Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль

[Neprofessional]

Снова я поторопился с выводами. Интервалы, конечно, можно выбрать так, чтобы они не пересекались. Пора менять ник на "Торопыга".

[Neprofessional]

Почитал о мере кое-что сверх учебника и, кажется, выяснил, как надо решать задачу о мере множества Юстаса, если интервалы не пересекаются.
С мерой Лебега все просто. Эта мера счетно-аддитивная, поэтому лебегова мера множества наших непересекающихся интервалов равна сумме их мер, то есть А < 1. Мера же Жордана всего лишь конечно-аддитивная, поэтому с ней так действовать нельзя. Подойдем к вопросу с другой стороны: посмотрим на жорданову меру границы множества интервалов. Если бы она была равна нулю, то, как известно, и лебегова ее мера была бы нулевой. Но лебегова мера границы равна В – А > 0, где В > 1 есть разность верхней и нижней точных граней множества интервалов. Значит, жорданова мера границы тоже не равна нулю. Отсюда следует, что наше ограниченное множество интервалов неизмеримо по Жордану.
Уважаемый ewert, покритикуйте решение. Если вы еще не окончательно сражены скромностью моих познаний.
«Ибо, истинно велик не тот знающий, который отворачивается от незнающего за незнание его. Но тот, который научает незнающего, желающего познания». Это подлинные слова древнего украино-индийского философа Брахмапутрен-Гкхо, дошедшие до нас в рунических списках.

[ewert]

Neprofessional в сообщении #1404189 писал(а):

как надо решать задачу о мере множества Юстаса, если интервалы не пересекаются.

Сперва надо доказать, что такие интервалы выбрать можно (это можно сделать как минимум двумя способами, один из которых обобщается и на многомерный случай). До тех же пор просто складывать длины нельзя. Впрочем, и не нужно.

Neprofessional в сообщении #1404189 писал(а):

Значит, жорданова мера границы тоже не равна нулю. Отсюда следует, что наше ограниченное множество интервалов неизмеримо по Жордану.

В принципе да, но пропущено одно утверждение.

[Neprofessional]

Спасибо! Оставлю на этом решение задачи и вернусь к штудированию учебника, ибо должен же я когда-нибудь остановиться в раздувании темы.

[Neprofessional]

(Оффтоп)

На прощание не могу не поделиться с участниками форума некоторыми интересными фактами из математической деятельности цитированного мной выше древнего философа Брахмапутрен-Гкхо. Ведь, как многие философы древности, он занимался и математикой. Например, мало кто знает, что Брахмапутрен-Гкхо предложил решение знаменитой задачи о квадратуре круга, одобренное всеми учеными древности из числа тех, которые имели возможность общаться с автором лично. Ныне это решение утеряно, но до нас дошел о нем интереснейший для истории математики факт: оно было двухсоставным, с одной из частей очень необычной. Первая часть состояла из типичной для того времени записи решения на папирусном свитке. Решение это, однако, оказалось для современников сначала столь запутанным и непонятным, что гениальный автор был вынужден создать вторую его часть - особый, специально изобретенный им напиток (sic!), которому он дал название «гкхорил-гкхо». Это название изобретатель произвел от слова «гкхорил», что означает «пламенеющий», и санскритического суффикса «гкхо», которым Брахмапутрен-Гкхо увековечил в названии напитка вторую часть своего имени. Некоторые знатоки санскрита утверждают, что суффикс при переходе из личного имени в название должен меняться, и правильнее писать «гкхорил-гкха». Оставим этот спор лингвистам.
Прием после захода солнца определенного количества гкхорил-гкхо приводил к тому, что решение, записанное в свитке, довольно быстро становилось для принявшего кристально ясным, что сопровождалось эйфорией и, у некоторых, даже чувством всемогущества. Однако, продолжалась эта ясность только до утра, когда действие напитка начинало менять свой характер, и тогда решение снова становилось непонятным. В тщетной надежде сделать решение навсегда для себя ясным весьма многие математики снова и снова принимали гкхорил-гкхо. Было это прямым научным подвигом, ибо ученые знали, что напиток обладал губительным побочным действием. Возможно, именно оно и стало причиной последующей утери решения – попросту, не осталось никого, кто мог бы решение сохранить.
К сожалению, специалистам по истории математики имя Брахмапутрен-Гкхо, по-видимому, совершенно неизвестно. Будем надеяться, что этот краткий очерк поможет заполнить досадный пробел в упомянутой области.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Neprofessional
Вот еще одно подтверждение, что математиком нельзя стать. Им можно только родиться. Ведь, как Вы тут красочно описали, никакие попытки навеять обывателю сон золотой основы матлогики, так и не увенчались успехом. Причина тут действительно фундаментальна: Настоящего математика и так прет. Наяву. Безо всякого компота! (с)