2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 ... 41  След.
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение27.06.2019, 19:02 


31/12/10
1555
Существует понятие плотности кортежа.
Это отношение общей разности кортежа (разность меду крайними вычетами)
к общему числу разностей между вычетами или к числу членов кортежа - 1.
Например. Кортеж (2, 4, 2) , плотность $8/2 = 4$
Или плотность вашего кортежа с общей разностью 30 и 9 членами будет $30/8 = 3,75$
На интервале до 500 000 есть 8 кортежей с плотностью 3, 75
Первые члены:
7, 11, 13, 17, 1277, 88789, 113143, 113147.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение27.06.2019, 21:00 


31/12/10
1555
Извиняюсь, ошибка.
Плотность кортежа (2, 4, 2) равна $8/3=2,67$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 01:11 
Заслуженный участник


20/08/14
11830
Россия, Москва
Skipper в сообщении #1401836 писал(а):
А существуют ли кортежи, минимально-возможной длины для $n$ простых чисел (такие как например на промежутке $8$ для кортежа 4-х, на промежутке $20$ для кортежа 7-ми и т.п.) , но первый из них случается вообще не на малых числах, а на каких нибудь больших типа - больше миллиона?
...
Если бы первый какой нибудь кортеж из $n$ простых, на минимиально возможном отрезке, возникал бы не на малых числах, а на неких больших, типа от миллиона и больше, я от удивления упал бы на месте..
Существуют. В одной из соседних тем про магические квадраты был упомянут файлик k-tuplets-min.txt (не помню откуда его качали, выложил себе в облако, 45кБ), там приведены кортежи длиной до 22-х элементов, и некоторые из них впервые появляются весьма далеко, пара примеров:
кортеж 0,2,6,12,14,20,24,26,30,32 встречается впервые начиная с числа 9853497737, потом с чисел 21956291867, 22741837817, 164444511587, 179590045487 и т.д.;
кортеж 0,2,8,14,18,20,24,30,32,38,42,44,48,50 встречается:
79287805466244209 (17 digits, 1982, D. Betsis & S. Säfholm)
2714623996387988519 (19 digits, 2006, Vladimir Vlesycit)
5012524663381750349 (2006, Vladimir Vlesycit)
6120794469172998449 (1996, TF)
6195991854028811669 (2006, Vladimir Vlesycit)
6232932509314786109 (2006, Vladimir Vlesycit)
6808488664768715759 (1996, TF)
10756418345074847279 (20 digits,1997, TF);
ну и кортеж 0,2,6,8,12,20,26,30,36,38,42,48,50,56,62,66,68,72,78,80 встречается:
14374153072440029138813893241 (29 digits, October 6, 2014, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
58228410683159656922037124961 (29 digits, April 30, 2015, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski).

PS. Для кортежей указано приращение каждого элемента над первым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 01:32 


24/03/09
588
Минск
Dmitriy40 в сообщении #1401961 писал(а):
там приведены кортежи длиной до 22-х элементов, и некоторые из них впервые появляются весьма далеко, пара примеров:
кортеж 0,2,6,12,14,20,24,26,30,32 встречается впервые начиная с числа 9853497737


Может не полностью объяснил.. 1) будем говорить о "правильных кортежах". правильный, это такой который встречается два раза как минимум, а из этого возможно следует, что и бесконечное количество раз.
Например 3,5,7, - неправильный - три простых числа на отрезке в 4 - такое только один раз, потому не удовлетворяет требованию "правильного кортежа".
2) нам неважно, какое именно чередование промежутков в этом правильном кортеже - ваши $0,2,6,12,14,20,24,26,30,32$ , или какие то другие. Главное только одно, чтобы длина отрезка была такой же.
Т.е. $0 ...  32$ ,должно присутствовать, и то же самое количество простых чисел на этом отрезке, остальное неважно.

https://thereaderwiki.com/en/Prime_k-tuple

Вот же пример. Минимально возможный "правильный кортеж" для 9-ти простых чисел - отрезок длиной в 30.
Но именно такой - $(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) $ - впервые встречается только на больших числах,
$(88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819) $ .

А вопрос то состоял, что нет требования именно этих внутренних промежутков!
Если рассматривать все кортежи, на отрезках 30, и искать на них 9 идущих простых чисел - то всё равно получается
кортеж с малых чисел,
$(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41)$

хотя и немного с другой "группировкой", т.е. $(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) $ .
Но длина то $30$, и количество простых - $9$ - остаются теми же!

