О ВШЭ

[vpb]

Ну что Вы, она же даже визуально совсем не так выглядит, как книга по линейной алгебре. Это именно геометрия.
Правда, я сам уже плохо помню, сколько я в свое время из нее прочитал к экзамену. Страниц 300 точно. А может и все 500.

[Munin]

vpb в сообщении #1403656 писал(а):

Однако, известная книжка П.С.Александров, Лекции по аналитической геометрии ... (1969) --- 900 страниц.

Это я и подозревал, задавая свой вопрос

Munin в сообщении #1403488 писал(а):

vpb
А что вы понимаете под ангемом, помимо линейной алгебры для случаев $\mathrm{dim}=2,3$? (И зачастую только над $\mathbb{R}.$)

Поясняю для участников разговора, чтобы не открывать книжку лишний раз, вот её оглавление:

(Оффтоп)

1. Координаты на прямой
2. Векторы
3. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве
4. Прямоугольная система координат. Полярные координаты
5. Прямая линия
6. Парабола. Эллипс. Гипербола
7. Детерминанты и СЛАУ (2, 3 измерения, затем$n$ измерений)
8. Преобразование координат. Матрицы
9. Ориентация. Углы Эйлера. Объём. Векторное произведение
10. Плоскость и прямая в пространстве
11. Движения и аффинные преобразования
12. Векторные пространства $n$ измерений. Однородные СЛАУ
13. Линейные, билинейные и квадратичные функции
14. Точечно-векторное аффинное $n$-мерное пространство $R^n$
15. Алгебраические линии и поверхности. Комплексная плоскость и комплексное пространство
16. Различные виды кривых второго порядка
17. Общая теория кривых второго порядка
18. Краткое описание поверхностей второго порядка
19. Общая теория поверхностей второго порядка. I
20. Общая теория поверхностей второго порядка. II
21. Проективная плоскость
22. Кривые второго порядка на проективной плоскости
23. Начальные сведения об $n$-мерном проективном пространстве
24. Евклидово $n$-мерное пространство
25. Линейные операторы, билинейные и квадратичные функции в евклидовых пространствах. Поверхности второго порядка

1) Вот только по книге Александрова вряд ли построены стандартные, не факультативные курсы аналитической геометрии, даже на математических факультетах университетов. В частности, потому что это вряд ли можно прочитать за 1 семестр.
2) Указанные практические приложения аналитической геометрии в линейной графике также не нуждаются в таком объёмном изложении. Вообще там больше нужен отдельный курс вычислительной геометрии.

-- 07.07.2019 07:52:40 --

vpb в сообщении #1403666 писал(а):

Ну что Вы, она же даже визуально совсем не так выглядит, как книга по линейной алгебре. Это именно геометрия.

Увы, этот аргумент не очень ценится. Мне тут как лучшую на свете книжку по геометрии рекомендовали книгу без единого рисунка.

Ну и по этому критерию трудно классифицировать математические учебники. Один учебник по матану написан сухо, и визуально полон $\varepsilon\text{-}\delta,$ а другой полон рисунков и даже компьютерной графики. Аналогично, скажем, курс ОДУ.

[Padawan]

В аналитической геометрии прививается геометрический взгляд на вопросы алгебры. Квадратичные формы - кривые и поверхности второго порядка. Линейные преобразования - проективные преобразования, функционалы - плоскости. И т.д. И на примерах двумерного и многомерного пространства нарабатывается многомерная интуиция. Это очень ценно. Аналитическая геометрия всегда считалась самым лёгким предметом на первом курсе. Не понимаю, почему она вызывает такое отторжение. Ладно, матанализ, там четыре квантора в одной конструкции может встретится

