Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1411690 писал(а):

Речь шла об уравнении $x^4+y^4+z^4=a$.

Описался.

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #1411690 писал(а):

vicvolf в сообщении #1411687 писал(а):

удовлетворяющее асимптотическому соотношению $a<<n^{3/8}$

Расшифруйте, что Вы под этим понимаете.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1411652 писал(а):

vicvolf в сообщении #1411597 писал(а):

На стр. 32 Вон. Р. "Метод Харди Литтлвуда", 1985, 184 с. дается асимптотическая оценка снизу количества натуральных решений данного уравнения при $s \geq 2$:
$R^{+}_s>> max (N^{s-k},N^{s/2})$, где $N=[a^{1/k}]$.

А здесь, скорее всего, пропущено ограничение $s>2^k$. В любом случае с Вас доказательство этого утверждения.

Упражнение 2 на стр. 32, которое я использую справедливо при $s \geq 2$. Там четко написано.

Цитата:

Upd. Хотя какое тут может быть доказательство: при $k=s=2$ имеем для числа решений оценку снизу порядка $a^{1/2}$, что, конечно же, полный бред.

Конечно бред - неправильно подсчитано имеем для числа решений оценку снизу порядка $a^{1/4}$, там же $N=[a^{1/k}]$.

nnosipov в сообщении #1411701 писал(а):

nnosipov в сообщении #1411690 писал(а):

vicvolf в сообщении #1411687 писал(а):

удовлетворяющее асимптотическому соотношению $a<<n^{3/8}$

Расшифруйте, что Вы под этим понимаете.

$<<$ - это символы Виноградова (см. стр. 8 этой же монографии).

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411704 писал(а):

Конечно бред - неправильно подсчитано имеем для числа решений оценку снизу порядка $a^{1/4}$, там же $N=[a^{1/k}]$.

Продемонстрируйте, как Вы насчитали $a^{1/4}$ (хотя и это тоже бред). Напоминаю, что в моем примере $k=s=2$.

vicvolf в сообщении #1411704 писал(а):

Упражнение 2 на стр. 32, которое я использую справедливо при $s \geq 2$.

А Вы уверены, что Вы правильно его используете? При таком понимании как у Вас, получаются абсурдные следствия.

-- Пт авг 23, 2019 02:33:30 --

vicvolf в сообщении #1411704 писал(а):

$<<$ - это символы Виноградова (см. стр. 8 этой же монографии).

Сформулируйте свое утверждение явно, без использования этих символов.

[scwec]

Думаю, сама идея использовать для решения задачи оценку нижней границы для $a$ здесь не годится.
Надо всё равно доказывать, что для каких-то $a$, находящихся за этой границей, уравнение $x^4+y^4+z^4=a$ имеет не менее $n$ решений.
А за границей, например, для всех $a=5k+4$, уравнение вообще решений не имеет.
Так что успеха на этом пути пока нет. Решения не получилось.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1411749 писал(а):

Решения не получилось.

Как и в более простом случае уравнения $x^3+y^3=a$. Но там было еще безнадежней --- попытка получить нужный результат только с помощью оценок сверху.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1411708 писал(а):

vicvolf в сообщении #1411704 писал(а):

Конечно бред - неправильно подсчитано имеем для числа решений оценку снизу порядка $a^{1/4}$, там же $N=[a^{1/k}]$.

Продемонстрируйте, как Вы насчитали $a^{1/4}$ (хотя и это тоже бред). Напоминаю, что в моем примере $k=s=2$.

vicvolf в сообщении #1411704 писал(а):

Упражнение 2 на стр. 32, которое я использую справедливо при $s \geq 2$.

А Вы уверены, что Вы правильно его используете? При таком понимании как у Вас, получаются абсурдные следствия.

Основная формула главы 2 - (2.27) действительно справедлива при $s>2^k$.
Для (2.27) выполняется следующая асимптотическая оценка сверху количества натуральных решений уравнения $x_1^k+...+x_s^k=a$ (1):
$R(n)=O(n^{s/k-1})$. (2)
Оценка в упражнении 4 на стр. 32 является асимптотической оценкой снизу количества натуральных решений уравнения (1), поэтому справедлива при $s \geq 2$.

При $s=2,k=2$ на основании данной формулы получается следующая асимптотическая оценка снизу:
$R(n) >>N$. (3)
Оценка (3) также является оценкой снизу количества натуральных решений уравнения $x^k-y^k=0$ в квадрате со стороной $N$, поэтому в этом смысле она справедлива.
На основании формулы (1.6) на стр. 12:
$N=[a^{1/k}]$. (4)
Данное значение для $N$ (4) справедливо для всей главы 2, поэтому для уравнения (1) при $s=2,k=2$ получаем следующую оценку снизу: $R(n)>>a^{1/2}$, которая меня тоже смущает. Может быть (4) для упражнения 4 не выполняется.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411776 писал(а):

Оценка (3) также является оценкой снизу количества натуральных решений уравнения $x^k-y^k=0$ в квадрате со стороной $N$, поэтому в этом смысле она справедлива.

