Бесконечность простых чисел-близнецов

[vorvalm]

Существует понятие плотности кортежа.
Это отношение общей разности кортежа (разность меду крайними вычетами)
к общему числу разностей между вычетами или к числу членов кортежа - 1.
Например. Кортеж (2, 4, 2) , плотность $8/2 = 4$
Или плотность вашего кортежа с общей разностью 30 и 9 членами будет $30/8 = 3,75$
На интервале до 500 000 есть 8 кортежей с плотностью 3, 75
Первые члены:
7, 11, 13, 17, 1277, 88789, 113143, 113147.

[vorvalm]

Извиняюсь, ошибка.
Плотность кортежа (2, 4, 2) равна $8/3=2,67$

[Dmitriy40]

Skipper в сообщении #1401836 писал(а):

А существуют ли кортежи, минимально-возможной длины для $n$ простых чисел (такие как например на промежутке $8$ для кортежа 4-х, на промежутке $20$ для кортежа 7-ми и т.п.) , но первый из них случается вообще не на малых числах, а на каких нибудь больших типа - больше миллиона?
...
Если бы первый какой нибудь кортеж из $n$ простых, на минимиально возможном отрезке, возникал бы не на малых числах, а на неких больших, типа от миллиона и больше, я от удивления упал бы на месте..

Существуют. В одной из соседних тем про магические квадраты был упомянут файлик k-tuplets-min.txt (не помню откуда его качали, выложил себе в облако, 45кБ), там приведены кортежи длиной до 22-х элементов, и некоторые из них впервые появляются весьма далеко, пара примеров:
кортеж 0,2,6,12,14,20,24,26,30,32 встречается впервые начиная с числа 9853497737, потом с чисел 21956291867, 22741837817, 164444511587, 179590045487 и т.д.;
кортеж 0,2,8,14,18,20,24,30,32,38,42,44,48,50 встречается:
79287805466244209 (17 digits, 1982, D. Betsis & S. Säfholm)
2714623996387988519 (19 digits, 2006, Vladimir Vlesycit)
5012524663381750349 (2006, Vladimir Vlesycit)
6120794469172998449 (1996, TF)
6195991854028811669 (2006, Vladimir Vlesycit)
6232932509314786109 (2006, Vladimir Vlesycit)
6808488664768715759 (1996, TF)
10756418345074847279 (20 digits,1997, TF);
ну и кортеж 0,2,6,8,12,20,26,30,36,38,42,48,50,56,62,66,68,72,78,80 встречается:
14374153072440029138813893241 (29 digits, October 6, 2014, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
58228410683159656922037124961 (29 digits, April 30, 2015, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski).

PS. Для кортежей указано приращение каждого элемента над первым.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1401961 писал(а):

там приведены кортежи длиной до 22-х элементов, и некоторые из них впервые появляются весьма далеко, пара примеров:
кортеж 0,2,6,12,14,20,24,26,30,32 встречается впервые начиная с числа 9853497737

Может не полностью объяснил.. 1) будем говорить о "правильных кортежах". правильный, это такой который встречается два раза как минимум, а из этого возможно следует, что и бесконечное количество раз.
Например 3,5,7, - неправильный - три простых числа на отрезке в 4 - такое только один раз, потому не удовлетворяет требованию "правильного кортежа".
2) нам неважно, какое именно чередование промежутков в этом правильном кортеже - ваши $0,2,6,12,14,20,24,26,30,32$ , или какие то другие. Главное только одно, чтобы длина отрезка была такой же.
Т.е. $0 ... 32$ ,должно присутствовать, и то же самое количество простых чисел на этом отрезке, остальное неважно.

https://thereaderwiki.com/en/Prime_k-tuple

Вот же пример. Минимально возможный "правильный кортеж" для 9-ти простых чисел - отрезок длиной в 30.
Но именно такой - $(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) $ - впервые встречается только на больших числах,
$(88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819) $ .

А вопрос то состоял, что нет требования именно этих внутренних промежутков!
Если рассматривать все кортежи, на отрезках 30, и искать на них 9 идущих простых чисел - то всё равно получается
кортеж с малых чисел,
$(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41)$

хотя и немного с другой "группировкой", т.е. $(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) $ .
Но длина то $30$, и количество простых - $9$ - остаются теми же!

