2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8076
Someone в сообщении #1402589 писал(а):
Нет, граница множества определяется не так, как написал Юстас.
Почему не так? Граница произвольного множества $A$ - это $\rm{Cl}\ A\setminus \rm{Int}\ A$. Поскольку в данном случае по условию $A$ открыто, то и получается $\rm{Cl}\ A\setminus A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
ewert в сообщении #1402620 писал(а):
Ну вообще-то ровно так, поскольку $A$ открыто.
Anton_Peplov в сообщении #1402728 писал(а):
Почему не так? Граница произвольного множества $A$ - это $\rm{Cl}\ A\setminus \rm{Int}\ A$. Поскольку в данном случае по условию $A$ открыто
Моё замечание относится к формуле
Юстас в сообщении #44972 писал(а):
$cl A - A$
И нигде не написано, что множество $A$ открытое. Непосредственно перед этим упоминается
Capella в сообщении #44948 писал(а):
Использую теперь сл определение нулевого множества A
Нулевое множество, очевидно, не может быть открытым. Правильная формула для границы произвольного множества такая (Вы её, конечно, знаете, поэтому это скорее для Neprofessional): $Fr A=Cl A\setminus Int A$.

Neprofessional в сообщении #1402681 писал(а):
Пример с выбрасыванием одной десятой отрезка, думаю, как раз и есть решение задачи.
Нет, к сожалению.
Если Вы на каждом шаге выбрасываете $m$-ую часть оставшихся отрезков, то после $n$ шагов суммарная длина оставшихся отрезков равна $\left(1-\frac 1m\right)^n$, а суммарная длина выброшенных отрезков будет равна $1-\left(1-\frac 1m\right)^n$. Легко вычислить предел этого выражения при $n\to\infty$ и убедиться, что он равен $1$.
Я не знаю, что там написано у Кудрявцева. Возможно, Вы его неправильно поняли.

Чтобы получить то, что требуется, нужно выбрасывать не $m$-ую часть оставшихся отрезков, а в $m$ раз меньшие отрезки, чем на предыдущем шаге, причём, должно быть $m>3$. Тогда сумма длин выброшенных отрезков будет равна $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{m^n}.$$ Мне кажется, что у Кудрявцева что-нибудь в этом роде и написано.

P.S. Пока я писал это сообщение, появилось следующее сообщение ewert, и я решил своё сообщение не отправлять, только сохранил в черновиках. Но появилась уже вторая претензия по поводу моего замечания. Замечание моё касалось только формулы, а в суть предложения Юстас я не вникал, ограничившись тем, как Neprofessional пытался это использовать. Теперь я это сообщение дополнил и отправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 21:11 


01/07/19
30
Прошу прощения, я всех невольно ввел в заблуждение с описанием кудрявцевского примера. Голова просто уже трещит от этой задачи, извините. Там на самом деле не одна десятая от отрезка выбрасывается, а из отрезка [0,1] выбрасывается интервал длины 1/10, затем из каждого из получившихся двух отрезков по интервалу длины 1/100, затем из четырех отрезков по 1/1000 и т.д. В одном из сообщений ewert, собственно говоря, и предрекал такое построение. Оно и есть решение задачи.
Очень жаль, что я навел столько путаницы в этой теме. Так сказать, полностью оправдал свой ник.
Спасибо всем большое за подсказки, особенно ewert!

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 21:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну только почему надо эм именно возводить в квадрат. Достаточно просто существенно уменьшить. Я бы лично просто делил соотношение на каждом шаге дополнительно на два. Исходя из сугубо эстетических соображений.

-- Вт июл 02, 2019 22:31:16 --

Neprofessional в сообщении #1402743 писал(а):
Голова просто уже трещит от этой задачи, извините.

А я всё-таки рекомендую Вам вникнуть в стартовые посты -- тринадцатипримернолетней давности. Они гораздо идейнее в том, что касается именно этой задачки. Кантор, конечно, тоже идеен, но уже не в приложении к задачке, а сам по себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 21:44 


01/07/19
30
ewert в сообщении #1402750 писал(а):
А я всё-таки рекомендую Вам вникнуть в стартовые посты -- тринадцатипримернолетней давности. Они гораздо идейнее в том, что касается именно этой задачки. Кантор, конечно, тоже идеен, но уже не в приложении к задачке, а сам по себе.

Вы имеете в виду посты Capella и Юстас?
В пост Capella я просто не смог вникнуть, потому что он в первой же формуле определяет отрезки нулевой длины и дальше с ними оперирует. Видимо, опечатка в формулах. А через опечатки мне не продраться в этих вопросах.
А Юстас не написал самого главного: как же выбрать размеры предлагаемых им окрестностей. Поэтому его решение мне тоже непонятно.
Если вы намекнете, что к чему в их постах, буду очень благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 21:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Neprofessional в сообщении #1402760 писал(а):
А Юстас не написал самого главного: как же выбрать размеры предлагаемых им окрестностей.

А Вы сами угадайте. Подсказка: они (размеры) просто должны достаточно быстро стремиться к нулю. Например, как геометрическая прогрессия; но это не важно -- мы ведь сами вольны в их выборе. Просто достаточно быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 22:01 


01/07/19
30
ewert в сообщении #1402771 писал(а):
Neprofessional в сообщении #1402760 писал(а):
А Юстас не написал самого главного: как же выбрать размеры предлагаемых им окрестностей.

А Вы сами угадайте. Подсказка: они (размеры) просто должны достаточно быстро стремиться к нулю. Например, как геометрическая прогрессия; но это не важно -- мы ведь сами вольны в их выборе. Просто достаточно быстро.

