Распределение групп (кортежей) простых чисел с разностями (2, 4, 2, 4) и (4, 2, 4, 2)
Среди последовательных простых чисел есть группы (кортежи) с разностями между ними
(2, 4, 2, 4) и (4, 2, 4, 2), например,(11, 13, 17, 19, 23) или (97, 101, 103, 107, 109).
Будем рассматривать эти группы в ПСВ по модулю
![$M=p_r\#$ $M=p_r\#$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/1/f511d8dd1df62b2f13bc9abc88735fc182.png)
, где такие
группы могут состоять не только из простых чисел, но и из вычетов данной ПСВ.
Приведенная группа
![$E[5]=(0, 2, 6, 8, 12)$ $E[5]=(0, 2, 6, 8, 12)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/5/5d5d13e3dd4bb785243880cce13311c482.png)
или
![$E[5]=(0, 4, 6, 10, 12) $ $E[5]=(0, 4, 6, 10, 12) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/7/e374f5f56afbc59f654f3b21de760d5182.png)
Число таких групп в ПСВ(М) равно
![$\varphi_5(M)=\prod_7^p(p-5),\;p\mid M(p_r)$ $\varphi_5(M)=\prod_7^p(p-5),\;p\mid M(p_r)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/c/27cd4a81f64db61965668534c9c3d81c82.png)
.
Это функция Эйлера 5-го порядка.
Особенности таких групп.
1. Для
![$E[5]=(2, 4, 2, 4)$ $E[5]=(2, 4, 2, 4)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/a/67ad880336df58465cf63c29fe47484182.png)
второй и четвертый вычеты вида
![$6n + 1$ $6n + 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/5/c95b9175166bdd4cb4c57cd3500b827682.png)
, остальные
![$6m - 1$ $6m - 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/2/e520ce8b0749f20c8f91538142042aed82.png)
.
Для
![$E[5]=(4, 2, 4, 2)$ $E[5]=(4, 2, 4, 2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/c/cec02cdc05dc949f879e30d36d7c4ee082.png)
второй и четвертый вычеты вида
![$6m - 1,$ $6m - 1,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/8/2f87046e50bfdd8f75a3c1d21ee83bb082.png)
остальные
![$6n + 1$ $6n + 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/5/c95b9175166bdd4cb4c57cd3500b827682.png)
.
2. Для
![$E[5]=(2, 4, 2, 4)$ $E[5]=(2, 4, 2, 4)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/a/67ad880336df58465cf63c29fe47484182.png)
чередование последних цифр вычетов (1, 3, 7, 9, 3).
Для
![$E[5]=(4, 2, 4, 2)$ $E[5]=(4, 2, 4, 2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/c/cec02cdc05dc949f879e30d36d7c4ee082.png)
чередование последних цифр вычетов (7, 1, 3, 7, 9).
В ПСВ(210) всего 2 группы
![$E[5]=(2,4,2,4)$ $E[5]=(2,4,2,4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/9/ce9bf086008dbe022266aa5956cced6382.png)
и две группы
![$E[5]=(4,2,4,2)$ $E[5]=(4,2,4,2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/4/5f42c6dc9f4a25d19ecef8851d4d9d0282.png)
Это (11,13,17,19,23),(97,101,103,107,109),(101,103,107,109,113),(187,191,193,197,199)
Для дальнейших рассуждений создадим группу (кортеж) из двух групп
![$E[5]$ $E[5]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/0/4d00eb94a5531bf4debc1166dc676ea082.png)
при
симметричном расположении вычетов.
![$Q[10]=(4,2,4,2,d,2,4,2,4)
$ $Q[10]=(4,2,4,2,d,2,4,2,4)
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/9/aa95e6e3711944d77b82179fea7669d882.png)
или
![$Q[10]=(2,4,2,4,d,4,2,4,2)
$ $Q[10]=(2,4,2,4,d,4,2,4,2)
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/2/6e252a5191541ba9d4845f80fadb0b5a82.png)
с общей разностью
![$2p_t$ $2p_t$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/4/dd4943136c910cf2361db819e2c81b3e82.png)
, где
![$p_t$ $p_t$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/7/fb71038316827ef9d7cbe35f7b614d4c82.png)
из интервала простых чисел ПСВ, т.е.
