О ВШЭ

[GOLOTOPAXPOP]

Munin в сообщении #1403902 писал(а):

Ну тогда и программы предметов "уровня автоматизма" должны различаться по направлениям математики, очевидно. Но сама необходимость такого "автоматизма" вами не оспаривается, я гляжу? Это радует.

Я полагаю, что автоматизм при работе с конкретными объектами, если он нужен, сам возникнет в процессе изучения дисциплин, где он используется. По крайней мере, если речь об образовании математика.

Munin в сообщении #1403902 писал(а):

Ещё в море прикладных направлений, знаете ли.

Практически все, что я говорил в этой теме, относилось к чистой математике.

Munin в сообщении #1403902 писал(а):

Здесь мне ближе позиция vpb, что "студент должен стоять на обеих ногах", даже если какая-то у него и сильнее другой. Поскольку все эти геометрические и алгебраические мышления - в конечном счёте нарабатываемые навыки, и то и другое можно наработать. И оно действительно поможет, и действительно есть контексты, в которых недостаточно одного или другого, а необходимо "частое переключение" с одного на другое.

Эта позиция тоже имеет право на жизнь, но на деле, к сожалению, получается, что учитываются преимущественно интересы студентов с геометрическим мышлением, но не с алгебраическим. Например, изучение линала почти везде начинается с геометрии, а не с абстрактных модулей над кольцом.

[Red_Herring]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403906 писал(а):

учитываются преимущественно интересы студентов с геометрическим мышлением, но не с алгебраическим

Есть еще аналитическое мышление, и на самом деле это наиболее востребованное. Самые массовые курсы в нашем университете этo Calculus I и Calculus II, потом Linear Algebra I, II, потом ODE, Complex Variables, PDE (все для нематематиков) . И уж среди слушателей этих курсов тем, кому нужны модули над абстрактным кольцом просто нет. И, кстати, три последних курса вовсе не отдаются на откуп Teaching Stream. Т.е. кафедре реально нужно гораздо больше аналитиков.

Ну, а какие извращения устраивают алгебраисты читающие ODE рассказывать не буду.

[Padawan]

(Оффтоп)

Munin
Точки $(x,y)$, $(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$(x_3,y_3)$ лежат на одной окружности (которая может вырождаться в прямую), если найдутся числа $A$, $B$, $C$, $D$, не все равные нулю, такие, что $A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0$ и $A(x_i^2+y_i^2)+Bx_i+Cy_i+D_i=0$ для $i=1,\ldots,3$. Получается, система линейных однородных уравнений относительно $A, B, C, D$ имеет ненулевое решение. Значит, определитель матрицы этой системы равен нулю:

$$ \begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}=0 $$

-- Пн июл 08, 2019 16:24:44 --

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403906 писал(а):

а не с абстрактных модулей над кольцом.

C теории категорий начинать надо! Чего уж мелочиться. А потом сразу модули над кольцами и гомологическую алгебру. А векторные пространства - это все частный-пречастный случай.

[GOLOTOPAXPOP]

Padawan в сообщении #1403924 писал(а):

C теории категорий начинать надо! Чего уж мелочиться. А потом сразу модули над кольцами и гомологическую алгебру. А векторные пространства - это все частный-пречастный случай.

Если речь о факультете чистой математики, то я не вижу проблемы интегрировать линейную алгебру в основательный курс общей алгебры. Там можно и про категории рассказать (но это уже под вопросом). Про векторные пространства забыть не получится, потому что многие вещи работают только для них (часть (меньше половины) из которых, в свою очередь, работает для произвольных модулей над телом, а часть (тоже меньше половины) - для произвольных коммутативных колец, соответственно, их пересечение - векторные пространства над полем). Гомологическую алгебру в первом курсе алгебры, конечно, рассказывать не надо (если не считать diagram chasing гомологической алгеброй).

Red_Herring в сообщении #1403919 писал(а):

Есть еще аналитическое мышление,

Кстати, да.

Red_Herring в сообщении #1403919 писал(а):

Ну, а какие извращения устраивают алгебраисты читающие ODE рассказывать не буду.

Ну почему же, было бы интересно послушать. К слову, в чем проблема сделать фиксированную программу для каждого undergraduate курса, чтобы преподаватель не мог читать все, что ему заблагорассудится?