М-мм, дайте подумать до завтра... В свете уже найденного решения это будет легче.
А насчет формул Capella что скажете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 22:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Neprofessional в сообщении #1402775 писал(а):
А насчет формул Capella что скажете?

А ничего не скажу -- они просто не нужны. Как и формулы Someone (хоть и в меньшей степени). Потому что тут дело вовсе не в формулах, а в идее.

Вот Юстас -- он да, идейно высказался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 22:12 


01/07/19
30
Что ж, постараюсь завтра дать ответ. Но пока что мне кажется, что все эти окрестности будут друг друга перекрывать и в итоге образуют один интервал, покрывающий отрезок [0,1].

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение02.07.2019, 22:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Neprofessional в сообщении #1402779 писал(а):
Но пока что мне кажется, что все эти окрестности будут друг друга перекрывать и в итоге образуют один интервал, покрывающий отрезок [0,1].

На сон грядущий робко замечу, что весь отрезок они перекрыть никак не смогут -- суммарная их длина шибко мала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение03.07.2019, 09:23 


01/07/19
30
Ну, вот какие рассуждения породил мой слабый мозг: множество рациональных чисел, принадлежащих отрезку [0,1] счетно, поэтому каждое из этих чисел можно покрыть интервалом из некоторой счетной системы интервалов. Эту систему можно выбрать так, чтобы длины интервалов стремились к нулю при стремлении номера к бесконечности, а сумма длин А была бы меньше единицы. Для этого, например, можно взять интервалы с длинами, образующими убывающую геометрическую прогрессию.
Поскольку А<1, на отрезке [0,1] неизбежно останутся точки, не покрытые ни одним интервалом. Эти точки будут иррациональными, т.к. все рациональные у нас покрыты.
В любой окрестности такой не принадлежащей нашей системе интервалов точки найдутся рациональные точки, а следовательно, точки, принадлежащие системе интервалов. Значит, согласно определению граничной точки, все непокрытые точки отрезка будут граничными для системы интервалов.
Следующее утверждение пока не знаю, как обосновать, но, видимо, оно правильное: мера Лебега непокрытых точек отрезка будет больше, чем 1-А, а значит, больше нуля.
Таким образом, наша система интервалов, являясь открытым множеством, и будет решением задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение03.07.2019, 12:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
В принципе всё верно, а сомнение Ваше вызвано, видимо, вот чем:

Neprofessional в сообщении #1402848 писал(а):
а сумма длин А была бы меньше единицы.

А что можно сказать про меру построенного открытого множества -- и почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение03.07.2019, 20:25 


01/07/19
30
ewert в сообщении #1402914 писал(а):
А что можно сказать про меру построенного открытого множества -- и почему?

Если вы имеете в виду меру Жордана, то думаю, что на этот раз сразу отвечу правильно: множество будет неизмеримым, потому что будут не равны внутренняя мера (равна А) и внешняя мера (равна единице).
С мерой Лебега я пока толком не знаком (знаю только определение множества нулевой лебеговой меры на числовой прямой), но подозреваю, что она у построенного множества будет равна А.

Решение Юстаса действительно очень идейное. Разрушает понятия, подсказываемые "бытовой" интуицией. Нужно время, чтобы оно улеглось в моей голове.
Еще я понял, что когда изучаешь математику как я, герметично - без общения с преподавателями, по книгам - то легко впасть в заблуждения, о которых не будешь даже подозревать. Ваши и уважаемого Someone подсказки мне помогли от кое-каких заблуждений избавиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение03.07.2019, 22:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Neprofessional в сообщении #1403016 писал(а):
Если вы имеете в виду меру Жордана, то думаю, что на этот раз сразу отвечу правильно: множество будет неизмеримым, потому что будут не равны внутренняя мера (равна А) и внешняя мера (равна единице).

Первое неверно. Второе верно, но Вы, к сожалению, не знаете, почему.

Сосредоточьтесь вот на чём. Пока что не важно, что там за мера -- Жордана или Лебега. Пока что важен гораздо более грубый вопрос: что можно сказать про меру объединения множеств?... (в предположении, что она имеет смысл, а имеет ли -- вопрос отдельный)

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое множество на R, граница не множ-во меры нуль
Сообщение04.07.2019, 13:21 


01/07/19
30
Виноват, вчера второпях не вспомнил, что интервалы-то в нашей системе будут пересекаться. Поэтому внутренняя мера их множества будет меньше А. Но по-прежнему ненулевой, т.к., например первый интервал системы ненулевой. Теперь верно?
Насчет верхней меры - я думаю, что все-таки знаю, почему она будет больше единицы (а не ровно единица, как я вчера написал, ведь, например, интервалы, покрывающие точки 0 и 1 будут выходить за пределы отрезка [0,1]). Потому, что любой отрезок любого ранга разбиения числовой прямой, принадлежащий отрезку [0,1] будет содержать в себе точки нашего множества.
Попробую ответить на ваш последний вопрос, но смогу не полностью. Буду, с вашего позволения, говорить именно о мере Жордана, поскольку с другими пока не знаком. Для объединения конечного числа измеримых множеств все ясно: мера объединения меньше или равна сумме мер множеств.
Если объединять конечное число неизмеримых множеств, то может получиться и измеримое. Пример: рациональные и иррациональные точки отрезка.
Для объединения счетного количества измеримых множеств мера его может и не существовать. Если же существует, то я пока не знаю, обязательно ли она будет меньше или равна сумме мер множеств. Мне нужно подумать. В учебнике Кудрявцева, по которому я учусь, рассматривается в этом смысле только мера конечного объединения. Вот и все пока мои познания по этому вопросу.

P.S. Сейчас перечитал ваше сообщение и увидел, что, может быть, я неправильно понял, к чему относятся фразы "первое неверно" и "второе верно". Поясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group