![$p_{r+1}\leqslant {p_t-12}<p_t<p_{r+1}^2$ $p_{r+1}\leqslant {p_t-12}<p_t<p_{r+1}^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/b/f1bbb271829db110877a11f4a6e134c082.png)
Выберем группу
![$Q[10]=(4, 2, 4, 2, d, 2, 4, 2, 4)$ $Q[10]=(4, 2, 4, 2, d, 2, 4, 2, 4)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/e/95ea14320799942b8d994bd8ccbae1dc82.png)
Получим приведенную группу
![$Q[10]=(0, 4, 6, 10, 12, 2p_t-12, 2p_t-10, 2p_t-6, 2p_t-4, 2p_t)
$ $Q[10]=(0, 4, 6, 10, 12, 2p_t-12, 2p_t-10, 2p_t-6, 2p_t-4, 2p_t)
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/1/9215adbefc5d18534ac7b6218539f33582.png)
В ПСВ с минимальными по абсолютной величине вычетами эту группу можно представить
![$Q[10]=(-p,-p+4,-p+6,-p+10,-p+12,p-12,p-10,p-6,p-4,p)$ $Q[10]=(-p,-p+4,-p+6,-p+10,-p+12,p-12,p-10,p-6,p-4,p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30cf0ec2f3c2b57898ee644b7901be882.png)
,
которая расположена в центре интервала простых чисел ПСВ.
Например, в ПСВ(210)
![$Q[10]=(-23,-19,-17,-13,-11,+11,+13,+17,+19,+23)
$ $Q[10]=(-23,-19,-17,-13,-11,+11,+13,+17,+19,+23)
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/d/19d01ecf7557b06c01143f2a42619a8882.png)
В ПСВ(2310)
![$Q[10]=(-113,-109,-107,-103,-101,+101,+103,+107,+109,+113)
$ $Q[10]=(-113,-109,-107,-103,-101,+101,+103,+107,+109,+113)
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/9/98916aee6d095c2767f29d2923a0ebe182.png)
Проходимость такой группы в ПСВ надо проверить по модулям
![$p=3,\;p=5,\;p=7.$ $p=3,\;p=5,\;p=7.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/b/f9bf311922534dbd66cd210d39742ae382.png)
По модулю
![$p=3,\;K(3)=3+m(3)-10.$ $p=3,\;K(3)=3+m(3)-10.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/6/1b6ff858683f61f317c4673511ae367c82.png)
В группе
![$Q[10]$ $Q[10]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/04163c4458504f1652c5cb8f6eb691be82.png)
есть 5 вычетов
![$6n +1$ $6n +1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/6/97668c2d7d7e7e51c49222c2b4f6882182.png)
и 5 вычетов
![$6m-1$ $6m-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/f/bafa97e61ab928cf597c4a973767772882.png)
сравнимых между собой
по модулю
![$p=3,$ $p=3,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/a/a7a8d7cebf96d7fdb0eebc2cff37806882.png)
следовательно,
![$m(3)=8,\;K(3)=3+8-10=1.$ $m(3)=8,\;K(3)=3+8-10=1.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/f/a5f419a7cd4cdd76dd652c63eb04911b82.png)
По модулю
![$p=5,\;K(5)=5+m(5)-10.$ $p=5,\;K(5)=5+m(5)-10.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/b/4ebd88a68ddc2118183b7f55e83a7b7a82.png)
В группе
![$Q[10]$ $Q[10]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/04163c4458504f1652c5cb8f6eb691be82.png)
есть два вычета
![$10m+1$ $10m+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/f/e3f8183e5887af698f899c3eb8edfdc582.png)
, три вычета
![$10n+3$ $10n+3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/d/93ddd8ddad1703fe5c68e576c21c1e9682.png)
, три вычета
![$10x+7,$ $10x+7,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/3/9134787e7c67a5da4c9f72cf31eaa3dd82.png)
два вычета
![$10y+9,$ $10y+9,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/1/701cb5209bf97e82656d3c25f07b22c382.png)
сравнимые между собой по модулю
![$p=5,$ $p=5,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/2/d32154bf77c5b0a9c8c8cd8c093e3ddc82.png)
т.е.