А я имел в виду, именно случаи, когда нам неважно чередование в этой последовательности.
Если бы к примеру, нашли кортеж, длиной в $M$, т.е. в вашей нотации - $ (0..M)$ ,
неважно с каким чередованием внутри, и там оказалось $N$ простых чисел,
при этом кортеж находится где то далеко, от миллиона, а на малых числах, где их плотность в принципе больше,
такого кортежа нет (тоже для всех возможных чередований внутри).

Вот этот случай и был бы самым удивительным.
Пишу быстро, т.к. спешу, но надеюсь понятно.. В таком случае, на больших числах где простые встречаются реже, но тем не менее,
они "сгруппировались так плотно", что подобного не произошло на малых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 03:14 
Заслуженный участник


20/08/14
11830
Россия, Москва
Skipper
Вы зря проигнорировали выложенный файлик, там указано, что для кортежей длиной 24 и 26 ни один из возможных паттернов (4 штуки для 24 и 2 штуки для 26) не был найден, т.е. их нет очень и очень далеко. Я только что перепроверил это (с помощью PARI/GP до $10^8$ и своей программой до $10^{20}$), их действительно нет ни одного.
Можно конечно думать что их вообще нигде и никогда не будет, хотя это на мой взгляд сомнительно, но первые решения могут быть заметно дальше $10^{30}$ (а даже досюда моей программе считать примерно 1300 лет :facepalm:).
Вот эти паттерны:
n=24:0,4,6,10,12,16,24,30,34,40,42,46,52,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100
n=24:0,4,6,12,16,24,30,34,40,42,46,52,54,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100
n=24:0,4,6,10,16,18,24,28,30,34,40,46,48,54,58,60,66,70,76,84,88,94,96,100
n=24:0,4,6,10,16,18,24,28,30,34,40,48,54,58,60,66,70,76,84,88,90,94,96,100
n=26:0,4,6,10,12,16,24,30,34,40,42,46,52,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100,112,114
n=26:0,2,14,18,20,24,30,32,38,42,44,48,54,62,68,72,74,80,84,90,98,102,104,108,110,114
Кроме этих в файлике приведена и куча других паттернов, решения для которых тоже не найдены в первых примерно $10^{30}$.

Кстати нашёл этот файл в интернете: http://anthony.d.forbes.googlepages.com/ktmin.txt, он даже в англовики приведён в 4-й сноске.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 11:00 


24/03/09
588
Минск
Dmitriy40 в сообщении #1401970 писал(а):
Вы зря проигнорировали выложенный файлик, там указано, что для кортежей длиной 24 и 26 ни один из возможных паттернов (4 штуки для 24 и 2 штуки для 26) не был найден, т.е. их нет очень и очень далеко. Я только что перепроверил это (с помощью PARI/GP до $10^8$ и своей программой до $10^{20}$), их действительно нет ни одного.


А почему вы решили, что 1) только именно эти 4 штуки - возможны в принципе?
2) и главное даже не то что я выше написал в 1-м пункте. Почему вы решили, что вообще в принципе,
на отрезке длиной в $100 $- могут разместиться $24 $ простых числа?

Если это правда, тогда да, найдите такой первый отрезок, $24 $ простых числа, (неважно с каким чередованием в этой последовательности длиной $100 $) - и будет сенсация. Т.к. первый по всем возможным комбинациям внутри - на больших числах.


Dmitriy40 в сообщении #1401970 писал(а):
Вот эти паттерны:
n=24:0,4,6,10,12,16,24,30,34,40,42,46,52,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100
n=24:0,4,6,12,16,24,30,34,40,42,46,52,54,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100
n=24:0,4,6,10,16,18,24,28,30,34,40,46,48,54,58,60,66,70,76,84,88,94,96,100
n=24:0,4,6,10,16,18,24,28,30,34,40,48,54,58,60,66,70,76,84,88,90,94,96,100


Для вопроса который я поставил, не нужно расписывать, какие именно паттерны. Достаточно написать
$n=24: (0 ..100) $

Т.е. 1) кортеж из $24 $ простых чисел, 2) длина отрезка равна $100$. Всё.

А для всех найденных, в вашем файле, я вижу, присутствуют кортежи из малых чисел!
Вот например,

$k=14 , s=50 , B={0 ..   50} $

Ищете кортеж из $14 $ простых чисел, на отрезках длиной в $50$.
В зависимости от типа внутри (как там чередуется) - есть и начинающиеся с больших чисел..
Но какой - начинается с какого минимального числа?
С числа $11  $.

