как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции

[maxal]

wrest, можно НОД отдельно не считать. Если многочлены был с кратными корнями, то в конце в виде константы получится 0, а предыдущий многочлен - как раз НОД. На него можно сократить и повторить процедуру, получив уже не 0.

[wrest]

maxal в сообщении #1407937 писал(а):

можно НОД отдельно не считать. Если многочлены был с кратными корнями, то в конце в виде константы получится 0, а предыдущий многочлен - как раз НОД. На него можно сократить и повторить процедуру, получив уже не 0.

То есть смена знаков на это не влияет, спасибо.

[Rak so dna]

wrest в сообщении #1407813 писал(а):

Покашта из предложенных способов проверки неравенства после его конвертации в алгебраическое, ряд полиномов Штурма -- самый доступный для проверки "руками".

Есть элементарный способ проверки этого неравенства за 4 подстановки, не требующий знаний никаких Штурмов и прочих ужасов

[wrest]

Rak so dna в сообщении #1407948 писал(а):

Есть элементарный способ проверки этого неравенства за 4 подстановки, не требующий...

Это при условии что подстановки явились по великому озарению свыше как явилось вам ваше неравенство с квадратом синуса?
Я, честно сказать, ожидаю, что ТС иди кто-то из участников нам раскроет секрет решения этой задачи с использованием не более чем восьмиразрядного обычного калькулятора и листа бумаги в олимпиадное время (1-2 часа). Но надежды чего-то тают...

[Rak so dna]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1407956 писал(а):

...с использованием не более чем восьмиразрядного обычного калькулятора и листа бумаги в олимпиадное время (1-2 часа)

забыли добавить: "...школьными методами без неочевидных идей"

[wrest]

Rak so dna
Из идей, я думаю, стоит посмотреть на аппроксимацию синуса не рядом Тейлора, а каким-то другим полиномом (Чебышёва?)

[mihiv]

Оцениваем минимальное значение функции трех переменных $f(a)+f(b)+f(c)$ при условии $a+b+c=1$. Одна из переменных,(пусть это будет $c$) должна быть $\geq \frac 13$, тогда сумма остальных $s=a+b\leq \frac 23$. При фиксированном значении $s$ получаем функцию одной переменной: $f(a)+f(s-a)+f(1-s)$, она достигает минимума при $a=\frac s2.$
Таким образом минимум при фиксированном значении $s$ равен: $G(s)=2f(\frac s2)+f(1-s)$. Ищем минимальное значение $G(s). G'(s)=f'(\frac s2)-f'(1-s)=2(\frac 32s+\frac 1{\pi }(\sin \pi s+\sin 2\pi s)).$
На отрезке $[0,\frac 23] G'(s)$ имеет 2 корня: $s=\frac 23$ и еще один корень $s_0\in (\frac 14,\frac 13 )$. Нам нужно оценить минимальное значение $G(s_0)$. Для оценки строим касательные к графику функции $G(s)$ в точках $(\frac 14, G(\frac 14)), (\frac 13, G(\frac 13))$. Находим точку пересечения касательных. Точка пересечения касательных лежит ниже точки минимума функции $G(x)$.
Таким способом у меня получилась оценка $G(s_0)>0.746$. Это все же хуже, чем требуется.