И заодно тривиальна.

vicvolf в сообщении #1411776 писал(а):

для уравнения (1) при $s=2,k=2$ получаем следующую оценку снизу: $R(n)>>a^{1/2}$, которая меня тоже смущает

А что в ней не так?

vicvolf в сообщении #1411776 писал(а):

Может быть (4) для упражнения 4 не выполняется.

Даже не надейтесь. С упражнением 4 все в порядке.

-- Пт авг 23, 2019 19:15:59 --

vicvolf в сообщении #1411776 писал(а):

Оценка в упражнении 4 на стр. 32 является асимптотической оценкой снизу количества натуральных решений уравнения (1)

Что, прямо так и написано в упражнении 4?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1411779 писал(а):

vicvolf в сообщении #1411776 писал(а):

для уравнения (1) при $s=2,k=2$ получаем следующую оценку снизу: $R(n)>>a^{1/2}$, которая меня тоже смущает

А что в ней не так?

nnosipov в сообщении #1411652 писал(а):

при $k=s=2$ имеем для числа решений оценку снизу порядка $a^{1/2}$, что, конечно же, полный бред.

Цитата:

С упражнением 4 все в порядке.

Очень хорошо.

[Shadow]

scwec в сообщении #1411749 писал(а):

уравнение $x^4+y^4+z^4=a$ имеет не менее $n$ решений.

Я хотел для $x^4+y^4=a$ доказать, но не получается. Единственое, что получилось - найти нетривиальные решения уравнения $x^4+y^4=u^4+v^4$

(Оффтоп)

$\\x=(a+b)(a^6-9a^5b-8a^4b^2+6a^3b^3-23a^2b^4+3ab^5-2b^6)\\ y=(a-b)(2a^6+3a^5b+23a^4b^2+6a^3b^3+8a^2b^4-9ab^5-b^6)\\ u=(a+b)(2a^6-3a^5b+23a^4b^2-6a^3b^3+8a^2b^4+9ab^5-b^6)\\ v=(a-b)(a^6+9a^5b-8a^4b^2-6a^3b^3-23a^2b^4-3ab^5-2b^6)$

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411785 писал(а):

Очень хорошо.

Но тогда с Вашим рассуждением все плохо.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1411797 писал(а):

vicvolf в сообщении #1411785 писал(а):

Очень хорошо.

Но тогда с Вашим рассуждением все плохо.

Нельзя ли конкретнее.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411806 писал(а):

Нельзя ли конкретнее.

Выше конкретики хоть отбавляй. Да и потом, разжевывать Вам Ваши детские логические ошибки я не собираюсь --- надоело, результат все равно нулевой.

[scwec]

Shadow, Вы получили классическое решение Эйлера уравнения $x^4+y^4=u^4+v^4$ (с точностью до замены параметров на их сумму и разницу).
Что касается уравнения $x^4+y^4=a$, то оно не решается предложенным выше методом для нескольких уравнений 3-4 степеней, поскольку при любых целых $a$ на соответствующих кривых нет бесконечного числа рациональных точек.
Возможно, для этого уравнения утверждение о любом количестве целых решений при каких-то $a$ и не верно.
О похожем уравнении: известно, например, (теорема Тартаковского-Фаддеева), что уравнение $x^4-ay^4=1$ с целым $a$ имеет не более одного нетривиального целого решения, отличного от $x=\pm{1},y=0$ и при $a=15$ это нетривиальное решение $x=\pm{2}, y=\pm{1}$.
Решение по поводу уравнения $x^4+y^4+z^4=a$ выложу позже, если не появится правильного решения здесь в теме.

[vicvolf]

scwec в сообщении #1411749 писал(а):

Думаю, сама идея использовать для решения задачи оценку нижней границы для $a$ здесь не годится.
Надо всё равно доказывать, что для каких-то $a$, находящихся за этой границей, уравнение $x^4+y^4+z^4=a$ имеет не менее $n$ решений.
А за границей, например, для всех $a=5k+4$, уравнение вообще решений не имеет.

Согласен с Вами, асимптотическую оценку снизу для решения данной задачи можно использовать только тогда, когда решение уравнения $x_1^k+...+x_s^k=a$ существует при любом натуральном $a$, т.е. достаточно больших значениях $s$.

scwec в сообщении #1411816 писал(а):

Что касается уравнения $x^4+y^4=a$, то оно не решается предложенным выше методом для нескольких уравнений 3-4 степеней, поскольку при любых целых $a$ на соответствующих кривых нет бесконечного числа рациональных точек.

А как доказать, что ранг данной кривой равен $0$ при любом значении $a$?

Цитата:

Возможно, для этого уравнения утверждение о любом количестве целых решений при каких-то $a$ и не верно.

Наверно при всех $a$, как в примере ниже?

Цитата:

О похожем уравнении: известно, например, (теорема Тартаковского-Фаддеева), что уравнение $x^4-ay^4=1$ с целы м $a$ имеет не более одного нетривиального целого решения, отличного от $x=\pm{1},y=0$ и при $a=15$ это нетривиальное решение $x=\pm{2}, y=\pm{1}$.