Необратимые процессы в физических моделях, "на пальцах"

[frostysh]

Да, знаю! Читать повторять физику по третьем томе школьного учебника Перышкина и в то же время книжки о таких сложных вещах... Но если не затруднит, объясните пожалуйста на поверхностном уровне. Заранее спасибо!

Перекладывал стопку книг, я увидел научно-популярную книгу: "Вдали от равновесия" авторства Л. А. Шелепина, 1987 год; а ваш покорный слуга интересуется хаосом, а в книге я нашел упоминания о так называемой "гипотезе молекулярного хаоса" который включили в модели для вывода так называемого кинетического уравнения Больцмана, как я понял смысл этого в отсутствии связи между координатами и скоростями, это то, о чем упоминал когда-то в другой теме один форумчанин (arseniiv), типа смысл случайности в отсутствии зависимости. Это меня очень заинтересовало, поэтому решил прочесть книгу полностью! А в ней дальше еще больше интересного, удивительного и еще более непонятного... Точней так называемые необратимые процессы о которых напечатано:

"Система уравнения динамики для \large$ N $ частиц может быть записана в форме единого уравнения для функции распределения микросостояний все совокупности частиц \large$ f_{N}\left(x_{1}, x_{2}, ..., x_{N}, t \right)$. Это уравнение было преобразовано в эквивалентную цепочку уравнений для последовательных функций увеличивающегося числа переменных \large$f_{1}\left(x_{1}, t \right)$, \large$f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, t \right)$, \large$f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t \right)$... Правая часть уравнения для каждой функции \large$f_{n}\left(x_{1}, ..., x_{n}, t \right)$ зависит от функции \large$f_{n + 1}\left(x_{1}, ..., x_{n}, x_{n + 1}, t \right)$. Однако при определенных предположениях можно оборвать цепочку и получить замкнутую систему уравнений... А, так как мы знаем, абсолютно изолированных систем в мире нет, и в этом смысле необратимость заложена в природе вещей в силу всеобщей взаимосвязи."

То есть насколько я понял необратимость это следствие бесконечности в этой модели?

[VASILISK11]

frostysh в сообщении #1405407 писал(а):

То есть насколько я понял необратимость это следствие бесконечности в этой модели?

Следствие неустойчивых траекторий, при столкновениях. Чем дольше мы хотим учитывать корреляции движения молекул газа, тем точнее должны быть заданы начальные условия, тем больше помех (других частиц) надо учитывать.

[amon]

frostysh в сообщении #1405407 писал(а):

То есть насколько я понял необратимость это следствие бесконечности в этой модели?

С точностью до наоборот. Необратимость - следствие того, что мы оборвали цепочку уравнений на каком-то шаге.

[frostysh]

VASILISK11 в сообщении #1405426 писал(а):

Следствие неустойчивых траекторий, при столкновениях. Чем дольше мы хотим учитывать корреляции движения молекул газа, тем точнее должны быть заданы начальные условия, тем больше помех (других частиц) надо учитывать.

Но если у нас абсолютно точно заданные начальные условия? Каких других частиц если у нас допустим есть все начальные условия всех частиц? Вот например у нас есть там пять частиц, каждая частица описывается единым параметром, не знаю там, расстояние на прямой к точке отсчета, пусть эта система описывается какой-то функцией состояний \large$ f_{5}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, t \right) $, нам известной, и пусть в начальный момент времени эти значения будут, для каждой частицы, \large$ f_{5}\left(1, 2, 3, 4, 5, t = 0 \right) $, то есть мы можем увидеть будущее системы, мы можем увидеть прошлое, то есть обратить процесс, изменяя значения \large $ t $. Если честно ничего не понял.

amon в сообщении #1405437 писал(а):

С точностью до наоборот. Необратимость - следствие того, что мы оборвали цепочку уравнений на каком-то шаге.

