Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1402589 писал(а):

Нет, граница множества определяется не так, как написал Юстас.

Почему не так? Граница произвольного множества $A$ - это $\rm{Cl}\ A\setminus \rm{Int}\ A$. Поскольку в данном случае по условию $A$ открыто, то и получается $\rm{Cl}\ A\setminus A$.

[Someone]

ewert в сообщении #1402620 писал(а):

Ну вообще-то ровно так, поскольку $A$ открыто.

Anton_Peplov в сообщении #1402728 писал(а):

Почему не так? Граница произвольного множества $A$ - это $\rm{Cl}\ A\setminus \rm{Int}\ A$. Поскольку в данном случае по условию $A$ открыто

Моё замечание относится к формуле

Юстас в сообщении #44972 писал(а):

$cl A - A$

И нигде не написано, что множество $A$ открытое. Непосредственно перед этим упоминается

Capella в сообщении #44948 писал(а):

Использую теперь сл определение нулевого множества A

Нулевое множество, очевидно, не может быть открытым. Правильная формула для границы произвольного множества такая (Вы её, конечно, знаете, поэтому это скорее для Neprofessional): $Fr A=Cl A\setminus Int A$.

Neprofessional в сообщении #1402681 писал(а):

Пример с выбрасыванием одной десятой отрезка, думаю, как раз и есть решение задачи.

Нет, к сожалению.
Если Вы на каждом шаге выбрасываете $m$-ую часть оставшихся отрезков, то после $n$ шагов суммарная длина оставшихся отрезков равна $\left(1-\frac 1m\right)^n$, а суммарная длина выброшенных отрезков будет равна $1-\left(1-\frac 1m\right)^n$. Легко вычислить предел этого выражения при $n\to\infty$ и убедиться, что он равен $1$.
Я не знаю, что там написано у Кудрявцева. Возможно, Вы его неправильно поняли.

Чтобы получить то, что требуется, нужно выбрасывать не $m$-ую часть оставшихся отрезков, а в $m$ раз меньшие отрезки, чем на предыдущем шаге, причём, должно быть $m>3$. Тогда сумма длин выброшенных отрезков будет равна

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{m^n}.$$

Мне кажется, что у Кудрявцева что-нибудь в этом роде и написано.

P.S. Пока я писал это сообщение, появилось следующее сообщение ewert, и я решил своё сообщение не отправлять, только сохранил в черновиках. Но появилась уже вторая претензия по поводу моего замечания. Замечание моё касалось только формулы, а в суть предложения Юстас я не вникал, ограничившись тем, как Neprofessional пытался это использовать. Теперь я это сообщение дополнил и отправил.

[Neprofessional]

Прошу прощения, я всех невольно ввел в заблуждение с описанием кудрявцевского примера. Голова просто уже трещит от этой задачи, извините. Там на самом деле не одна десятая от отрезка выбрасывается, а из отрезка [0,1] выбрасывается интервал длины 1/10, затем из каждого из получившихся двух отрезков по интервалу длины 1/100, затем из четырех отрезков по 1/1000 и т.д. В одном из сообщений ewert, собственно говоря, и предрекал такое построение. Оно и есть решение задачи.
Очень жаль, что я навел столько путаницы в этой теме. Так сказать, полностью оправдал свой ник.
Спасибо всем большое за подсказки, особенно ewert!

[ewert]

Ну только почему надо эм именно возводить в квадрат. Достаточно просто существенно уменьшить. Я бы лично просто делил соотношение на каждом шаге дополнительно на два. Исходя из сугубо эстетических соображений.

-- Вт июл 02, 2019 22:31:16 --

Neprofessional в сообщении #1402743 писал(а):

Голова просто уже трещит от этой задачи, извините.

А я всё-таки рекомендую Вам вникнуть в стартовые посты -- тринадцатипримернолетней давности. Они гораздо идейнее в том, что касается именно этой задачки. Кантор, конечно, тоже идеен, но уже не в приложении к задачке, а сам по себе.

[Neprofessional]

ewert в сообщении #1402750 писал(а):

А я всё-таки рекомендую Вам вникнуть в стартовые посты -- тринадцатипримернолетней давности. Они гораздо идейнее в том, что касается именно этой задачки. Кантор, конечно, тоже идеен, но уже не в приложении к задачке, а сам по себе.

Вы имеете в виду посты Capella и Юстас?
В пост Capella я просто не смог вникнуть, потому что он в первой же формуле определяет отрезки нулевой длины и дальше с ними оперирует. Видимо, опечатка в формулах. А через опечатки мне не продраться в этих вопросах.
А Юстас не написал самого главного: как же выбрать размеры предлагаемых им окрестностей. Поэтому его решение мне тоже непонятно.
Если вы намекнете, что к чему в их постах, буду очень благодарен.

[ewert]

Neprofessional в сообщении #1402760 писал(а):

А Юстас не написал самого главного: как же выбрать размеры предлагаемых им окрестностей.

А Вы сами угадайте. Подсказка: они (размеры) просто должны достаточно быстро стремиться к нулю. Например, как геометрическая прогрессия; но это не важно -- мы ведь сами вольны в их выборе. Просто достаточно быстро.

[Neprofessional]

ewert в сообщении #1402771 писал(а):

Neprofessional в сообщении #1402760 писал(а):

А Юстас не написал самого главного: как же выбрать размеры предлагаемых им окрестностей.

А Вы сами угадайте. Подсказка: они (размеры) просто должны достаточно быстро стремиться к нулю. Например, как геометрическая прогрессия; но это не важно -- мы ведь сами вольны в их выборе. Просто достаточно быстро.

