Пространство Минковского

[sergey zhukov]

Пространство Минковского весьма не интуитивно. Особенно потому, что для метрики в нем действует обратное правило треугольника. Можно ли понять это так, что:
Пространство Минковского можно представить связанным только диагонально, т.е. связь между событиями осуществляется только при помощи изотропных линий (нет скорости сигналов как больше $C$, так и меньше $C$). Чтобы изотропная связала между собой два произвольных события, она в общем случае должна иметь хотя бы один излом:

Длина каждого сегмена ломаной равна нулю (по определению изотропных линий). Суммарная длина мировой линии в пределе может быть функцией плотности изломов на ней, что и дает правило обратного треугольника.

Квадрат интервала в каком-то смысле считается более фундаментальной величиной, чем сам интервал. Можно ли это объяснить так, что:
Если любую мировую линию представить, как сумму диагоналей прямоугольников равной площади (построенных на изотропных линиях) , то эти диагонали будут соответствовать равным интервалам на мировой линии (1 диагональ ~ 1 сек. Вместо прямоугольников можно нарисовать ромбы равной площади на ортах сопутствующих координат):

Поскольку все прямоугольники построены на изотропных и имеют равную площадь, то их диагональ (в смысле интервала) однозначно определена их площадью.
Инвариантность интервала (как квадрата) в большей степени имеет отношение к инвариантности объема пространства-времени (площадь прямоугольников) при преобразовании Лоренца, чем к инвариантности линейной величины, такой, как время (диагональ). Плотность ступенек в этом случае тоже есть мера интервала.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):

Пространство Минковского весьма не интуитивно.

Это для новичков. Стоит с ним поработать годик, и всё станет так же просто, как и в знакомом евклидовом.

sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):

Можно ли понять это так, что:
Пространство Минковского можно представить связанным только диагонально

Нет, не стоит. Ерунда получится.

sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):

Суммарная длина мировой линии в пределе может быть функцией плотности изломов на ней

Не может, потому что эта плотность равна бесконечности.

sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):

Квадрат интервала в каком-то смысле считается более фундаментальной величиной, чем сам интервал.

Это неправда.

sergey zhukov в сообщении #1407902 писал(а):

Инвариантность интервала (как квадрата) в большей степени имеет отношение к инвариантности объема пространства-времени (площадь прямоугольников)

Вот только в 4-мерном случае объём имеет четвёртую степень, а квадрат - по-прежнему вторую. Вы зацепились за случайное совпадение.

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1407908 писал(а):

Не может, потому что эта плотность равна бесконечности.

Возможно, именно так и должно быть. Тогда интервал вдоль любой конечной ломаной из изотропных в сравнении с гладкой кривой точно равен нулю, а для произвольных кривых плотность ступенек можно определить так, что она будет конечной. В крайнем случае что-то конечное можно будет сказать об отношении таких плотностей для разных кривых.
Почему не может быть так, что абсолютная скорость света абсолютна в том смысле, что она единственная? Допустим, что нет вообще никаких других скоростей. Любая скорость меньше $c$ - это усредненная по времени скорость броуновского движения частицы со скоростью $c$. Это может быть интересно. Если в микромире все относительно всего движется с универсальной абсолютной скоростью света, то пропадает необходимость в понятии "время", которое как раз характеризует возможность существования разных скоростей. Время в этом случае становится интегральным, статистическим понятием, похожим на понятие температуры.

Munin в сообщении #1407908 писал(а):

Вот только в 4-мерном случае объём имеет четвёртую степень, а квадрат - по-прежнему вторую.

Два дополнительных измерения в 4-мерном случае сами по себе инвариантны к преобразованию Лоренца. Инвариантность 4-объема по прежнему определяется квадратом интервала.

[arseniiv]

Полезно смотреть на аналогии с евклидовым пространством, там один/три знака в сигнатуре другие, а в остальном всё то же. Будет например видно, какие представления не могут быть верны точно (типа той штуки про квадрат — с длиной бы то же было).

sergey zhukov в сообщении #1407936 писал(а):

Два дополнительных измерения в 4-мерном случае сами по себе инвариантны к преобразованию Лоренца.

Смотря какому. Бусты просто удобны, но произвольное преобразование Лоренца вещь хитрая. Вот поворот в четырёхмерном евклидовом пространстве тоже хитрый — там может быть две ортогональные плоскости, в каждой из которых поворот на свой угол.