Значит, задача не решена. Вот если бы вы нашли такой же кортеж, из $14$-ти простых чисел,
который уместился бы на мЕньшем промежутке, к примеру, $48 $ вместо $50$-ти.
И первый такой был бы на больших числах, тогда было бы доказано, что такое возможно.
(в таком случае, все эти кортежи на отрезках $50 $- уже вообще можно было бы не рассматривать,
т.к. это не возможный минимум).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 11:04 


31/12/10
1555
Вопрос о существовании кортежей среди простых чисел
рассмотрен в самом начале этой темы. Кратко повторю.
Кортеж представляется т.н. "приведенным" кортежем, полученным
вычитанием первого вычета из остальных (включая себя) или
последовательным приращением разностей между вычетами кортежа
Был введен критерий существования $K(p)= p + m(p) - n$
где p - простое число, по которому определяется проходимость
кортежа, начиная с $ p= 3.$
m(p) - число вычетов приведенного кортежа, сравнимых по модулю р.
n - число вычетов кортежа
Если К(р) больше 0, то кортеж "проходит" по этому модулю.
Очевидно, что при $p > n,\;  K(p) >0.$
Пример. Кортеж $(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) $
Здесь $n = 9$, следовательно проверку проходимости
надо проводить до модуля $p = 7$
$p=3,\;m(3) =7 $ т.к. 4 вычета сравнимы с 0 и 3 вычета сравнимы с 4.
$K(3)=3 +7 - 9 =1$
$p=5,\;m(5)=5$ т.к. 2(0),1(4),1(12),1(18), $ K(5)= 5+5-9=1$
$p=7,\;m(7)=3$ т.к. 1(0),1(4),1(10), $ K(7)=7+3-9=1$
Кортеж существует среди простых чисел не в единственном числе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 11:15 


24/03/09
588
Минск
vorvalm , так быстро не осилю, потому вопрос простой.
Эти ваши утверждения доказывают факт того, что существует кортеж (наважно с какими промежутками внутри между простыми) - содержащий $24$ простых числа, и имеющий длину $100  $ ?

Т.е. вы написали строгое математическое доказательство существования такого кортежа?
Если да, тогда осталось найти такой кортеж на больших числах.
И будет поразительно то, что на малых числах, где плотность простых самая высокая, такого кортежа не случилось,
но он случился в области где простые числа идут редко.

Надеюсь, понятно, в чём суть сенсационного "развития событий " :-)

PS Dmitriy40 написал,
Цитата:
Можно конечно думать что их вообще нигде и никогда не будет

а значит он и сам сомневается, что это доказательство существования таких кортежей. Может быть, не учли какой нибудь факт (причину), отчего таких кортежей быть не может, а могут быть к примеру, длиной в $102$, содержащие те же $24 $ простых числа, а уж они существуют и на малых числах, потому опять же, задача на сенсацию - будет не решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 11:44 
Заслуженный участник


20/08/14
11830
Россия, Москва
Skipper
Почему только эти паттерны допустимы и как их вообще находят/конструируют. Когда у нас уже есть несколько первых чисел, то мы не можем добавить следующим произвольное число, потому что для многих из них одно из чисел в кортеже гарантированно не будет простым. Это и есть проверка по вычетам. Например, паттерн 0,2,6,8 допустим, а вот паттерны 0,2,6,8,10 и 0,2,6,8,14 недопустимы, в первом какое-то из чисел делится на 3, во втором на 5. Повторяя эту процедуру добавления наименьшего допустимого числа в паттерн и получаем все возможные паттерны с данным началом. Потом меняем начало паттерна (добавляя не минимальное, а следующее подходящее, и т.д.). Часто паттерны могут иметь одинаковую длину и одинаковый диаметр (максимальное число в паттерне), тогда вариантов получается более одного, как например уже с кортежем длиной 3 и диаметром 6, их есть два разных: 0,2,6 и 0,4,6. Или два паттерна длиной 5 и диаметром 12: 0,2,6,8,12 и 0,4,6,10,12.
Список возможных диаметров есть в A008407, а список всех возможных паттернов для каждого диаметра можно найти по ссылкам из неё. Вы бы почитали хоть что-то, а задаёте банальные вопросы (например про допустимость паттернов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 11:51 


24/03/09
588
Минск
Dmitriy40 в сообщении #1402012 писал(а):
допустимость паттернов


Хорошо, допустим по такой логике, он допустим. Но "допустимость" - не означает "доказательство существования".
По крайней мере интересно уже то, что если ответ на мой вопрос положительный, то искать следует последовательность из $24$ простых чисел на отрезке $100$, а все меньшие допустимые (менее 24-х) - встречаются и на малых числах.

бОльшие последовательности (чем 24 на отрезке 100) - можно пока не считать, т.к. только вычислений - будет больше, а результат - тот же.