М-мм, дайте подумать до завтра... В свете уже найденного решения это будет легче.
А насчет формул Capella что скажете?

[ewert]

Neprofessional в сообщении #1402775 писал(а):

А насчет формул Capella что скажете?

А ничего не скажу -- они просто не нужны. Как и формулы Someone (хоть и в меньшей степени). Потому что тут дело вовсе не в формулах, а в идее.

Вот Юстас -- он да, идейно высказался.

[Neprofessional]

Что ж, постараюсь завтра дать ответ. Но пока что мне кажется, что все эти окрестности будут друг друга перекрывать и в итоге образуют один интервал, покрывающий отрезок [0,1].

[ewert]

Neprofessional в сообщении #1402779 писал(а):

Но пока что мне кажется, что все эти окрестности будут друг друга перекрывать и в итоге образуют один интервал, покрывающий отрезок [0,1].

На сон грядущий робко замечу, что весь отрезок они перекрыть никак не смогут -- суммарная их длина шибко мала.

[Neprofessional]

Ну, вот какие рассуждения породил мой слабый мозг: множество рациональных чисел, принадлежащих отрезку [0,1] счетно, поэтому каждое из этих чисел можно покрыть интервалом из некоторой счетной системы интервалов. Эту систему можно выбрать так, чтобы длины интервалов стремились к нулю при стремлении номера к бесконечности, а сумма длин А была бы меньше единицы. Для этого, например, можно взять интервалы с длинами, образующими убывающую геометрическую прогрессию.
Поскольку А<1, на отрезке [0,1] неизбежно останутся точки, не покрытые ни одним интервалом. Эти точки будут иррациональными, т.к. все рациональные у нас покрыты.
В любой окрестности такой не принадлежащей нашей системе интервалов точки найдутся рациональные точки, а следовательно, точки, принадлежащие системе интервалов. Значит, согласно определению граничной точки, все непокрытые точки отрезка будут граничными для системы интервалов.
Следующее утверждение пока не знаю, как обосновать, но, видимо, оно правильное: мера Лебега непокрытых точек отрезка будет больше, чем 1-А, а значит, больше нуля.
Таким образом, наша система интервалов, являясь открытым множеством, и будет решением задачи.

[ewert]

В принципе всё верно, а сомнение Ваше вызвано, видимо, вот чем:

Neprofessional в сообщении #1402848 писал(а):

а сумма длин А была бы меньше единицы.

А что можно сказать про меру построенного открытого множества -- и почему?

[Neprofessional]

ewert в сообщении #1402914 писал(а):

А что можно сказать про меру построенного открытого множества -- и почему?

Если вы имеете в виду меру Жордана, то думаю, что на этот раз сразу отвечу правильно: множество будет неизмеримым, потому что будут не равны внутренняя мера (равна А) и внешняя мера (равна единице).
С мерой Лебега я пока толком не знаком (знаю только определение множества нулевой лебеговой меры на числовой прямой), но подозреваю, что она у построенного множества будет равна А.

Решение Юстаса действительно очень идейное. Разрушает понятия, подсказываемые "бытовой" интуицией. Нужно время, чтобы оно улеглось в моей голове.
Еще я понял, что когда изучаешь математику как я, герметично - без общения с преподавателями, по книгам - то легко впасть в заблуждения, о которых не будешь даже подозревать. Ваши и уважаемого Someone подсказки мне помогли от кое-каких заблуждений избавиться.

[ewert]

Neprofessional в сообщении #1403016 писал(а):

Если вы имеете в виду меру Жордана, то думаю, что на этот раз сразу отвечу правильно: множество будет неизмеримым, потому что будут не равны внутренняя мера (равна А) и внешняя мера (равна единице).

Первое неверно. Второе верно, но Вы, к сожалению, не знаете, почему.

Сосредоточьтесь вот на чём. Пока что не важно, что там за мера -- Жордана или Лебега. Пока что важен гораздо более грубый вопрос: что можно сказать про меру объединения множеств?... (в предположении, что она имеет смысл, а имеет ли -- вопрос отдельный)

[Neprofessional]

Виноват, вчера второпях не вспомнил, что интервалы-то в нашей системе будут пересекаться. Поэтому внутренняя мера их множества будет меньше А. Но по-прежнему ненулевой, т.к., например первый интервал системы ненулевой. Теперь верно?
Насчет верхней меры - я думаю, что все-таки знаю, почему она будет больше единицы (а не ровно единица, как я вчера написал, ведь, например, интервалы, покрывающие точки 0 и 1 будут выходить за пределы отрезка [0,1]). Потому, что любой отрезок любого ранга разбиения числовой прямой, принадлежащий отрезку [0,1] будет содержать в себе точки нашего множества.
Попробую ответить на ваш последний вопрос, но смогу не полностью. Буду, с вашего позволения, говорить именно о мере Жордана, поскольку с другими пока не знаком. Для объединения конечного числа измеримых множеств все ясно: мера объединения меньше или равна сумме мер множеств.
Если объединять конечное число неизмеримых множеств, то может получиться и измеримое. Пример: рациональные и иррациональные точки отрезка.
Для объединения счетного количества измеримых множеств мера его может и не существовать. Если же существует, то я пока не знаю, обязательно ли она будет меньше или равна сумме мер множеств. Мне нужно подумать. В учебнике Кудрявцева, по которому я учусь, рассматривается в этом смысле только мера конечного объединения. Вот и все пока мои познания по этому вопросу.

P.S. Сейчас перечитал ваше сообщение и увидел, что, может быть, я неправильно понял, к чему относятся фразы "первое неверно" и "второе верно". Поясните, пожалуйста.