А я имел в виду, именно случаи, когда нам неважно чередование в этой последовательности.
Если бы к примеру, нашли кортеж, длиной в $M$, т.е. в вашей нотации - $ (0..M)$ ,
неважно с каким чередованием внутри, и там оказалось $N$ простых чисел,
при этом кортеж находится где то далеко, от миллиона, а на малых числах, где их плотность в принципе больше,
такого кортежа нет (тоже для всех возможных чередований внутри).

Вот этот случай и был бы самым удивительным.
Пишу быстро, т.к. спешу, но надеюсь понятно.. В таком случае, на больших числах где простые встречаются реже, но тем не менее,
они "сгруппировались так плотно", что подобного не произошло на малых числах.

[Dmitriy40]

Skipper
Вы зря проигнорировали выложенный файлик, там указано, что для кортежей длиной 24 и 26 ни один из возможных паттернов (4 штуки для 24 и 2 штуки для 26) не был найден, т.е. их нет очень и очень далеко. Я только что перепроверил это (с помощью PARI/GP до $10^8$ и своей программой до $10^{20}$), их действительно нет ни одного.
Можно конечно думать что их вообще нигде и никогда не будет, хотя это на мой взгляд сомнительно, но первые решения могут быть заметно дальше $10^{30}$ (а даже досюда моей программе считать примерно 1300 лет ).
Вот эти паттерны:
n=24:0,4,6,10,12,16,24,30,34,40,42,46,52,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100
n=24:0,4,6,12,16,24,30,34,40,42,46,52,54,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100
n=24:0,4,6,10,16,18,24,28,30,34,40,46,48,54,58,60,66,70,76,84,88,94,96,100
n=24:0,4,6,10,16,18,24,28,30,34,40,48,54,58,60,66,70,76,84,88,90,94,96,100
n=26:0,4,6,10,12,16,24,30,34,40,42,46,52,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100,112,114
n=26:0,2,14,18,20,24,30,32,38,42,44,48,54,62,68,72,74,80,84,90,98,102,104,108,110,114
Кроме этих в файлике приведена и куча других паттернов, решения для которых тоже не найдены в первых примерно $10^{30}$.

Кстати нашёл этот файл в интернете: http://anthony.d.forbes.googlepages.com/ktmin.txt, он даже в англовики приведён в 4-й сноске.

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1401970 писал(а):

Вы зря проигнорировали выложенный файлик, там указано, что для кортежей длиной 24 и 26 ни один из возможных паттернов (4 штуки для 24 и 2 штуки для 26) не был найден, т.е. их нет очень и очень далеко. Я только что перепроверил это (с помощью PARI/GP до $10^8$ и своей программой до $10^{20}$), их действительно нет ни одного.

А почему вы решили, что 1) только именно эти 4 штуки - возможны в принципе?
2) и главное даже не то что я выше написал в 1-м пункте. Почему вы решили, что вообще в принципе,
на отрезке длиной в $100 $- могут разместиться $24 $ простых числа?

Если это правда, тогда да, найдите такой первый отрезок, $24 $ простых числа, (неважно с каким чередованием в этой последовательности длиной $100 $) - и будет сенсация. Т.к. первый по всем возможным комбинациям внутри - на больших числах.

Dmitriy40 в сообщении #1401970 писал(а):

Вот эти паттерны:
n=24:0,4,6,10,12,16,24,30,34,40,42,46,52,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100
n=24:0,4,6,12,16,24,30,34,40,42,46,52,54,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100
n=24:0,4,6,10,16,18,24,28,30,34,40,46,48,54,58,60,66,70,76,84,88,94,96,100
n=24:0,4,6,10,16,18,24,28,30,34,40,48,54,58,60,66,70,76,84,88,90,94,96,100

Для вопроса который я поставил, не нужно расписывать, какие именно паттерны. Достаточно написать
$n=24: (0 ..100) $

Т.е. 1) кортеж из $24 $ простых чисел, 2) длина отрезка равна $100$. Всё.

А для всех найденных, в вашем файле, я вижу, присутствуют кортежи из малых чисел!
Вот например,

$k=14 , s=50 , B={0 .. 50} $

Ищете кортеж из $14 $ простых чисел, на отрезках длиной в $50$.
В зависимости от типа внутри (как там чередуется) - есть и начинающиеся с больших чисел..
Но какой - начинается с какого минимального числа?
С числа $11 $.

Значит, задача не решена. Вот если бы вы нашли такой же кортеж, из $14$-ти простых чисел,
который уместился бы на мЕньшем промежутке, к примеру, $48 $ вместо $50$-ти.
И первый такой был бы на больших числах, тогда было бы доказано, что такое возможно.
(в таком случае, все эти кортежи на отрезках $50 $- уже вообще можно было бы не рассматривать,
т.к. это не возможный минимум).