-- Вт июл 30, 2019 23:24:33 --

Стоит сравнить тригонометрию ($\cos,\sin$ vs. $\ch,\sh$, единичная окружность и единичная гипербола), вообще группы симметрий $\mathrm{SO}(2), \mathrm{SO}(1,1)$ (но при повышении размерности появляются новые вещи, как я уже сказал про четырёхмерие, так что лишь двумерного случая будет мало — с него просто осмысленно начинать и всё там перекопать). У параметра гиперболических функций есть физический смысл — это т. н. быстрота / параметр быстроты $\theta$ (где как; где-то быстротой зовут обезразмеренную естественным образом скорость); и если бы евклидово пространство нам пригодилось как модель пространства-времени, угол поворота был бы аналогом такой величины.

Ещё стоит рассмотреть галилеево пространство-время как следует. Это «параболический» случай между этими двумя, хотя чуть сложнее из-за того, что там ещё определены расстояния, а не только интервал/длина (в этом случае — промежутки абсолютного времени). Вот с галилеевым случаем сравнивать минковский более плодотворно с элементарной физической стороны, если так можно сказать, но он чуть хитрее математически, когда евклидов случай проще, но его физика ещё хуже к нам применима, и уже физическое сравнение может не у всех удаться.

-- Вт июл 30, 2019 23:25:47 --

Дополняя аналогии, в галилеевом пространстве — «единичная пара параллельных прямых», и там есть «параболические» функции, которые на деле просто константа 1 (вместо косинуса) и тождественная (вместо синуса).

-- Вт июл 30, 2019 23:26:52 --

Вообще это десять раз где-то писали, кто бы книжку такую посоветовал или записал в избранное места, где такое объяснялось в прошлые разы, чтобы просто ссылаться.

[Munin]

Вот так постоянно. Кто-то познакомился едва-едва с каким-то предметом, и начинает самоуверенно придумывать что-то своё. На критику не реагирует.

Мы все через это проходили, и прекрасно видим, что ваш велосипед с квадратными колёсами, и не ездит. А вы не верите. Ну убеждайтесь в этом сами.

[sergey zhukov]

arseniiv в сообщении #1407969 писал(а):

Вот с галилеевым случаем сравнивать минковский более плодотворно

Галилеево пространство-время - это четырехмерное пространство-время с сигнатурой (++++)?

arseniiv в сообщении #1407969 писал(а):

Вообще это десять раз где-то писали, кто бы книжку такую посоветовал...

Вот уж действительно было бы полезно.

[Munin]

Стандартных книжек (Тейлор-Уилер, Яглом) уже не достаточно?

[sergey zhukov]

Всегда полезно разобрать неверный ход мысли, тем более, что он чрезвычайно распространен. С него часто начинали и сами основатели. Попробовал так - не получается. Так - тоже нет. Наконец так - это вроде бы работает.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1408139 писал(а):

Всегда полезно разобрать неверный ход мысли

Нет. Полезно разобрать верный.

[sergey zhukov]

Хорошо, а если так:

Стержень ускоряется вдоль оси $x$. Стержень соединяет одновременные события с точки зрения наблюдателя, связанного со стержнем.
В первом случае в пространстве-времени стержень остается параллельным самому себе.
Во втором случае он поворачивается в пространстве-времени в ту же сторону и на тот же угол, что и мировая линия. Сечение вертикалью больше длины покоя. В этом сечении часы на заднем конце стержня отстают от часов на переднем конце.
В третьем случае он поворачивается на тот же угол, что и мировая линия, но в противоположную сторону. Сечение вертикалью меньше длины покоя. В этом сечении часы на заднем конце стержня опережают часы на переднем конце.
В последнем случае длина стержня в процессе ускорения в смысле $t^2+x^2$ не сохраняется и постоянно увеличивается, хотя с точки зрения метрики $t^2-x^2$ она остается постоянной.
Длина стержня, измеренная методом одновременной фиксации его начала и конца в системе неподвижного наблюдателя (вертикальное сечение) - это, с точки зрения пространственно-временной плоскости, измерение расстояния между концом одного стержня и началом другого.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1409460 писал(а):

В третьем случае он поворачивается на тот же угол, что и мировая линия, но в противоположную сторону.