Хмм... Непонятно. А что значит оборвать цепочку уравнений в терминах вот этих функций (которые по идеи должны быть решениями этих уравнений)? То есть мы где-то теряем функцию которая описывает какую-то подсистему с каким-то конкретным числом частиц? То есть в общем случае восстановить эту зависимость нельзя? — Это и есть обрыв о котором пишет мистер Шелепин, говоря что внешние воздействия разрушают корреляцию (описания взаемодействия между частицами), то есть обрывают цепочку в общем случае давая абсолютно неизвестную зависимость! Так если мы знаем эту зависимость? Ааа... То есть даже если мы знаем эту зависимость, и можем представить эту новую систему как замкнутую, с конечным числом этих \large $f_{n}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}, t \right)$, на цепочку которых разбивается \large $f_{N}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{N}, t \right)$, все ровно она будет не замкнутая ибо в мире все связано, то есть нет замкнутых систем и нам нужно будет еще додавать, узнавать заивисимостей которые иначе оборвут цепочку, а постольку мир, то есть Вселенную, можно считать бесконечной то сколько бы мы не расширяли систему все ровно будет обрыв!

Ведь я угадал?

[VASILISK11]

frostysh в сообщении #1405448 писал(а):

Но если у нас абсолютно точно заданные начальные условия?

Вам теорию или практику? В теории всё обратимо, на практике всё необратимо. На практике мы можем отмотать назад тысячи циклов вращения планет солнечной системы, основываясь на их современных координатах и скоростях. Потому что они движутся по устойчивым траекториям. Но не можем отмотать десятки соударений диска в бильярде Синая, потому что там неустойчивые траектории, как бы мы точно всё не измеряли.

[amon]

frostysh в сообщении #1405448 писал(а):

Ведь я угадал?

Типа того. Если мы замкнутую рассмотрим систему из $N$ частиц, то она описывается $N$ уравнениями (для простоты - пусть это уравнения классической механики). Эти уравнения обратимы - замена $t$ на $-t$ не меняет вида уравнений, значит все процессы могут идти как в одну сторону, так и в другую. Вместо уравнений механики можно написать уравнения на вероятность найти любую частицу в токе $x,$ вероятность найти какую-то частицу в точке $x_1,$ а другую - в точке $x_2$ и т.д. Что бы такие уравнения были эквивалентны исходным, их, по крайней мере, должно быть столько же, сколько исходных уравнений механики. Решить эту систему из $10^{23}$ уравнений невозможно, поэтому мы берем в руки шаманский бубен и произносим следующее заклинание. Многочастичная функция распределения означает, что есть жесткая корреляция между движением разных частиц. Однако, замкнутых систем не бывает, всегда есть неконтролируемое взаимодействие с окружением. Это взаимодействие разрушает корреляцию, причем чем больше частиц - тем легче такая корреляция разрушается. Поэтому мы оборвем получившуюся цепочку, сказав, что, скажем, трехчастичная функция выражается через одно и двухчастичные. После этого бубен откладывается, и решается получившееся уравнение (уравнение Больцмана). Удивительным образом, результат совпадает с экспериментом.

[DimaM]

VASILISK11 в сообщении #1405451 писал(а):

На практике мы можем отмотать назад тысячи циклов вращения планет солнечной системы, основываясь на их современных координатах и скоростях. Потому что они движутся по устойчивым траекториям.

(Оффтоп)

Насколько я знаю, пока еще не известно, является движение планет в Солнечной системе хаотическим или нет. Так что тысячи циклов прокрутить можем, а вот миллионы-миллиарды - вопрос.

[frostysh]

VASILISK11 в сообщении #1405451 писал(а):

e]Вам теорию или практику? В теории всё обратимо, на практике всё необратимо. На практике мы можем отмотать назад тысячи циклов вращения планет солнечной системы, основываясь на их современных координатах и скоростях. Потому что они движутся по устойчивым траекториям. Но не можем отмотать десятки соударений диска в бильярде Синая, потому что там неустойчивые траектории, как бы мы точно всё не измеряли.

"Необратимые процессы в физических моделях", тобишь в физических абстракциях, тобишь никакой реальности не существует, что логично, ведь речь идет только об моделях.