[vorvalm]

Вопрос о существовании кортежей среди простых чисел
рассмотрен в самом начале этой темы. Кратко повторю.
Кортеж представляется т.н. "приведенным" кортежем, полученным
вычитанием первого вычета из остальных (включая себя) или
последовательным приращением разностей между вычетами кортежа
Был введен критерий существования $K(p)= p + m(p) - n$
где p - простое число, по которому определяется проходимость
кортежа, начиная с $ p= 3.$
m(p) - число вычетов приведенного кортежа, сравнимых по модулю р.
n - число вычетов кортежа
Если К(р) больше 0, то кортеж "проходит" по этому модулю.
Очевидно, что при $p > n,\; K(p) >0.$
Пример. Кортеж $(0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30) $
Здесь $n = 9$, следовательно проверку проходимости
надо проводить до модуля $p = 7$
$p=3,\;m(3) =7 $ т.к. 4 вычета сравнимы с 0 и 3 вычета сравнимы с 4.
$K(3)=3 +7 - 9 =1$
$p=5,\;m(5)=5$ т.к. 2(0),1(4),1(12),1(18), $ K(5)= 5+5-9=1$
$p=7,\;m(7)=3$ т.к. 1(0),1(4),1(10), $ K(7)=7+3-9=1$
Кортеж существует среди простых чисел не в единственном числе.

[Skipper]

vorvalm , так быстро не осилю, потому вопрос простой.
Эти ваши утверждения доказывают факт того, что существует кортеж (наважно с какими промежутками внутри между простыми) - содержащий $24$ простых числа, и имеющий длину $100 $ ?

Т.е. вы написали строгое математическое доказательство существования такого кортежа?
Если да, тогда осталось найти такой кортеж на больших числах.
И будет поразительно то, что на малых числах, где плотность простых самая высокая, такого кортежа не случилось,
но он случился в области где простые числа идут редко.

Надеюсь, понятно, в чём суть сенсационного "развития событий "

PS Dmitriy40 написал,

Цитата:

Можно конечно думать что их вообще нигде и никогда не будет

а значит он и сам сомневается, что это доказательство существования таких кортежей. Может быть, не учли какой нибудь факт (причину), отчего таких кортежей быть не может, а могут быть к примеру, длиной в $102$, содержащие те же $24 $ простых числа, а уж они существуют и на малых числах, потому опять же, задача на сенсацию - будет не решена.

[Dmitriy40]

Skipper
Почему только эти паттерны допустимы и как их вообще находят/конструируют. Когда у нас уже есть несколько первых чисел, то мы не можем добавить следующим произвольное число, потому что для многих из них одно из чисел в кортеже гарантированно не будет простым. Это и есть проверка по вычетам. Например, паттерн 0,2,6,8 допустим, а вот паттерны 0,2,6,8,10 и 0,2,6,8,14 недопустимы, в первом какое-то из чисел делится на 3, во втором на 5. Повторяя эту процедуру добавления наименьшего допустимого числа в паттерн и получаем все возможные паттерны с данным началом. Потом меняем начало паттерна (добавляя не минимальное, а следующее подходящее, и т.д.). Часто паттерны могут иметь одинаковую длину и одинаковый диаметр (максимальное число в паттерне), тогда вариантов получается более одного, как например уже с кортежем длиной 3 и диаметром 6, их есть два разных: 0,2,6 и 0,4,6. Или два паттерна длиной 5 и диаметром 12: 0,2,6,8,12 и 0,4,6,10,12.
Список возможных диаметров есть в A008407, а список всех возможных паттернов для каждого диаметра можно найти по ссылкам из неё. Вы бы почитали хоть что-то, а задаёте банальные вопросы (например про допустимость паттернов).

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1402012 писал(а):

допустимость паттернов

Хорошо, допустим по такой логике, он допустим. Но "допустимость" - не означает "доказательство существования".
По крайней мере интересно уже то, что если ответ на мой вопрос положительный, то искать следует последовательность из $24$ простых чисел на отрезке $100$, а все меньшие допустимые (менее 24-х) - встречаются и на малых числах.

бОльшие последовательности (чем 24 на отрезке 100) - можно пока не считать, т.к. только вычислений - будет больше, а результат - тот же.