Это вам так кажется из евклидового мира. На самом деле, по метрике Минковского, в третьем случае он поворачивается в ту же сторону. Это один и тот же поворот (одно и то же преобразование Лоренца).

sergey zhukov в сообщении #1409460 писал(а):

В последнем случае длина стержня в процессе ускорения в смысле $t^2+x^2$ не сохраняется и постоянно увеличивается, хотя с точки зрения метрики $t^2-x^2$ она остается постоянной.

Нету никакой длины стержня "в смысле $t^2+x^2$". Есть только "в смысле $t^2-x^2$".

sergey zhukov в сообщении #1409460 писал(а):

Длина стержня, измеренная методом одновременной фиксации его начала и конца в системе неподвижного наблюдателя (вертикальное сечение) - это, с точки зрения пространственно-временной плоскости, измерение расстояния между концом одного стержня и началом другого.

Нет. На самом деле, на этом рисунке нет никаких разных стержней. И соответственно, никаких поперечных чёрточек (их можно рисовать как вспомогательные).

Но рисунок вы нарисовали правильный.

[sergey zhukov]

Правильно ли я понимаю смысл введения ковекторов и дуального пространства:


Рассмотрим прямоугольные ортонормированные координаты. Можно представить, что в общем случае в пространстве всегда определены сразу две системы координат $e^i$ и $e_i$, причем квадрат длины вектора в общем случае равен $\sum\limits_{}^{}x^ix_i$. Только в частном случае полного совпадения этих координатных систем (евклидово пространство) можно говорить о том, что квадрат длины вектора - это сумма квадратов его координат. В рамках прямоугольности и ортонормированности единственное, чем две системы координат могут различаться - это направление осей. Если, скажем, ось времени двух этих систем будет направлена противоположно, то получается пространство Минковского, т.к. $t^it_i$ автоматически всегда будет отрицательным. Вторая система координат называется дуальной.
Вместо удвоения системы координат можно удвоить сам вектор. Тогда в случае пространства Минковского каждому вектору с координатой $t$ будет соответствовать его зеркальное отражение с координатой $-t$, а квадрат длины вектора понимается, как скалярное произведение двух этих векторов. Отражение вектора и есть ковектор.
Смысл удвоения системы координат или вектора в том, чтобы удвоить количество координат каждого вектора. Тогда в метрике вместо $x^2$ можно записать более общее выражение $x_ix^i$, которое распространяется не только на ортогональные ортонормированные координаты, но и на произвольные косоугольные координаты.

[Munin]

Левая картинка очень извращённая, но в принципе нормальная.
Правая - совсем плохо. Вы пользуетесь евклидовым представлением о скалярном произведении векторов, а должны вы вместо этого научиться новому минковскому скалярному произведению.

[sergey zhukov]

На сайте https://jila.colorado.edu/~ajsh/sr/cont ... #cartwheel приведен вид катящегося колеса со спицами, ось которого перемещается на скорости 87% от скорости света:


Переход от координат движущегося наблюдателя к координатам неподвижного здесь ясен. А вот как движущийся с колесом наблюдатель получает координаты точек вращающегося в его системе колеса? Судя по этой картинке, он обращается с вращающимся колесом, как с абсолютно твердым телом. Т.е. в момент $t$ он подсчитывает угол поворота колеса $\varphi=\omega t$ и просто применяет обычную формулу поворота координат.

$$x^\prime=xcos\varphi+ysin\varphi$$ $$y^\prime=-xsin\varphi+ycos\varphi$$

Корректно ли это? Все же он имеет дело с вращающимся объектом, а не с неподвижным стержнем.

И еще: как теоретически получить снимок релятивистского сжатия объекта? Можно ли это сделать так: фотоаппарат снимает катящееся колесо перпендикулярно его движению с далекого расстояния, причем освещает его собственной вспышкой. Вспышку он посылает так, чтобы она осветила колесо, когда оно попадет в кадр. Получится ли в кадре подобная картинка?

[Guvertod]

sergey zhukov
Если я верно понял первый вопрос, в ИСО оси имеем просто вращающееся колесо. Если угловая скорость меньше скорости света на радиус, то такое движение (как твердого тела) теоретически осуществимо (как там изгибается материал в реальности - вопрос отдельный). Проекции координат - обычная геометрия, третью СО вводить не обязательно.