Как человек, имеющий опыт преподавания, я пришел к выводу, что в своем математическом развитии человек обязательно должен пройти все этапы, которые прошла математика в своем развитии. И если греческую математику в основном проходят в школе, то на первом курсе проходят, грубо говоря, математику 16-17, в частности аналитическую геометрию. И перескочить этот этап никак нельзя. Если его не будет в программе, человек будет изучать это самостоятельно. Иначе получится на выходе человек, вычисляющий гомологии, но не могущий написать уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Я немного знаю матфак ВШЭ изнутри, и могу сказать, что программа там хорошая, и для человека, который хочет и может учиться -- огромные возможности. Можно специализироваться практически по любой области математики. Как по абстрактным, так и по более прикладным типа теории вероятностей и статистики. Вот, наверное, только по теории функций (ТФДП, ряды Фурье, дискриптивная теория множеств) не получится.
В МГУ же программа и состав кафедр более универсальны. Опять же для хорошего студента -- тоже огромные возможности. Выбирай, что хочешь, спецкурсов, спецсеминаров -- уйма. И часто студенты МГУ посещают ВШЭ и наоборот, и те и те -- посещают НМУ. Так что по сути большой разницы, где учиться нет, на мехмате или матфаке ВШЭ.

[upgrade]

Padawan в сообщении #1403679 писал(а):

Я немного знаю матфак ВШЭ изнутри, и могу сказать, что программа там хорошая, и для человека, который хочет и может учиться -- огромные возможности.

Кто хочет - может получить обучение онлайн в Стэнфорде вплоть до магистра по инженерным специальностям. Последние страницы дискусси лишь укрепили меня во мнени , что ВШЭ предназначено по большей части кого то забороть и куда то пролезть. Это - короткая цель, что будет после ее достижения неясно, видимо оставят присматривать, чтобы образование в РФ не лезло выше 300-х мест в мировых рейтингах, а то посмотри на них - вылезли в сотню, того и гляди что-нибудь в сфере электроники наваяют - не не не.

[praktik_]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1403679 писал(а):

так и по более прикладным типа теории вероятностей и статистики

Как по вашему, для прикладного курса теории вероятностей и статистики на сколько глубоко нужно захватывать математические абстракции из той же алгебры? И из анализа?
Из каких предметов по вашему мнению должен состоять данный курс?

[Munin]

Padawan в сообщении #1403679 писал(а):

Аналитическая геометрия всегда считалась самым лёгким предметом на первом курсе. Не понимаю, почему она вызывает такое отторжение.

Видимо, именно поэтому и вызывает :-)

[vpb]

Вчера я написал несколько слов о том, как аналитическая геометрия связана с задачами оптимизации, но как-то очень сумбурно. Попробуем заново. Собственно, обсуждение места аналитической геометрии в преподавании --- это лишь
подвопрос в теме про ВШЭ, а чисто математические детали, связанные с оптимизацией --- это уж вообще далеко и мелкие подробности, поэтому в общих словах.

Задачи на максимум-минимум из курса матана --- это чистая теория, а реальные задачи оптимизации невообразимо сложнее. Они решаются численными методами на компьютере. Основано это на том, что в окрестности каждой точки любая гладкая функция примерно квадратична. И вот оказывается, что для построения хорошего алгоритма, и анализа того, как он работает, надо понимать соответствующую квадратичную функцию и с алгебраической стороны, и геометрически. Причем, эти два типа понимания не взаимозаменяемы; необходимым оказывается и то, и другое.

По моему, понимание геометрии квадратичных функций (т.е. их рельефа, или многообразий уровня (гиперповерхностей)) в больших размерностях получается так. Сначала тщательно обсасывается геометрия на плоскости и в пространстве, включая то самое описание различных (их 17 штук) типов квадратичных поверхностей. Потом изучается общая линейная алгебра. А только потом эти два понимания соединяются, и возникает представление о геометрии квадратичных поверхностей в произвольной размерности. И этот третий шаг довольно быстрый, грубо говоря, просто ссылкой на аналогию с трехмерным случаем (во втором томе Кострикина это один параграф, в Ефимове-Розендорне тоже не много).

Короче. Хорошо известно, что алгебра --- это одно, а геометрия --- другое, и что геометрию алгеброй полностью не заменишь. Вот, я имел случай убедиться в этом на собственном опыте. О чем и сообщаю.

Главная, по моему, причина необходимости изучать аналитическую геометрию --- не в том, что для практических задач общая линейная алгебра --- это слишком долго и трудно, а в том, что она для них и не достаточна.

Вообще, геометрический взгляд на линейную алгебру очень полезен и даже необходим (даже когда основное поле конечно и т.д.), но для такого взгляда сначала нужно понимание собственно геометрии. Поэтому даже чистым математикам нужно изучать ангем, и это к практическим задачам не имеет отношения. Как-то так.

