Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль

[Хет Зиф]

Попробуйте построить пример открытого на числовой оси множества, граница которого не являтся множеством лебеговой меры нуль.

[Capella]

Ну попробую...

Определеяю так для начала:

$$I_k = [a_k + \frac 1 2 , a_k + \frac 1 2]$$

Теперь определяю меру как

$$\mu(I_k) = \frac {\epsilon} {2n}$$

Отсюда получаю вот такое неравенство:

$$\sum\limits_{k=1}^{n} \mu(I_k) \leqslant \sum\limits_{k=1}^n \frac {\epsilon} {2n} = \frac {n \cdot \epsilon} {2 \cdot n} = \frac{\epsilon} 2 < \epsilon$$

Использую теперь сл определение нулевого множества A:

$$ A \subset \mathbb{R} \to \sum\limits_{k=1}^{\infty} \mu(I_k) < \epsilon$$

.
Поэтому далее беру просто внутреность

$$I_k$$

например

$$I_k = [a_k + \frac 1 n , a_k + \frac 1 n], n \in \mathbb{N}\backslash 2$$

НУ вот так наверное

[Юстас]

Под границей Вы понимаете $cl A - A$? Тогда пример построить просто: занумеруйте все рациональные точки на [0,1] и возьмите у каждой окрестность радиуса $\varepsilon_k$, выбранного подходящим образом. Объедините все такие окрестности, получите то что нужно.
P.S. Надеюсь, я не решаю за Вас домашнее задание.

[Хет Зиф]

Юстас писал(а):

Под границей Вы понимаете $cl A - A$? Тогда пример построить просто: занумеруйте все рациональные точки на [0,1] и возьмите у каждой окрестность радиуса $\varepsilon_k$, выбранного подходящим образом. Объедините все такие окрестности, получите то что нужно.
P.S. Надеюсь, я не решаю за Вас домашнее задание.

Нет,нет, я знал правильный ответ, точно как вы дали, имеено с рациональными точками,
правда там стоит сказать еще немного о величине окрестности.

[Neprofessional]

Бьюсь над этой задачей уже третий день.
Если делать по Юстасу, то не будет ли граница не более, чем счетным множеством точек? Ведь у каждого интервала две граничные точки, значит, у счетного множества интервалов граница будет не более чем счетным множеством точек. А значит, будет иметь лебегову меру ноль?

[Someone]

Neprofessional в сообщении #1402533 писал(а):

Если делать по Юстасу

Нет, граница множества определяется не так, как написал Юстас. Поэтому так делать не надо.
По правилам форума, Вы должны изложить собственные попытки решения. Правила записи формул изложены в темах http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html.

[ewert]

Neprofessional в сообщении #1402533 писал(а):

Ведь у каждого интервала две граничные точки, значит, у счетного множества интервалов граница будет не более чем счетным множеством точек.

Не значит, т.к. граница объединения не есть объединение границ. Она шире, вообще говоря, т.к. граничные точки могут дополнительно сгущаться.

Естественный контрпример -- канторово множество. А если его ещё и раздуть до ненулевой меры, то получится решение исходной задачки.

-- Вт июл 02, 2019 09:50:14 --

Someone в сообщении #1402589 писал(а):

Нет, граница множества определяется не так, как написал Юстас.

Ну вообще-то ровно так, поскольку $A$ открыто.

[Neprofessional]

Someone в сообщении #1402589 писал(а):

По правилам форума, Вы должны изложить собственные попытки решения.

Моя попытка решения такова: по известной теореме, любое открытое множество на числовой прямой есть счетное объединение интервалов (см., например книгу Ященко И.В. "Парадоксы теории множеств". Нужная цитата выскочит первой в поиске Гугла по словам формулировки теоремы).
Рассмотрим сначала ограниченные открытые множества.
Пусть некоторое ограниченное открытое множество состоит из одного (очевидно, конечного) интервала. Тогда его граница есть пара точек. Пусть некоторое ограниченное открытое множество состоит из двух (очевидно, конечных) интервалов. Тогда его граница - точки в количестве не более четырех.
Пусть теперь некоторое ограниченное открытое множество состоит из n (очевидно, конечных) интервалов. Тогда его граница состоит из не более, чем 2n точек. Устремив n к бесконечности, получим, что для ограниченного открытого множества, состоящего из счетного числа конечных интервалов (т.е., для л ю б о г о ограниченного открытого множества, согласно теореме) граница состоит из не более, чем счетного множества точек. А лебегова мера такой границы равна нулю.
Итак, ограниченное множество не может быть решением задачи.
Рассмотрим тогда бесконечное открытое множество - например, всю числовую прямую. Она является открытым множеством, при этом ее границу (две бесконечно удаленные точки) нельзя покрыть интервалами с произвольно малой суммой длин. Значит, вся числовая прямая является искомым примером.

[ewert]

Neprofessional в сообщении #1402635 писал(а):

Устремив n к бесконечности,

Низзя. То, что верно для конечного объединения -- необязательно верно для бесконечного. Оно и неверно.