![$m(5)=6,\;K(5)=5+6-10=1.$ $m(5)=6,\;K(5)=5+6-10=1.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/a/d0a4abc68afacb4a4924f63fb6cb855782.png)
По модулю
![$p=7,\;K(p)=7+m(p)-10.$ $p=7,\;K(p)=7+m(p)-10.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/5/ca57774b78166ba670010bfc3374e76d82.png)
В группе
![$Q[10]$ $Q[10]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/04163c4458504f1652c5cb8f6eb691be82.png)
есть 4 пары вычетов, сравнимых по модулю
![$p=7,\;m(7)=4$ $p=7,\;m(7)=4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/a/40a7cde1ce79dcff4e029b4448b0995c82.png)
![$K(7)=7+4-10=1$ $K(7)=7+4-10=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/4/094cd00eb75626724119ed745274103c82.png)
Например, сравнивая вычеты натуральной группы, имеем
![$+19-(-23)=42,\;+23-(-10)=42,\;+11-(-17)=28,\;+17-(-11)=28$ $+19-(-23)=42,\;+23-(-10)=42,\;+11-(-17)=28,\;+17-(-11)=28$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/4/a2426b679ebb3ace842eb5a597f0607d82.png)
или
![$+109-(-101)=210,\;+101-(-109)=210,\;+103-(-107)=210
$ $+109-(-101)=210,\;+101-(-109)=210,\;+103-(-107)=210
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/f/76fef9ee419a91f84cbb20b1ca69317882.png)
,
![$+107-(-103)=210$ $+107-(-103)=210$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/d/80d75266ff1600f63c16f4eefd12706382.png)
По модулям
![$p>7$ $p>7$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/7/5177d69583ea08dd22b76740a43d618d82.png)
эта группа безусловно проходит в ПСВ.
Это означает, что такие группы (кортежи) типа
![$Q[10]$ $Q[10]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/04163c4458504f1652c5cb8f6eb691be82.png)
существуют в любой ПСВ.
Остается доказать, что число групп
![$Q[10]$ $Q[10]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/04163c4458504f1652c5cb8f6eb691be82.png)
в ПСВ нечетное.
Число групп (кортежей) вычетов
![$Q[10]$ $Q[10]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/04163c4458504f1652c5cb8f6eb691be82.png)
в ПСВ(M) определяется по формуле
![$A_{10}\varphi_{10}(M)=A_{10}\prod_{11}^p(p-10),\;p\mid M$ $A_{10}\varphi_{10}(M)=A_{10}\prod_{11}^p(p-10),\;p\mid M$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/e/20e582db3b271dbfe7a1d007f10d9b5e82.png)
, где
![$\varphi_{10}(M)$ $\varphi_{10}(M)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/c/f0cb07f62b7ea4391f8acdbab15a179482.png)
функция Эйлера десятого порядка.
![$A_{10}=\prod{K(p)}/{\varphi_{10}(p)}$ $A_{10}=\prod{K(p)}/{\varphi_{10}(p)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/9/2c98f9f13a1f924b3ac7e52cdcf15a5782.png)
- коэффициент проходимости группы
![$Q[10]$ $Q[10]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/04163c4458504f1652c5cb8f6eb691be82.png)
, здесь
![$K(p)=p+m(p)-10
$ $K(p)=p+m(p)-10
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/f/fbf15a7a451f3c487f88b5138b1a9b4382.png)
- проходимость группы по модулю
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
нечетная при четном
![$m(p)$ $m(p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/9/c3913a8aac129b8327e4355b16d717b882.png)
Функции
![$\varphi_{10}(p),\;\varphi_{10}(M)$ $\varphi_{10}(p),\;\varphi_{10}(M)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/2/8e253b1f8ed8e8b49ebc5fcd37b0518282.png)
- нечетные.