PS Напомню, (если кто то другой читает и не понимает) - речь идёт только о "правильных кортежах", т.е. таких которые могут встречаться более одного раза. Кортеж содержащий простые числа 2,3 , или 3,5,7 - в принципе неправильный, т.к. в первом из них - только один раз могут встретиться простые с расстоянием 1, а во втором - только один раз могут встретиться три простых числа, на отрезке длиной в 4.

[vorvalm]

Я разобрал только ваш кортеж на проходимость
Для кортежа из 24 вычетов при общей разности 100
потребует проверке на проходимость до модуля не менее р =23.
Вручную это весьма утомительно
Программы у меня такой нет

[Skipper]

Dmitriy40 в сообщении #1401970 писал(а):

Я только что перепроверил это (... своей программой до $10^{20}$)

Я вообще не понимаю, как это можно достаточно быстро проверить всё до $10^{20} $ , это же сколько операций надо совершить.. У вас там что, программа на супер-компьютере с миллионами процессоров работает?

[vorvalm]

Я проверил на проходимость кортеж из 14 вычетов
при общей разности 50.
Это практически все простые числа от 11 до 61.
Этот кортеж не проходит по модулю $p=7$ , т.е.
существует в единственном экземпляре.

[Skipper]

vorvalm в сообщении #1402018 писал(а):

Я проверил на проходимость кортеж из 14 вычетов
при общей разности 50.
Это практически все простые числа от 11 до 61.
Этот кортеж не проходит по модулю $p=7$ , т.е.
существует в единственном экземпляре.

Какой именно встречается в единственном экземпляре?

Эти два

k=14 s=50 B={0 2 6 8 12 18 20 26 30 32 36 42 48 50}
k=14 s=50 B={0 2 8 14 18 20 24 30 32 38 42 44 48 50}

как написано в файле, встречаются много раз. Причём второй из них
впервые встречается с большого числа 79287805466244209,
но.. первый - всё таки с малого числа 11, потому - эти типы (k=14) - не годятся,
для решения задачи. Похоже действительно минимальный k=24 надо считать.

[Dmitriy40]

Ну вот вам программа проверки допустимости паттерна на PARI/GP (переписал из рабочей на дельфи):

t=Set([0,4,6,10,12,16,24,30,34,40,42,46,52,60,66,70,72,76,82,84,90,94,96,100]);
prmax=t[#t]; pr=primes([3,prmax]);
{
   print("n=", #t, ": ", t);
   m=matrix(#pr,prmax+1);
   for(i=1,#pr,
      for(j=2,pr[i], m[i,j]=9999);
      m[i,1]=0;
      for(j=pr[i],prmax, m[i,j+1]=0);
      for(j=2,#t, m[i,pr[i]-t[j]%pr[i]+1]=0);
      print1(pr[i], " ");
      nm=0;
      for(j=1,pr[i], if(m[i,j]!=0, nm++));
      if(nm==0, print("-- ERROR! Not avaible modules."); break);
   );
   print;
}

Её вывод для двух чуть разных разных паттернов:

n=24: [0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84, 90, 94, 96, 100]
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

n=24: [0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84, 90, 94, 96, 102]
3 5 7 11 -- ERROR! Not avaible modules.

Второй паттерн не проходит по вычету/модулю 11.

-- 28.06.2019, 13:01 --

Skipper в сообщении #1402017 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1401970 писал(а):

Я только что перепроверил это (... своей программой до $10^{20}$)

Я вообще не понимаю, как это можно достаточно быстро проверить всё до $10^{20} $ , это же сколько операций надо совершить.. У вас там что, программа на супер-компьютере с миллионами процессоров работает?

Нет, но проверка по паттерну замечательна тем что вовсе не надо проверять все простые числа в указанном диапазоне, паттерн ОЧЕНЬ сильно ограничивает список допустимых простых чисел, с которых он (кортеж) может начинаться. Например для указанного мной выше паттерна длиной 24 и диаметром 100 среди последовательных 200 миллиардов чисел возможны лишь 640 вариантов кортежа, их и надо проверить на простоту входящих в кортеж чисел. И проверив всего лишь $640\cdot24=15360$ чисел на простоту мы исключаем весь интервал в 200 миллиардов. А моя программа использует и ещё бОльшие интервалы, например для этого паттерна интервал проверки составил $615\cdot10^{15}$, в котором проверяется менее 100 миллионов кортежей. Программа активно пользуется AVX2 (кусок написан на асме) и проверяет в среднем больше миллиарда кортежей в секунду (4 ядра на 3.5ГГц), что для этого паттерна даёт более $3\cdot10^{22}$ чисел в час.