Neprofessional в сообщении #1402635 писал(а):

при этом ее границу (две бесконечно удаленные точки)

Это не есть её граница.

[Neprofessional]

ewert в сообщении #1402636 писал(а):

Neprofessional в сообщении #1402635 писал(а):

Устремив n к бесконечности,

Низзя. То, что верно для конечного объединения -- необязательно верно для бесконечного. Оно и неверно.

Хорошо. Согласен.
Получается, что если взять, например, канторово множество в том виде, в котором оно описано в Википедии, то любая "пылинка" этой "канторовой пыли" состоит из н е с ч е т н о г о множества точек, из которых к а ж д а я будет граничной для дополнения этого канторова множества до отрезка [0,1]? Ведь, поскольку "пылинка" бесконечно мала, в любой окрестности любой точки А "пылинки" найдется как точка, не принадлежащая дополнению (сама точка А), так и принадлежащая ему, а это и есть определение граничной точки?
Верно ли это?

[ewert]

Neprofessional в сообщении #1402653 писал(а):

Ведь, поскольку "пылинка" бесконечно мала

Пылинка (даже в кавычках) не может быть бесконечно малой, это бессмысленно.

Канторово множество как таковое тоже не имеет отношения к задаче. Просто оно наиболее на слуху и в этом смысле наиболее наглядно. Во всяком случае, оно демонстрирует, что дополнение к открытому множеству может оказаться весьма экзотичным.

Смысл же всех предыдущих (сколькототамлетних) сообщений весьма прост. Множество рациональных чисел, будучи счётным, может быть покрыто открытым множеством сколь угодно малой меры. Т.е. дополнение к этому множеству может оказаться и ненулевым по мере (не говоря уж о том, что сколь угодно близким к длине объемлющего промежутка). И при этом дополнение совпадёт с границей -- просто потому, что любую вообще точку можно сколь угодно точно приблизить точками рациональными (и, следовательно, точками исходного открытого множества)

[Neprofessional]

Да, "пылинка" - это, конечно, недопустимая вольность.
Канторово множество можно строить, выбрасывая из соответствующих отрезков не треть, а, например, десятую часть (см. Пример 2, параграф 7, том III задачника Кудрявцева). У такого множества внутренняя мера Жордана равна 7/8. Значит, и лебегова мера ненулевая.
Вы это имели в виду под словами "раздуть канторово множество до ненулевой меры"?

[ewert]

Neprofessional в сообщении #1402666 писал(а):

выбрасывая из соответствующих отрезков не треть, а, например, десятую часть

Нет, это само по себе не поможет -- в сумме всё равно получится единичка (кажется). Ведь оставляемые промежутки тоже удлинняются.

Но зато можно брать на каждом шаге всё меньшую и меньшую долю. И это уже даст эффект.

Neprofessional в сообщении #1402666 писал(а):

Вы это имели в виду под словами "раздуть канторово множество до ненулевой меры"?

Да, примерно это. Но, ещё раз: тов. Кантор тут не при чём, он лишь для наглядности.

(Оффтоп)

(хотел написать "ни при чём", как положено; да чего-то расхотелось)

[Neprofessional]

Спасибо за помощь!
Пример с выбрасыванием одной десятой отрезка, думаю, как раз и есть решение задачи. Кудрявцев в этом примере подробно показывает, что внутренняя мера Жордана множества всех выброшенных интервалов равна 1/8. Значит, как я понимаю, внутренняя мера Жордана множества всех оставшихся отрезков равна 7/8. Следовательно, и лебегова мера множества этих отрезков ненулевая, что и требовалось в условии задачи.
А Кантора я все же из этой задачи выбрасывать не стал бы . Сам Кудрявцев в разборе этого примера пишет: "Укажем такое множество ... , следуя идее Г. Кантора".
Еще раз спасибо за наставление на путь истинный!

[ewert]

Я не знаю, что там у Кудрявцева (а заглядывать в него лень). Но дело вот в чём.

Для чего, собственно, у Кантора была одна треть?... -- только для того, чтобы оставшиеся точки образовывали бесконечные троичные дроби и, соответственно, их множество оказалось бы заведомо несчётным. Только ради этого игра и затевалась.

А теперь давайте удалять по одной десятой. Сперва одну десятую посередине. Потом по одной десятой в середине каждого из двух оставшихся отрезков. Потом -- по одной десятой из оставшихся четырёх. И т.д.

И что выйдет? Суммарная длина остающихся отрезков будет на каждом шагу умножаться на девять десятых. Т.е. всё равно будет стремиться к нулю. Так что так дёшево не выкрутиться -- если мы хотим получить дополнение ненулевой меры. Придётся чуть попыхтеть.

-- Вт июл 02, 2019 16:12:11 --

Да, кстати, раз уж Вы упражняетесь в терминологии:

Neprofessional в сообщении #1402681 писал(а):

внутренняя мера Жордана множества всех оставшихся отрезков равна 7/8

Мера именно внутренняя и именно Жордана будет равна нулю в любом случае, сколько ни выкидывай (на этот раз уж точно "ни").