-- 07.07.2019, 15:39 --

Padawan
Целиком с Вами, во всяком случае в отношении первых двух абзацев (ВШЭ изнутри не знаю). В биологии есть такая закономерность: развитие эмбриона повторяет, в ускоренном виде, эволюцию вида (например, у человеческого зародыша на определенной стадии появляются жабры). Я тоже пришел к такому выводу, что в образовании (в математике, во всяком случае) примерно так же.

[Munin]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1403705 писал(а):

В биологии есть такая закономерность: развитие эмбриона повторяет, в ускоренном виде, эволюцию вида

На самом деле, в биологии оказалось, что это не так. И на сегодня это всего лишь расхожий миф.

[GOLOTOPAXPOP]

Munin в сообщении #1403642 писал(а):

Это, конечно, было бы хорошо само по себе, но напоминаю, контекст данного отдельного вопроса был: преподавание этих предметов, пардон, физикам Стоит ли само это преподавание делать столь же чистым, как вы настаиваете в этом определении?

Нет, конечно, не стоит. Но все-таки преподаватель математики преподает математику, а не другой предмет. Как применить эту математику, студент поймет уже позже, когда она ему понадобится. Конечно, преподавать надо преимущественно те аспекты предмета, которые нужны будут студенту в его специальности. Для этого существуют учебные планы.
g______d, а разве я цитировал какие-то слова Вербицкого, да ещё и 80-90 годов? Здесь действительно заходила речь о его мнении, но, во-первых, о мнении, которое он высказывал в 2012-2016 (обсуждения матфака ВШЭ), а, во-вторых, я не говорил, что полностью разделяю это мнение.
vpb, что ж, как я понял, вам очень нравится аналитическая геометрия. В таких случаях рекомендуется изучать её на здоровье, но ни в коем случае не заставлять других.

-- 07.07.2019, 18:08 --

Padawan в сообщении #1403679 писал(а):

Как человек, имеющий опыт преподавания, я пришел к выводу, что в своем математическом развитии человек обязательно должен пройти все этапы, которые прошла математика в своем развитии

На это и целой жизни не хватит. Кроме того, изучение предмета на заведомо ущербном языке с заведомо неправильной интуицией может усложнить изучение его в современном виде. Собственно, нечто похожее происходит на первых курсах математических специальностей: студент, привыкший, что пространство - это нечто конкретное, пытается себе представить в голове всякие Банаховы пространства, не понимая, что представлять ничего, как вы школьной геометрии, не нужно.

[Padawan]

(Оффтоп)

GOLOTOPAXPOP
Можете написать уравнение окружности, проходящей через три заданные точки $(x_i,y_i)$, $i=1,\ldots,3$ ? Только никуда не подглядывая.

-- Вс июл 07, 2019 20:00:18 --

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403714 писал(а):

В таких случаях рекомендуется изучать её на здоровье, но ни в коем случае не заставлять других.

Ну то же самое можно и Вам адресовать. А то, навязываете тут теории Галуа всякие.

[Munin]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403714 писал(а):

Как применить эту математику, студент поймет уже позже, когда она ему понадобится.

В случае с физикой - обычно раньше. Потому что физике повсеместно требуются разделы математики с большим опережением, а математики не телепаются их давать, поскольку преувеличивают тщательность и строгость, которые нужны их слушателям. Приходится сначала "объяснять на пальцах" матаппарат прямо на физике, потом им долго на практике пользоваться (от семестра до нескольких лет), а потом уже приходят математики, и "наводят строгость", когда поезд давно ушёл. Воспринимается это не очень радушно.

----------------

К слову о линейной алгебре и аналитической геометрии.
GOLOTOPAXPOP
А вы не боитесь, что формальное исключение аналитической геометрии из учебного плана приведёт к тому, что в курсе линейной алгебры так и не возникнет ни примеров малой размерности, ни упражнений на геометрическую интерпретацию и интуицию?

В конце концов, преподавателю часто даётся изрядная индивидуальная свобода в формировании курса.

----------------

Об "исторической последовательности в преподавании", за которую здесь высказались vpb и Padawan.