Но мы можем легко отмотать этот биллиард Синая в модели, по крайней мере с того что я понял можем, ибо в этой абстракции мы идеально точно знаем и функцию состояний и сами состояния в какой-то начальный момент времени, а дальше дело техники, есть же там какая-то теория которая, там говорит что в общем случае имеются какие-то там решения в каком-то там виде, верно? То есть уровень обобщения, абстракции, как точно эти абстракции описывают реальность — вопрос совсем иной.
А вот когда мы говорим о моделе Вселенной, то не можем отмотать в общем случае, ибо мы всегда можем сказать что система открытая, это походу и подразумевал мистер Шелепин в своей книге!

amon в сообщении #1405452 писал(а):

Типа того.

Ура!

amon в сообщении #1405452 писал(а):

Если мы замкнутую рассмотрим систему из $N$ частиц, то она описывается $N$ уравнениями (для простоты - пусть это уравнения классической механики). Эти уравнения обратимы - замена $t$ на $-t$ не меняет вида уравнений, значит все процессы могут идти как в одну сторону, так и в другую. Вместо уравнений механики можно написать уравнения на вероятность найти любую частицу в токе $x,$ вероятность найти какую-то частицу в точке $x_1,$ а другую - в точке $x_2$ и т.д.

Заменяя уравнения класической механики на вероятностные штуки, мы подразумеваем что нету например абсолютно никакой связи между координатами и импульсами (пусть массы там будут нескольких видов или у всех элемнтов одинаковая масса, но не бесконечное количество разновидностей...), то есть включаем хаос? Для меня сам факт что такие уравнения могут быть эквивалентны исходным удивителен и невообразим даже! Наверное есть какая-то сложная, сильно абстрактная математика по этому поводу.

VASILISK11 в сообщении #1405451 писал(а):

e]Что бы такие уравнения были эквивалентны исходным, их, по крайней мере, должно быть столько же, сколько исходных уравнений механики. Решить эту систему из $10^{23}$ уравнений невозможно, поэтому мы берем в руки шаманский бубен и произносим следующее заклинание. Многочастичная функция распределения означает, что есть жесткая корреляция между движением разных частиц. Однако, замкнутых систем не бывает, всегда есть неконтролируемое взаимодействие с окружением. Это взаимодействие разрушает корреляцию, причем чем больше частиц - тем легче такая корреляция разрушается. Поэтому мы оборвем получившуюся цепочку, сказав, что, скажем, трехчастичная функция выражается через одно и двухчастичные. После этого бубен откладывается, и решается получившееся уравнение (уравнение Больцмана). Удивительным образом, результат совпадает с экспериментом.

Это божественно гениально! Как там в книги этой, этих ученых называли, Боголюбов, Борн, Грин, Кирквуд, Ивон, поэтому метод "ББГКИ", как они до такой штуки додумались?! Тут задачку простую, школьную, бывает попомучаешься пока решишь...

Многочастичная функция распределения состояний во времени? Жесткая корреляция между движения разных частиц? — Это потому-что у нас всегда будет в цепочке решений какое-то \large $ f_{1}\left(x_{1}, t \right) $ для одной частицы? То есть уравнение пусть будет \large $ U_{n} $, тогда:

\large $ U_{1} \left(f_{n} \left(x_{1}, t \right)\right) = U_{2} \left(f_{n} \left(x_{1}, x_{2}, t \right)\right) = U_{3}\left(f_{n} \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t \right)\right) =\ldots = U_{n - 1} \left(f_{n} \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n - 1}, t \right)\right) = U_{n} \left(f_{n} \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n} t \right)\right)$

Где \large $ x $ — это совокупность свойств элемента системы, типа координата, импульс, так далее... Но поскольку вот, насколько я понял математика говорит что эта многочастичная, такая-эдакая штука есть, то в следствии есть жесткая зависимость этих \large $ x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}$, соответственно нарушение этой зависимости будет в открытой системе тем больше чем больше количество частиц \large $ n $ и чем дальше во времени от какого-то начального момента, допустим $ t = 0 $, есть в открытой системе мы можем представить это как закрытую систему, и приписать какое-то там \large $ x_{n + 1} $, грубо говоря, и тогда чем дальше оно по цепочке (или времени) от \large $ x_{1} $, тем катастрофичней нарушается эта жесткая корреляция! То есть система складывается с огромной кучи элементов и достаточно далеко от начального момента когда там нам известны в явном виде все эти свойства, их совокупность то есть состояние, тогда мы можем, допустим, сказать что:

\large $ U_{1} \left(f_{n} \left(x_{1}, t \right)\right) = U_{2} \left(f_{n} \left(x_{1}, x_{2}, t \right)\right) = U_{3}\left(f_{n} \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t \right)\right) = U_{2} \left(f_{2} \left(x_{1}, x_{2}, t \right)\right) = U_{1} \left(f_{n} \left(x_{1}, t \right)\right)$

И таким образом у нас не $ 10^{23} $ уравнений а только три! Невероятно, действительно невероятно! Как такая ужасная апроксимация угадывает реальность, если оно действительно угадывает достаточно точно, кончено.
Вообще, эта теория хаоса напоминает мою манеру самообучения-повторения, никакой системности, и бог знает что впереди будет... Поэтому если я нонсенс напечатал, то не обращайте внимания, я только в тоненькой, научно-популярной книжечке о методе ББГКИ почитал.

[Munin]

DimaM в сообщении #1405465 писал(а):

Насколько я знаю, пока еще не известно, является движение планет в Солнечной системе хаотическим или нет.

Насколько я знаю, хаотическое, и это хорошо известно. Для разных подсистем разные ляпуновские времена, самое большое для подсистемы больших планет (или только гигантов) - ~5 млн лет.

[VASILISK11]

frostysh в сообщении #1405481 писал(а):

Но мы можем легко отмотать этот биллиард Синая в модели, по крайней мере с того что я понял можем, ибо в этой абстракции мы идеально точно знаем и функцию состояний и сами состояния в какой-то начальный момент времени, а дальше дело техники, есть же там какая-то теория которая, там говорит что в общем случае имеются какие-то там решения в каком-то там виде, верно? То есть уровень обобщения, абстракции, как точно эти абстракции описывают реальность — вопрос совсем иной.

Для неустойчивых траекторий нет аналитических решений. Есть только численное решение, которое так же невозможно точно просчитать, в обратную сторону на значительное количество соударений, потому что нет таких вычислительных мощностей во всей Вселенной.

[arseniiv]

(Про ссылание на других участников)

frostysh в сообщении #1405407 писал(а):

как я понял смысл этого в отсутствии связи между координатами и скоростями, это то, о чем упоминал когда-то в другой теме один форумчанин (arseniiv), типа смысл случайности в отсутствии зависимости

Ну аккуратнее надо, я не говорил вот так. И вы вообще скомбинировали ответы на разные ваши вопросы.

[frostysh]

VASILISK11 в сообщении #1405493 писал(а):

frostysh в сообщении #1405481 писал(а):

Но мы можем легко отмотать этот биллиард Синая в модели, по крайней мере с того что я понял можем, ибо в этой абстракции мы идеально точно знаем и функцию состояний и сами состояния в какой-то начальный момент времени, а дальше дело техники, есть же там какая-то теория которая, там говорит что в общем случае имеются какие-то там решения в каком-то там виде, верно? То есть уровень обобщения, абстракции, как точно эти абстракции описывают реальность — вопрос совсем иной.

Для неустойчивых траекторий нет аналитических решений. Есть только численное решение, которое так же невозможно точно просчитать, в обратную сторону на значительное количество соударений, потому что нет таких вычислительных мощностей во всей Вселенной.

Вот тут и мне интересно, изменятся ли вид уравнений, описывающих в общем случае состояние системы в этой модели бильярда или как там его, если поменять \large $ t $ на \large $ - t $ (как форумчанин amon подметил о методе ББГКИ), то есть в обратную сторону начать мотать, и ниче не изменится, значит и в решениях, каких-то там, даже если мы не можем эти решения так просто найти, должно кагбы все и отмотатся. Тут полный детерминизм и полная оборотность, по крайней мере я так думаю, другое дело если система изначально открытая в модели, вот тут то и начинается веселье и тотальный хаос! То есть немного больший уровень абстракции...

arseniiv в сообщении #1405510 писал(а):

(Про ссылание на других участников)

frostysh в сообщении #1405407 писал(а):

как я понял смысл этого в отсутствии связи между координатами и скоростями, это то, о чем упоминал когда-то в другой теме один форумчанин (arseniiv), типа смысл случайности в отсутствии зависимости

Ну аккуратнее надо, я не говорил вот так. И вы вообще скомбинировали ответы на разные ваши вопросы.

