2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Пространство Минковского
Сообщение30.07.2019, 16:33 


17/10/16
296
Пространство Минковского весьма не интуитивно. Особенно потому, что для метрики в нем действует обратное правило треугольника. Можно ли понять это так, что:
Пространство Минковского можно представить связанным только диагонально, т.е. связь между событиями осуществляется только при помощи изотропных линий (нет скорости сигналов как больше $C$, так и меньше $C$). Чтобы изотропная связала между собой два произвольных события, она в общем случае должна иметь хотя бы один излом:
Изображение
Длина каждого сегмена ломаной равна нулю (по определению изотропных линий). Суммарная длина мировой линии в пределе может быть функцией плотности изломов на ней, что и дает правило обратного треугольника.

Квадрат интервала в каком-то смысле считается более фундаментальной величиной, чем сам интервал. Можно ли это объяснить так, что:
Если любую мировую линию представить, как сумму диагоналей прямоугольников равной площади (построенных на изотропных линиях) , то эти диагонали будут соответствовать равным интервалам на мировой линии (1 диагональ ~ 1 сек. Вместо прямоугольников можно нарисовать ромбы равной площади на ортах сопутствующих координат):
Изображение
Поскольку все прямоугольники построены на изотропных и имеют равную площадь, то их диагональ (в смысле интервала) однозначно определена их площадью.
Инвариантность интервала (как квадрата) в большей степени имеет отношение к инвариантности объема пространства-времени (площадь прямоугольников) при преобразовании Лоренца, чем к инвариантности линейной величины, такой, как время (диагональ). Плотность ступенек в этом случае тоже есть мера интервала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение30.07.2019, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71624
sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):
Пространство Минковского весьма не интуитивно.

Это для новичков. Стоит с ним поработать годик, и всё станет так же просто, как и в знакомом евклидовом.

sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):
Можно ли понять это так, что:
Пространство Минковского можно представить связанным только диагонально

Нет, не стоит. Ерунда получится.

sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):
Суммарная длина мировой линии в пределе может быть функцией плотности изломов на ней

Не может, потому что эта плотность равна бесконечности.

sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):
Квадрат интервала в каком-то смысле считается более фундаментальной величиной, чем сам интервал.

Это неправда.

sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):
Инвариантность интервала (как квадрата) в большей степени имеет отношение к инвариантности объема пространства-времени (площадь прямоугольников)

Вот только в 4-мерном случае объём имеет четвёртую степень, а квадрат - по-прежнему вторую. Вы зацепились за случайное совпадение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение30.07.2019, 18:06 


17/10/16
296
Munin в сообщении #1407908 писал(а):
Не может, потому что эта плотность равна бесконечности.

Возможно, именно так и должно быть. Тогда интервал вдоль любой конечной ломаной из изотропных в сравнении с гладкой кривой точно равен нулю, а для произвольных кривых плотность ступенек можно определить так, что она будет конечной. В крайнем случае что-то конечное можно будет сказать об отношении таких плотностей для разных кривых.
Почему не может быть так, что абсолютная скорость света абсолютна в том смысле, что она единственная? Допустим, что нет вообще никаких других скоростей. Любая скорость меньше $c$ - это усредненная по времени скорость броуновского движения частицы со скоростью $c$. Это может быть интересно. Если в микромире все относительно всего движется с универсальной абсолютной скоростью света, то пропадает необходимость в понятии "время", которое как раз характеризует возможность существования разных скоростей. Время в этом случае становится интегральным, статистическим понятием, похожим на понятие температуры.
Munin в сообщении #1407908 писал(а):
Вот только в 4-мерном случае объём имеет четвёртую степень, а квадрат - по-прежнему вторую.

Два дополнительных измерения в 4-мерном случае сами по себе инвариантны к преобразованию Лоренца. Инвариантность 4-объема по прежнему определяется квадратом интервала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение30.07.2019, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26215
Полезно смотреть на аналогии с евклидовым пространством, там один/три знака в сигнатуре другие, а в остальном всё то же. Будет например видно, какие представления не могут быть верны точно (типа той штуки про квадрат — с длиной бы то же было).

sergey zhukov в сообщении #1407936 писал(а):
Два дополнительных измерения в 4-мерном случае сами по себе инвариантны к преобразованию Лоренца.
Смотря какому. Бусты просто удобны, но произвольное преобразование Лоренца вещь хитрая. Вот поворот в четырёхмерном евклидовом пространстве тоже хитрый — там может быть две ортогональные плоскости, в каждой из которых поворот на свой угол.