Я некоторое время назад заинтересовался историей математики, хотя бы даже в рамках хорошего многотомника Колмогорова, Юшкевича. И обнаружил, что реальная последовательность исторических инноваций в математике не имеет ничего общего с "преподаванием в исторической последовательности". Чаще всего картина такова: математику открывали всю сразу, а не последовательно. Примеры, которые мы сегодня относим к продвинутым разделам, впервые были рассмотрены где-нибудь в 17 веке (или до н.э.), а только потом нашли свой контекст и систематическую разработанную теорию - когда примеров набиралась "критическая масса".

Конкретный пример в тему данного разговора: линейная алгебра была разработана в чисто алгебраическом (и $n$-мерном) виде намного раньше, чем аналитическая геометрия (в современном понимании этого названия). Хотя и то и другое относится к 19 веку, заходя в 20-й.

Так что, чем больше человек приверженец "исторической последовательности в изложении", тем, как мне кажется, больше шансов, что он ориентируется не на реальную историю предмета, а на некоторые слухи, мифы, и прежде услышанные изложения, воспринимаемые им довольно некритически.

[GOLOTOPAXPOP]

Padawan, я не помню. Кроме того, мне это совершенно неинтересно. Кроме того, не считаю такой уж ужасной ситуацию (кроме её нереалистичности), когда

Padawan в сообщении #1403679 писал(а):

Иначе получится на выходе человек, вычисляющий гомологии, но не могущий написать уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Хуже, когда наоборот - человек потратил сотни часов на все эти разнообразные аналитические геометрии, на хитроумные интегралы из Демидовича, на различные олимпиадные задания - а к современной математике так и не приблизился.

[g______d]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403714 писал(а):

а разве я цитировал какие-то слова Вербицкого, да ещё и 80-90 годов? Здесь действительно заходила речь о его мнении, но, во-первых, о мнении, которое он высказывал в 2012-2016 (обсуждения матфака ВШЭ), а, во-вторых, я не говорил, что полностью разделяю это мнение.

Ну ладно, я имел в виду следующую фразу

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403226 писал(а):

Кроме того, под "коммутативной алгеброй" и "стабильной теорией гомотопий" подразумевается любой современный предмет, на материале которого строятся современные области исследований - метрическая геометрия, теория меры, теория категорий, гомологическая алгебра, модельные категории, псевдодифференциальные операторы, симплектическая геометрия - множество их.

Мне казалось, что МВ высказывался почти ровно в таких же выражениях. Не то что бы это неверно, просто набор примеров немного странный, и по-моему восходит ещё к его тексту "математическая программа должна быть устроена так".

[Padawan]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403721 писал(а):

Хуже, когда наоборот - человек потратил сотни часов на все эти разнообразные аналитические геометрии, на хитроумные интегралы из Демидовича, на различные олимпиадные задания - а к современной математике так и не приблизился.

Приблизиться, чтобы рядом постоять?
Также можно сказать хитроумные производные, хитроумные тригонометрические тождества, хитроумная таблица умножения... Понимаете, есть некоторый набор навыков, который просто необходимо освоить. Это как мускулы. Они у каждого есть, но мы их не замечаем, это нечто подсознательное. И вот на первом курсе эти навыки набираются. Да, надо посчитать сколько-то пределов, сколько-то производных, сколько-то интегралов, составить сколько-то уравнений прямых, плоскостей, окружностей, парабол, решить сколько то СЛАУ, найти сколько-то обратных матриц. Это все делают на первом, частично на втором курсе. Потом уже в основном занимаются более абстрактными вещами. А Вы хотите сразу штангу дать дистрофику.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403721 писал(а):

Padawan, я не помню

Через определитель записывается элементарно. Не надо ничего запоминать.

[nnosipov]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1403721 писал(а):

кроме её нереалистичности

Но Вы только что явили собой пример реальности такой ситуации (надеюсь, с гомологиями у Вас все в порядке).

-- Вс июл 07, 2019 23:30:07 --

Padawan в сообщении #1403727 писал(а):

А Вы хотите сразу штангу дать дистрофику.

Ну, поступают к ним, наверное, все-таки не дистрофики. Другое дело, что процент "шлака" на выходе сильно зашкаливают. И знают ли на входе эти вполне приличные молодые люди, что с большой вероятностью им уготована роль "шлака"? А кроме гомологий, они ничего другого делать не умеют.