Ну вообще-то ровно так, поскольку
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
открыто.
Почему не так? Граница произвольного множества
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
- это
![$\rm{Cl}\ A\setminus \rm{Int}\ A$ $\rm{Cl}\ A\setminus \rm{Int}\ A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/4/e448ff034958ba9d28f105b6b12b1e5082.png)
. Поскольку в данном случае по условию
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
открыто
Моё замечание относится к формуле
И нигде не написано, что множество
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
открытое. Непосредственно перед этим упоминается
Использую теперь сл определение нулевого множества A
Нулевое множество, очевидно, не может быть открытым. Правильная формула для границы произвольного множества такая (Вы её, конечно, знаете, поэтому это скорее для
Neprofessional):
![$Fr A=Cl A\setminus Int A$ $Fr A=Cl A\setminus Int A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/8/e782c8e0f82d8fdd80c0297e9528d5bd82.png)
.
Пример с выбрасыванием одной десятой отрезка, думаю, как раз и есть решение задачи.
Нет, к сожалению.
Если Вы на каждом шаге выбрасываете
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
-ую часть оставшихся отрезков, то после
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
шагов суммарная длина оставшихся отрезков равна
![$\left(1-\frac 1m\right)^n$ $\left(1-\frac 1m\right)^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/e/2fe62f2e4058f5ffda369b7131e3990682.png)
, а суммарная длина выброшенных отрезков будет равна
![$1-\left(1-\frac 1m\right)^n$ $1-\left(1-\frac 1m\right)^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/4/0a420ced3a9c8ff01b1cbcc1146feb8682.png)
. Легко вычислить предел этого выражения при
![$n\to\infty$ $n\to\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/3/6c36031acca07a801eb81a809102fc9282.png)
и убедиться, что он равен
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
.
Я не знаю, что там написано у Кудрявцева. Возможно, Вы его неправильно поняли.
Чтобы получить то, что требуется, нужно выбрасывать не
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
-ую часть оставшихся отрезков, а в
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
раз меньшие отрезки, чем на предыдущем шаге, причём, должно быть
![$m>3$ $m>3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/1/9e1f6dfcc272f75f2aaf66ff648e40bf82.png)
. Тогда сумма длин выброшенных отрезков будет равна
![$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{m^n}.$$ $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{m^n}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61ee1118d16ad7d34789345f8ec7d0c582.png)
Мне кажется, что у Кудрявцева что-нибудь в этом роде и написано.
P.S. Пока я писал это сообщение, появилось
следующее сообщение ewert, и я решил своё сообщение не отправлять, только сохранил в черновиках. Но появилась уже вторая претензия по поводу моего замечания. Замечание моё касалось только формулы, а в суть
предложения Юстас я не вникал, ограничившись тем, как
Neprofessional пытался это использовать. Теперь я это сообщение дополнил и отправил.