-- Вт июл 30, 2019 23:24:33 --

Стоит сравнить тригонометрию ($\cos,\sin$ vs. $\ch,\sh$, единичная окружность и единичная гипербола), вообще группы симметрий $\mathrm{SO}(2), \mathrm{SO}(1,1)$ (но при повышении размерности появляются новые вещи, как я уже сказал про четырёхмерие, так что лишь двумерного случая будет мало — с него просто осмысленно начинать и всё там перекопать). У параметра гиперболических функций есть физический смысл — это т. н. быстрота / параметр быстроты $\theta$ (где как; где-то быстротой зовут обезразмеренную естественным образом скорость); и если бы евклидово пространство нам пригодилось как модель пространства-времени, угол поворота был бы аналогом такой величины.

Ещё стоит рассмотреть галилеево пространство-время как следует. Это «параболический» случай между этими двумя, хотя чуть сложнее из-за того, что там ещё определены расстояния, а не только интервал/длина (в этом случае — промежутки абсолютного времени). Вот с галилеевым случаем сравнивать минковский более плодотворно с элементарной физической стороны, если так можно сказать, но он чуть хитрее математически, когда евклидов случай проще, но его физика ещё хуже к нам применима, и уже физическое сравнение может не у всех удаться.

-- Вт июл 30, 2019 23:25:47 --

Дополняя аналогии, в галилеевом пространстве — «единичная пара параллельных прямых», и там есть «параболические» функции, которые на деле просто константа 1 (вместо косинуса) и тождественная (вместо синуса).

-- Вт июл 30, 2019 23:26:52 --

Вообще это десять раз где-то писали, кто бы книжку такую посоветовал или записал в избранное места, где такое объяснялось в прошлые разы, чтобы просто ссылаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение31.07.2019, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71624
Вот так постоянно. Кто-то познакомился едва-едва с каким-то предметом, и начинает самоуверенно придумывать что-то своё. На критику не реагирует.

Мы все через это проходили, и прекрасно видим, что ваш велосипед с квадратными колёсами, и не ездит. А вы не верите. Ну убеждайтесь в этом сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение31.07.2019, 12:53 


17/10/16
296
arseniiv в сообщении #1407969 писал(а):
Вот с галилеевым случаем сравнивать минковский более плодотворно

Галилеево пространство-время - это четырехмерное пространство-время с сигнатурой (++++)?

arseniiv в сообщении #1407969 писал(а):
Вообще это десять раз где-то писали, кто бы книжку такую посоветовал...

Вот уж действительно было бы полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение31.07.2019, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71624
Стандартных книжек (Тейлор-Уилер, Яглом) уже не достаточно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение31.07.2019, 19:29 


17/10/16
296
Всегда полезно разобрать неверный ход мысли, тем более, что он чрезвычайно распространен. С него часто начинали и сами основатели. Попробовал так - не получается. Так - тоже нет. Наконец так - это вроде бы работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение31.07.2019, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71624
sergey zhukov в сообщении #1408139 писал(а):
Всегда полезно разобрать неверный ход мысли

Нет. Полезно разобрать верный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение09.08.2019, 14:42 


17/10/16
296
Хорошо, а если так:
Изображение
Стержень ускоряется вдоль оси $x$. Стержень соединяет одновременные события с точки зрения наблюдателя, связанного со стержнем.
В первом случае в пространстве-времени стержень остается параллельным самому себе.
Во втором случае он поворачивается в пространстве-времени в ту же сторону и на тот же угол, что и мировая линия. Сечение вертикалью больше длины покоя. В этом сечении часы на заднем конце стержня отстают от часов на переднем конце.
В третьем случае он поворачивается на тот же угол, что и мировая линия, но в противоположную сторону. Сечение вертикалью меньше длины покоя. В этом сечении часы на заднем конце стержня опережают часы на переднем конце.
В последнем случае длина стержня в процессе ускорения в смысле $t^2+x^2$ не сохраняется и постоянно увеличивается, хотя с точки зрения метрики $t^2-x^2$ она остается постоянной.
Длина стержня, измеренная методом одновременной фиксации его начала и конца в системе неподвижного наблюдателя (вертикальное сечение) - это, с точки зрения пространственно-временной плоскости, измерение расстояния между концом одного стержня и началом другого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение09.08.2019, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71624
sergey zhukov в сообщении #1409460 писал(а):
В третьем случае он поворачивается на тот же угол, что и мировая линия, но в противоположную сторону.