(Оффтоп)

Вот, Вы так отвечали:

С полезными понятиями всегда примерно такая ситуация: сначала есть какие-то наивные представления, близкие к наивному же воображению, потом они уточняются, уточняются, абстрагируются и получается понятие, которое дилетант будет называть разными нехорошими словами, а между тем оно (кроме того что позволяет давать ответы на вопросы, особенно хитрые сложные вопросы, в отличие от наивных формулировок, не отточенных для такого) имеет смысл через связи с другими вещами (и, редукционистски, этот смысл заключён в его определении, в частности в аксиомах соответствующей теории, если оно первичное; а говорить, что у таких понятий нет определения — обскурантизм). С вероятностью при этом всё очень даже хорошо: вероятность — это сигма-аддитивная мера такая, что мера всего пространства единица. (Вообще нам важна только конечность, но из этого всегда следует, что мы можем взять удобную во всех отношениях единицу.) У вероятностей есть связь с относительными частотами, но чтобы сформулировать её аккуратно и доказать, нужно сначала влезть в теорию вероятностей, нельзя это сделать вне её.
Если попытаться описать некоторую идею случайности, которая используется в науке, то одной из таких может быть то, что результат не зависит только от исходных данных (что значит, что или зависимости вообще нет никакой, или есть зависимость от большего набора, часть которого мы не имеем возможности или желания знать). Но такая идея для одних применений слишком бесплотна (теорвер более конкретен), для других она может оказаться слишком жёсткой (таких не знаю, но мало ли). Это неформальный уровень, тут никаких стандартов не писано и люди выбирают так, как считают полезным и, в удачном случае, понятным другим. И обычно не ограничиваются одним словом, чтобы пришлось гадать, что же оно должно значить. Потому-то вы ищете ответ на пустой вопрос, никому не пригождающийся в реальных условиях при работе с реальными вещами, пусть даже в математике.

Пардон если не так перефразировал, но вроде норм.

Ой, и последнюю формулу я не так думал, то спешишь и Латех этот, не верно совсем напечатал то что думал:

\large $ U_{1} \left(f_{1} \left(x_{1}, t \right)\right) = U_{2} \left(f_{2} \left(x_{1}, x_{2}, t \right)\right) = U_{3}\left(f_{3} \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t \right)\right) = U_{2} \left(f_{2} \left(x_{1}, x_{2}, t \right)\right) = U_{1} \left(f_{1} \left(x_{1}, t \right)\right)$

Вот так примерно, и первую тоже

\large $ U_{1} \left(f_{1} \left(x_{1}, t \right)\right) = U_{2} \left(f_{2} \left(x_{1}, x_{2}, t \right)\right) = U_{3}\left(f_{3} \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t \right)\right) =\ldots = U_{n - 1} \left(f_{n - 1} \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n - 1}, t \right)\right) = U_{n} \left(f_{n} \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n} t \right)\right)$

[VASILISK11]

frostysh в сообщении #1405515 писал(а):

Вот тут и мне интересно, изменятся ли вид уравнений, описывающих в общем случае состояние системы в этой модели бильярда или как там его, если поменять \large $ t $ на \large $ - t $ (как форумчанин amon подметил о методе ББГКИ), то есть в обратную сторону начать мотать, и ниче не изменится, значит и в решениях, каких-то там, даже если мы не можем эти решения так просто найти, должно кагбы все и отмотатся. Тут полный детерминизм и полная оборотность, по крайней мере я так думаю, другое дело если система изначально открытая в модели, вот тут то и начинается веселье и тотальный хаос! То есть немного больший уровень абстракции...

Так ведь нет аналитических решений, поэтому и нет той магической формулы, в которой можно " поменять $ t $ на $ - t $ (как форумчанин amon подметил о методе ББГКИ), то есть в обратную сторону начать мотать".