[Red_Herring]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403929 писал(а):

Если речь о факультете чистой математики, то я не вижу проблемы интегрировать линейную алгебру в основательный курс общей алгебры. Там можно и про категории рассказать (но это уже под вопросом). Про векторные пространства забыть не получится, потому что многие вещи работают только для них (часть (меньше половины) из которых, в свою очередь, работает для произвольных модулей над телом, а часть (тоже меньше половины) - для произвольных коммутативных колец, соответственно, их пересечение - векторные пространства над полем).

Большинству неалгебраистов сразу нужна только линейная алгебра, причем над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ с геометрическими приложениями и "аналитическим" уклоном (т.е. со скалярными произведениями и нормами) и уже потом все остальное, котороес следует читать в обязательном курсе общей алгебры. Есть, кстати, еще нужна теория многочленов, опять таки над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403929 писал(а):

К слову, в чем проблема сделать фиксированную программу для каждого undergraduate курса, чтобы преподаватель не мог читать все, что ему заблагорассудится?

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и специальной правой частью (что нужно), но тратится очень много времени на отработку случаев корня высокой кратности (скажем 3). Все в рамках программы, но распределение времени.

[GOLOTOPAXPOP]

Red_Herring в сообщении #1403938 писал(а):

Большинству неалгебраистов сразу нужна только линейная алгебра, причем над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ с геометрическими приложениями и "аналитическим" уклоном (т.е. со скалярными произведениями и нормами) и уже потом все остальное, котороес следует читать в обязательном курсе общей алгебры. Есть, кстати, еще нужна теория многочленов, опять таки над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$.

Это понятно, но я отталкиваюсь от того, что математическое образование все-таки должно быть разносторонним. И аналитики должны учить алгебру, а алгебраисты - анализ. Что касается геометрических приложений и аналитического уклона, то всё это должно включаться, конечно.

[Red_Herring]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403943 писал(а):

Это понятно, но я отталкиваюсь от того, что математическое образование все-таки должно быть разносторонним. И аналитики должны учить алгебру, а алгебраисты - анализ.

Безусловно. Я ведь не отвергаю необходимость хорошего курса общей алгебры для всех, но просто считаю, что начинать стоит с линейной алгебры и алгебры многочленов.

Кстати, когда я 50+ лет назад учил общую алгебру, лектором был очень сильный "кольцевик" К.Жевлаков (к сожалению, очень рано ушедший) и практически курс свелся к теории колец, оставляя все остальное в сноски. Курс должен быть сбалансированным.

[vpb]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403714 писал(а):

vpb, что ж, как я понял, вам очень нравится аналитическая геометрия. В таких случаях рекомендуется изучать её на здоровье, но ни в коем случае не заставлять других.

Вы весьма великодушны. Должен сказать, я ее уже успешно изучил более 20 лет назад. Дело не в том, что мне что-то лично нравится или не нравится, а в том, что без изучения аналитической геометрии студенты не будут владеть (или будут, но хуже) многими очень важными идеями. Что будет им мешать изучать дальше линейную алгебру, матанализ, дифференциальную геометрию, алгебраическую геометрию (её то точно! недаром в основах алгемы самый важный пример --- коники (и-го-го !) и квадрики), далее везде.

-- 08.07.2019, 16:36 --

Насчет книги ПСА. Видимо, я из-за давности лет её не вполне правильно оценивал. В первом семестре впечатление от нее было очаровательное, что я пытался передать читателям. Но, похоже, я тогда прочитал из нее всего страниц 300 (не подряд, а в соответствии с вопросами к экзамену), да и то возможно не. Память подвела. Целиком ее в нынешние времена первокурснику читать не стоит (наверное, не стоит даже и наполовину). Более зрелому человеку, с точки зрения истории и эволюции идей --- возможно.

[vpb]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403714 писал(а):

студент, привыкший, что пространство - это нечто конкретное, пытается себе представить в голове всякие Банаховы пространства, не понимая, что представлять ничего, как вы школьной геометрии, не нужно.