Это вам так кажется из евклидового мира. На самом деле, по метрике Минковского, в третьем случае он поворачивается в ту же сторону. Это один и тот же поворот (одно и то же преобразование Лоренца).

sergey zhukov в сообщении #1409460 писал(а):
В последнем случае длина стержня в процессе ускорения в смысле $t^2+x^2$ не сохраняется и постоянно увеличивается, хотя с точки зрения метрики $t^2-x^2$ она остается постоянной.

Нету никакой длины стержня "в смысле $t^2+x^2$". Есть только "в смысле $t^2-x^2$".

sergey zhukov в сообщении #1409460 писал(а):
Длина стержня, измеренная методом одновременной фиксации его начала и конца в системе неподвижного наблюдателя (вертикальное сечение) - это, с точки зрения пространственно-временной плоскости, измерение расстояния между концом одного стержня и началом другого.

Нет. На самом деле, на этом рисунке нет никаких разных стержней. И соответственно, никаких поперечных чёрточек (их можно рисовать как вспомогательные).

Но рисунок вы нарисовали правильный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение11.08.2019, 12:31 


17/10/16
296
Правильно ли я понимаю смысл введения ковекторов и дуального пространства:
Изображение

Рассмотрим прямоугольные ортонормированные координаты. Можно представить, что в общем случае в пространстве всегда определены сразу две системы координат $e^i$ и $e_i$, причем квадрат длины вектора в общем случае равен $\sum\limits_{}^{}x^ix_i$. Только в частном случае полного совпадения этих координатных систем (евклидово пространство) можно говорить о том, что квадрат длины вектора - это сумма квадратов его координат. В рамках прямоугольности и ортонормированности единственное, чем две системы координат могут различаться - это направление осей. Если, скажем, ось времени двух этих систем будет направлена противоположно, то получается пространство Минковского, т.к. $t^it_i$ автоматически всегда будет отрицательным. Вторая система координат называется дуальной.
Вместо удвоения системы координат можно удвоить сам вектор. Тогда в случае пространства Минковского каждому вектору с координатой $t$ будет соответствовать его зеркальное отражение с координатой $-t$, а квадрат длины вектора понимается, как скалярное произведение двух этих векторов. Отражение вектора и есть ковектор.
Смысл удвоения системы координат или вектора в том, чтобы удвоить количество координат каждого вектора. Тогда в метрике вместо $x^2$ можно записать более общее выражение $x_ix^i$, которое распространяется не только на ортогональные ортонормированные координаты, но и на произвольные косоугольные координаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение11.08.2019, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71624
Левая картинка очень извращённая, но в принципе нормальная.
Правая - совсем плохо. Вы пользуетесь евклидовым представлением о скалярном произведении векторов, а должны вы вместо этого научиться новому минковскому скалярному произведению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение13.08.2019, 22:38 


17/10/16
296
На сайте https://jila.colorado.edu/~ajsh/sr/cont ... #cartwheel приведен вид катящегося колеса со спицами, ось которого перемещается на скорости 87% от скорости света:
Изображение

Переход от координат движущегося наблюдателя к координатам неподвижного здесь ясен. А вот как движущийся с колесом наблюдатель получает координаты точек вращающегося в его системе колеса? Судя по этой картинке, он обращается с вращающимся колесом, как с абсолютно твердым телом. Т.е. в момент $t$ он подсчитывает угол поворота колеса $\varphi=\omega t$ и просто применяет обычную формулу поворота координат.$$x^\prime=xcos\varphi+ysin\varphi$$
$$y^\prime=-xsin\varphi+ycos\varphi$$
Корректно ли это? Все же он имеет дело с вращающимся объектом, а не с неподвижным стержнем.

И еще: как теоретически получить снимок релятивистского сжатия объекта? Можно ли это сделать так: фотоаппарат снимает катящееся колесо перпендикулярно его движению с далекого расстояния, причем освещает его собственной вспышкой. Вспышку он посылает так, чтобы она осветила колесо, когда оно попадет в кадр. Получится ли в кадре подобная картинка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Минковского
Сообщение13.08.2019, 23:24 
Аватара пользователя


20/07/18
313
sergey zhukov
Если я верно понял первый вопрос, в ИСО оси имеем просто вращающееся колесо. Если угловая скорость меньше скорости света на радиус, то такое движение (как твердого тела) теоретически осуществимо (как там изгибается материал в реальности - вопрос отдельный). Проекции координат - обычная геометрия, третью СО вводить не обязательно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 92 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group