PS Напомню, (если кто то другой читает и не понимает) - речь идёт только о "правильных кортежах", т.е. таких которые могут встречаться более одного раза. Кортеж содержащий простые числа 2,3 , или 3,5,7 - в принципе неправильный, т.к. в первом из них - только один раз могут встретиться простые с расстоянием 1, а во втором - только один раз могут встретиться три простых числа, на отрезке длиной в 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 11:51 


31/12/10
1555
Я разобрал только ваш кортеж на проходимость
Для кортежа из 24 вычетов при общей разности 100
потребует проверке на проходимость до модуля не менее р =23.
Вручную это весьма утомительно
Программы у меня такой нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 12:01 


24/03/09
588
Минск
Dmitriy40 в сообщении #1401970 писал(а):
Я только что перепроверил это (... своей программой до $10^{20}$)


Я вообще не понимаю, как это можно достаточно быстро проверить всё до $10^{20} $ , это же сколько операций надо совершить.. У вас там что, программа на супер-компьютере с миллионами процессоров работает? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 12:13 


31/12/10
1555
Я проверил на проходимость кортеж из 14 вычетов
при общей разности 50.
Это практически все простые числа от 11 до 61.
Этот кортеж не проходит по модулю $p=7$ , т.е.
существует в единственном экземпляре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 12:22 


24/03/09
588
Минск
vorvalm в сообщении #1402018 писал(а):
Я проверил на проходимость кортеж из 14 вычетов
при общей разности 50.
Это практически все простые числа от 11 до 61.
Этот кортеж не проходит по модулю $p=7$ , т.е.
существует в единственном экземпляре.


Какой именно встречается в единственном экземпляре?

Эти два

k=14 s=50 B={0 2 6 8 12 18 20 26 30 32 36 42 48 50}
k=14 s=50 B={0 2 8 14 18 20 24 30 32 38 42 44 48 50}

как написано в файле, встречаются много раз. Причём второй из них
впервые встречается с большого числа 79287805466244209,
но.. первый - всё таки с малого числа 11, потому - эти типы (k=14) - не годятся,
для решения задачи. Похоже действительно минимальный k=24 надо считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение28.06.2019, 12:48 
Заслуженный участник


20/08/14
11830
Россия, Москва
Ну вот вам программа проверки допустимости паттерна на PARI/GP (переписал из рабочей на дельфи):
Код:
t=Set([0,4,6,10,12,16,24,30,34,40,42,46,52,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100]);
prmax=t[#t]; pr=primes([3,prmax]);
{
   print("n=", #t, ": ", t);
   m=matrix(#pr,prmax+1);
   for(i=1,#pr,
      for(j=2,pr[i], m[i,j]=9999);
      m[i,1]=0;
      for(j=pr[i],prmax, m[i,j+1]=0);
      for(j=2,#t, m[i,pr[i]-t[j]%pr[i]+1]=0);
      print1(pr[i], " ");
      nm=0;
      for(j=1,pr[i], if(m[i,j]!=0, nm++));
      if(nm==0, print("-- ERROR! Not avaible modules."); break);
   );
   print;
}
Её вывод для двух чуть разных разных паттернов:
Код:
n=24: [0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84, 90, 94, 96, 100]
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

n=24: [0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84, 90, 94, 96, 102]
3 5 7 11 -- ERROR! Not avaible modules.
Второй паттерн не проходит по вычету/модулю 11.

-- 28.06.2019, 13:01 --

Skipper в сообщении #1402017 писал(а):
Dmitriy40 в сообщении #1401970 писал(а):
Я только что перепроверил это (... своей программой до $10^{20}$)
Я вообще не понимаю, как это можно достаточно быстро проверить всё до $10^{20} $ , это же сколько операций надо совершить.. У вас там что, программа на супер-компьютере с миллионами процессоров работает? :-)
Нет, но проверка по паттерну замечательна тем что вовсе не надо проверять все простые числа в указанном диапазоне, паттерн ОЧЕНЬ сильно ограничивает список допустимых простых чисел, с которых он (кортеж) может начинаться. Например для указанного мной выше паттерна длиной 24 и диаметром 100 среди последовательных 200 миллиардов чисел возможны лишь 640 вариантов кортежа, их и надо проверить на простоту входящих в кортеж чисел. И проверив всего лишь $640\cdot24=15360$ чисел на простоту мы исключаем весь интервал в 200 миллиардов. А моя программа использует и ещё бОльшие интервалы, например для этого паттерна интервал проверки составил $615\cdot10^{15}$, в котором проверяется менее 100 миллионов кортежей. Программа активно пользуется AVX2 (кусок написан на асме) и проверяет в среднем больше миллиарда кортежей в секунду (4 ядра на 3.5ГГц), что для этого паттерна даёт более $3\cdot10^{22}$ чисел в час.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 608 ]  На страницу Пред.  1 ... 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 ... 41  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group