем вычисления значения функции там).

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение26.07.2019, 20:40 


11/07/16
626
Насколько я понимаю, это вариация на тему. Численно с применением математических систем можно найти, что глобальный минимум $0,751093419187138$ достигается при $a = 0,146625998926560, b = 0,706748009601631, c = 0,146625991471677$.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение26.07.2019, 20:44 


05/09/16
7325
Markiyan Hirnyk в сообщении #1407228 писал(а):
Численно с применением математических систем можно найти, что

Да, но:
Modest в сообщении #1406549 писал(а):
В задачах, в которых требуется что-то доказать, не приветствуются посты, сводящиеся к использованию калькуляторов и не содержащих идей, приближающих к решению задачи

:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение26.07.2019, 20:49 


11/07/16
626
wrest Как насчет "вариации на тему"? Да, кстати, в цитируемом мною посте даже "аналитическое решение" содержит расчеты.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение26.07.2019, 20:53 


05/09/16
7325
Markiyan Hirnyk в сообщении #1407232 писал(а):
В цитируемом мною посте даже "аналитическое решение" содержит расчеты.
Ну тогда оно не вполне аналитическое. То, что неравенство выполняется, я например проверил сразу же как только ТС пояснил насчет того чего там квадрат... Просто в геогебре построив поверхность $z=f (x)+f(y)+f(1-x-y)$ возможных сумм, там же построив плоскость $z=0,75$ и методом кручения мышкой и верчения её колесом увидел зазор между плоскостью и поверхностью.

-- 26.07.2019, 21:04 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1407228 писал(а):
достигается при $a = 0,146625998926560, b = 0,706748009601631, c = 0,146625991471677$.
А вы заметили насколько это $b$ отличается от $1/\sqrt{2}$? На мизер...
Но - отличается.

-- 26.07.2019, 21:42 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1407232 писал(а):
Как насчет "вариации на тему"?

Про симметрию хорошее рассуждение, симметрию я тоже увидел, и тоже решил свести к неравенству одной переменной. Остальное там - это численный расчет. Рассуждений насчет второй производной я не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение27.07.2019, 13:43 
Аватара пользователя


26/02/14
160
so dna
Неравенство $(\frac{\sin(\pi x)}{\pi})^2 \geqslant \frac{x^2(8-9x)}{7x^3+16x^2-8x+8}$ сводит и исходное неравенство, и неравенство arqady к алгебраическому.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение27.07.2019, 14:15 


05/09/16
7325
Rak so dna
Да, работает. Но теперь надо сперва доказать новое неравенство, а затем, что после подстановки дрф вместо синуса минимум искомой суммы не упал ниже 3/4
А минимум этот равен $0,75009871...$ Вольфрам
Может, он как-то легко ищется?

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение27.07.2019, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5679
Rak so dna в сообщении #1407363 писал(а):
к алгебраическому


Алгебраическая версия, по крайней мере, верна (Mathematica, если я формулы вбил правильно):

Вход:
Код:
CylindricalDecomposition[{(a^2 + b^2 + (1 - a - b)^2) (7 a^3 +
       16 a^2 - 8 a + 8) (7 b^3 + 16 b^2 - 8 b +
       8) (7 (1 - a - b)^3 + 16 (1 - a - b)^2 - 8 (1 - a - b) + 8) +
    2 a^2 (8 - 9 a) (7 b^3 + 16 b^2 - 8 b + 8) (7 (1 - a - b)^3 +
       16 (1 - a - b)^2 - 8 (1 - a - b) + 8) +
    2 b^2 (8 - 9 b) (7 a^3 + 16 a^2 - 8 a + 8) (7 (1 - a - b)^3 +
       16 (1 - a - b)^2 - 8 (1 - a - b) + 8) +
    2 (1 - a - b)^2 (8 - 9 (1 - a - b)) (7 a^3 + 16 a^2 - 8 a +
       8) (7 b^3 + 16 b^2 - 8 b + 8) >= (3/4) (7 b^3 + 16 b^2 - 8 b +
      8) (7 a^3 + 16 a^2 - 8 a + 8) (7 (1 - a - b)^3 +
      16 (1 - a - b)^2 - 8 (1 - a - b) + 8), a > 0, b > 0,
  a + b < 1}, {a, b}]


Выход:
Код:
0 < a < 1 && 0 < b < 1 - a

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение28.07.2019, 18:52 
Аватара пользователя