[frostysh]

VASILISK11 в сообщении #1405533 писал(а):

Так ведь нет аналитических решений, поэтому и нет той магической формулы, в которой можно " поменять $ t $ на $ - t $ (как форумчанин amon подметил о методе ББГКИ), то есть в обратную сторону начать мотать".

Я в этом не разбираюсь но моя интуиция и чутье забожило опять!

В связи с вышесказанным может возникнуть вопрос: каким же образом математические модели явлений учитывают эти случайные флуктуации? Ведь записываются и решаются всегда только динамические уравнения, не содержащие каких-либо стохастических слагаемых? Прежде всего отметим, что получить аналитическое описание хаотического поведения системы практически невозможно. Применение аналитических методов здесь ограничено в основном задачами линейного анализа устойчивости тех или иных частных решений. При решении этих задач возмущения в виде суперпозиции всех возможных гармоник со случайными (неопределенными) значениями амплитуд искусственно привносятся в уравнения, чем и учитывается действие флуктуаций. В целом же решение оказывается неинтегрируемым и для точного описания (задания) требует бесконечной последовательности значений независимых переменных. Естественно, практическое получение подобных решений возможно только расчетным путем. Однако даже современные компьютеры при численном решении разностных или спектральных аппроксимаций дифференциальных уравнений не позволяют избежать неконтролируемых ошибок (как следствий неточности дискретной аппроксимации динамических закономерностей, так и округления результатов вычислений на каждом шаге). Именно этот постоянно действующий случайный “фон” малой амплитуды и моделирует действие природных флуктуаций, позволяя “сработать” нестабильности и возникнуть хаосу. Если бы такие искусственные возмущения не носили случайного характера, то близкие по исходному состоянию элементы системы могли бы сохранять свою близость, т.е. сохранялись бы корреляции, и движение было бы предсказуемым. Понижение амплитуды случайных возмущений может приводить в расчетах к тому, что увеличится временной интервал, на протяжении которого можно достаточно достоверно предсказать (рассчитать) поведение реальной системы. При решении практических задач уровень и спектр задаваемых флуктуаций могут оказывать существенное влияние на соответствие результатов расчетов реальному явлению. Тем самым выбор характеристик флуктуаций представляет собой самостоятельную проблему, решение которой не определяется системой динамических законов. Строго говоря, математическая модель неравновесного процесса с возможным хаотическим характером должна наряду с нелинейными дифференциальными уравнениями, отражающими аспект необходимого в явлении, учитывать в формализованном виде также и эффект флуктуаций, носящий характер случайного.

На основе сказанного можно сделать вывод, что так называемое явление детерминированного хаоса вовсе не доказывает того, что классические нелинейные динамические законы сами по себе способны привести к хаосу, т.е. породить характерные свойства, присущие поведению систем под действием случайных факторов.

— Детерминированный хаос и случайность. 2001. (Шарыпов О.В.)

Вот это уровень абстракции! Намного выше чем у меня, я почитал чуток научно-популярных работ и артиклей по хаосу, в основном написанными программистами или кем-то таким, то тут разница сразу чувствуется! Не, ну был один программист, некто Скот Ааронсон, работа которого мне очень понравилась, но она огромная, не успел прочесть.
Я через это кстати, уже вторую тему на этом форуме (первая в "Пургатории") "плююсь" в монитор, через интуитивное чутье которое подсказывает мне принципиальную, черт возьми, разницу между тем "детерминированным" хаосом и случайностью, то есть тотальным хаосом, то есть индетерминированным хаосом, то есть обычным хаосом который "включают". Нету доказанного хаоса — значит все отматывается, ибо детерминизм, как-то так.
Ну по крайней мере моя интуиция совпала с работой этого ученого, а это уже плюс! Может ваш покорный слуга и станет, когда-то, хорошим физиком которому плотять хоть что нибудь.

[realeugene]

frostysh в сообщении #1405481 писал(а):

Но мы можем легко отмотать этот биллиард Синая в модели

Что именно в этой фразе означает слово "легко"?