Почему же ? Нужно, можно, и нетрудно. Если у человека уже наработана интуиция на плоскости, в пространстве, в ${\mathbb R}^n$, в ходе изучения школьной математики, ангема, линала, матана, возможно еще чего-то, то представить себе банахово пространство --- не сложней, чем обычное. Я, извините, подозреваю, что у Вас лично какие-то особые трудности с пространственным мышлением, скажем так.

-- 08.07.2019, 17:37 --

Red_Herring в сообщении #1403762 писал(а):

что в курсах линейной алгебры часто про геометрию забывают напрочь (

Думаю, это естественно. Алгебра --- это один строй мышления и совокупность идей, а геометрия (аналитическая)--- другой. Они пересекаются и взаимодействуют, но это не одно и то же. Во всяком случае, я так думаю. Поэтому должны быть два отдельных предмета.

[ozheredov]

Padawan в сообщении #1403924 писал(а):

Точки $(x,y)$, $(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$(x_3,y_3)$ лежат на одной окружности (которая может вырождаться в прямую), если найдутся числа $A$, $B$, $C$, $D$, не все равные нулю, такие, что $A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0$ и $A(x_i^2+y_i^2)+Bx_i+Cy_i+D_i=0$ для $i=1,\ldots,3$.

И каков же общий рецепт поиска необходимых условий, которые сразу же и достаточны? Ваш пример конечно очень красивый, но имхо несколько специфичный

[vpb]

Red_Herring в сообщении #1403737 писал(а):

Харибдой тупой зубрежки.

Не понимаю, почему меня тут связали с тупой зубрежкой. Я знаю людей, которые математику пытались тупо зубрить, и в жизни и на форуме. Но я, наоборот, всегда говорил им, что в математике надо понимать, а не зубрить, а зубрить бесполезно (что не отменяет некоторой (небольшой) роли памяти при изучении математики, конечно).

[Munin]

Padawan
Спасибо! Остроумно! Надо подумать.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403906 писал(а):

Например, изучение линала почти везде начинается с геометрии, а не с абстрактных модулей над кольцом.

Ну вот в СПбГУ, вроде, уже не так. О результатах не знаю.

vpb в сообщении #1403971 писал(а):

Поэтому должны быть два отдельных предмета.

Видимо, аргументация скоро дойдёт до мысли, что это потому, что читать должны два разных преподавателя с двумя разными стилями мышления. (Что, в общем, разумно.)

[Rasool]

Читаю я тут вас про математику и думаю, какой же я идиот, что не поступил в свое время на матфак местного университета.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1403987 писал(а):

Видимо, аргументация скоро дойдёт до мысли, что это потому, что читать должны два разных преподавателя с двумя разными стилями мышления. (Что, в общем, разумно.)

Ну, раз тут уже была несколько раз мысль о том, что постижимо многое, то можно представить и преподавателя, освоившего алгебраический и геометрический ээ… подход.

Правда я понял, что не могу похвастаться, что понимаю, что это такое. Раньше казалось, что понимаю, сейчас почему-то нет.

Согласен, что пример Padawan с окружностью интересный (и он очевидно напоминает произвольное коническое сечение по пяти точкам с одной стороны и банальную прямую по двум с другой), но какой, тут присоединяюсь к ozheredov, за ним стоит аппарат? На ум приходит что-то конформное в смысле $\mathbb R^{3+1,0+1}$ и что могло бы наверно породить определитель с квадратами внутри, но я туда до сих пор не дошёл, слишком мало интересовался.

-- Пн июл 08, 2019 21:29:34 --

(Оффтоп)

Rasool в сообщении #1403990 писал(а):

Читаю я тут вас про математику и думаю, какой же я идиот, что не поступил в свое время на матфак местного университета.

Я бы сильно не огорчался, потому что неизвестно что бы это ещё дало. Впрочем, я иногда тоже мимолётно думаю, что надо было поступать на специальность 010101, или какая она там по классификатору нынче, и отмахнуться от советчиков. Но что сделано, то сделано.

[g______d]

arseniiv в сообщении #1403991 писал(а):

аппарат

Подобные вопросы (например, сколько кривых из определённого класса проходят через данное количество точек в общем положении) относятся к исчислительной геометрии

https://en.wikipedia.org/wiki/Enumerative_geometry