26/02/14
160
so dna
wrest в сообщении #1407369 писал(а):
Может, он как-то легко ищется?
Сомневаюсь. Отвозился пол дня, получил в итоге вот такое:
$6x^2-4x+\frac{1}{4} + \frac{2x^2(16-18x)}{8-8x+16x^2+7x^3} + \frac{4x^2(16-36x)}{8-16x+64x^2+56x^3}=\frac{Q_1(x)P_2(x)+Q_2(x)P_1(x)}{4(Q_1(x)+Q_2(x))(7x^3+8x^2-2x+1)(7x^3+16x^2-8x+8)}$, где

\scriptsize$P_1(x)=\frac{147}{32}(2x-1)^8+\frac{16841}{64}(2x-1)^6+\frac{29835}{64}(2x-1)^4+\frac{9039}{64}(2x-1)^2+\frac{375}{64}$

\scriptsize$$P_2(x)= 5(173(2x-1)^2+300x^2)x^6+4(2x-1)^2(9x^2-8x+1)^2(2(2x-1)^2+7x^2)+36(2x-1)^2(x-1)^2(7x-1)^2x^2$$

\scriptsize$Q_1(x)=\frac{497}{4}(2x-1)^6+\frac{14271}{16}(2x-1)^4+\frac{5257}{8}(2x-1)^2+\frac{1163}{16}$

\scriptsize$Q_2(x)= 2(22(2x-1)^2+573x^2)x^5 + 80(2x-1)^2(9x^2-8x+1)^2x + 62(x-1)^2(7x-1)^2x^3$

что, очевидно, неотрицательно для неотрицательного $x$

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение28.07.2019, 21:09 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5446
Markiyan Hirnyk в сообщении #1407228 писал(а):
Насколько я понимаю, это вариация на тему. Численно с применением математических систем можно найти, что глобальный минимум $0,751093419187138$ достигается при $a = 0,146625998926560, b = 0,706748009601631, c = 0,146625991471677$.

Да, на самом деле это просто переформулировка того неравенства. Кстати, там же доказано, что минимум достигается на прямой, где две переменные равны - в указанной вами точке это должны бы быть $a$ и $c$, значения которых у вас отличаются, видимо, из-за погрешности вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 08:50 


11/07/16
626
maxal
Цитата:
значения которых у вас отличаются, видимо, из-за погрешности вычислений

Важно, что погрешность вычислений в примененной мною программе контролируема и известна. По умолчанию абсолютная погрешность оптимальных значений целевой функции и переменных не больше, чем $10^{-6}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 11:38 


05/09/16
7325
Rak so dna в сообщении #1407488 писал(а):
что, очевидно, неотрицательно для неотрицательного $x$

Нехило. То есть вы раскладывали, как я понимаю, вот это
$ 1176 x^8 + 3248 x^7 - 2759 x^6 - 2736 x^5 + 5290 x^4 - 3377 x^3 + 1056 x^2 - 152 x + 8$
являющееся числителем после приведения к общему знаменателю, чтобы показать его неотрицательность?

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 17:52 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5446
wrest в сообщении #1407586 писал(а):
Нехило. То есть вы раскладывали, как я понимаю, вот это
$ 1176 x^8 + 3248 x^7 - 2759 x^6 - 2736 x^5 + 5290 x^4 - 3377 x^3 + 1056 x^2 - 152 x + 8$
являющееся числителем после приведения к общему знаменателю, чтобы показать его неотрицательность?

Показать неотрицательность здесь проще по теореме Штурма, причем можно воспользоваться даже готовыми реализациями - например, в PARI/GP:
Код:
polsturm(1176*x^8 + 3248*x^7 - 2759*x^6 - 2736*x^5 + 5290*x^4 - 3377*x^3 + 1056*x^2 - 152*x + 8, [0,oo])
%1 = 0

Получаем, что на интервале $[0,\infty)$ корней у многочлена нет, а в нуле он положителен - значит, он положителен и на всем интервале.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение29.07.2019, 19:21 


05/09/16
7325
maxal в сообщении #1407673 писал(а):
Получаем, что на интервале $[0,\infty)$ корней у многочлена нет, а в нуле он положителен - значит, он положителен и на всем интервале.

Да, выглядит проще чем выкладки Rak so dna выше.
Тем не менее, посчитать это на олимпиаде (остатки от деления многочленов и т.п., что надо для Штурма) если есть только абак калькулятор, мне кажется очень долго. А, ну и перед этим привести к общему знаменателю тоже того... затратно по времени.

Плюс остается вопрос доказательства справедливости
Rak so dna в сообщении #1407363 писал(а):
Неравенство $(\frac{\sin(\pi x)}{\pi})^2 \geqslant \frac{x^2(8-9x)}{7x^3+16x^2-8x+8}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group