Для определения
![$m(p)$ $m(p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/9/c3913a8aac129b8327e4355b16d717b882.png)
необходимо найти все возможные сравнимые вычеты группы
![$Q{10}.$ $Q{10}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/2/6120b71f5ee97724efffdc949b9b076c82.png)
Расположим вычеты группы в следующем порядке.
В первой колонке находятся вычеты группы в порядке убывания сравнимые с 0.
В последующих колонках расположены вычеты, подлежащие сравнению
с вычетами первой колонки
![$2p_t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10\;\;\;\;\;\;2p_t-6\;\;\;\;\;\;2p_t-4
$ $2p_t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10\;\;\;\;\;\;2p_t-6\;\;\;\;\;\;2p_t-4
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/2/132f3410507ccd7d0372b652a08df3c082.png)
![$2p_t-4\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10\;\;\;\;\;\;2p_t-6$ $2p_t-4\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10\;\;\;\;\;\;2p_t-6$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/2/da22bb905654a53f39e6738f4acfe4cf82.png)
![$2p_t-6\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10$ $2p_t-6\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/a/60a6b4c8c41a75f890e18d7e412ed13d82.png)
![$2p_t-10\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12$ $2p_t-10\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/2967a8b188d6fc17528a14a3479275c182.png)
![$2p_t-12\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12$ $2p_t-12\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/d/18d6d4d1f51eb9376bc6165fe5eb1f6b82.png)
![$\;12\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10$ $\;12\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/a/c1a0941f606d8f55b04d12c05fc1458f82.png)
![$\;10\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6$ $\;10\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e71e40a4057acd340915cc4353f918cf82.png)
![$\;\;6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4$ $\;\;6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/6/d968011a7bd9c3e9758782d6119266c182.png)
![$\;\;4$ $\;\;4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/a/6aa3b09564acaa82fdec332ec5a6199882.png)
Т.к. вычеты группы четные, то для упрощения вычислений делим их на 2.
Все вычисления оставляем читателю и приводим окончательный результат, т.е.
число (в скобках) сравнимых вычетов по следующим модулям.
Парные модули.
![$p_t-2(2),\;p_t-3(2),\;p_t-5(4),\;p_t-7(2),\;p_t-8(4),\;p_t-9(2),\;p_t-11(2)$ $p_t-2(2),\;p_t-3(2),\;p_t-5(4),\;p_t-7(2),\;p_t-8(4),\;p_t-9(2),\;p_t-11(2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/9/f69c97311d11fd702cd33fc0db1667d682.png)
![$12(2),\;10(2),\;8(2),\;6(6),\;4(4),\;2(4)$ $12(2),\;10(2),\;8(2),\;6(6),\;4(4),\;2(4)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/61708ed6141e37390e2b4fefc985332382.png)
Непарные модули
![$p_t(1),\;p_t-4(1),\;p_t-6(3),\;p_t-10(1),\;p_t-12(1)$ $p_t(1),\;p_t-4(1),\;p_t-6(3),\;p_t-10(1),\;p_t-12(1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/b/bcb37be398940254cf96f500ea59b2cb82.png)
являются
вычетами группы Q[10] взаимно простые с модулем
![$M(p_r)$ $M(p_r)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/3/f733b26d42238783d6d86fb6a7a970e082.png)
и мы их не учитываем.
Остальные только парные модули, т.е. получаем
![$m(p)=2k$ $m(p)=2k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/3/903f3c5d8d71897bb73c9670f766f57682.png)
, отсюда проходимость
группы
![$K(p)=p +2k-10$ $K(p)=p +2k-10$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/0/9501c16003f27cd17c0808d7254e752c82.png)
нечетная, следовательно число групп
![$Q[10]$ $Q[10]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/04163c4458504f1652c5cb8f6eb691be82.png)
в ПСВ
нечетное и одна группа находится в центре интервала простых чисел любой ПСВ.