2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение30.07.2017, 12:17 


19/07/17

20
vorvalm в сообщении #1236787 писал(а):
Я на вас удивляюсь не меньше
В вашей формуле $2N=P_j\pm P_i$ при знаках (+) и (-) должны быть разные индексы простых чисел.

Всё зависит от прочтения знака $\pm$. По контексту он читается как "или". Для устранения разночтений формулу можно записать в виде:
$2N=P_j  +/-  P_i$. Уж здесь то читается: хоть сумма, хоть разность каких-то простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение30.07.2017, 12:37 


31/12/10
1555
Формула не должна допускать разночтения

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение30.07.2017, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
CherkasovMY
По поводу представления чётного числа в виде разности простых чисел. Это действительно известная открытая проблема и, вероятно, не менее сложная, чем проблема Гольдбаха. В этой знаменитой книге в по-детски занимательной форме объясняется эта проблема (сама книга, конечно, не о ней).

(Манипуляции с формулами из трёх букв на уровне средних классов школы вряд ли нуждаются в комментариях.)

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение12.02.2018, 13:50 


31/12/10
1555
Распределение групп (кортежей) простых чисел с разностями (2, 4, 2, 4) и (4, 2, 4, 2)

Среди последовательных простых чисел есть группы (кортежи) с разностями между ними
(2, 4, 2, 4) и (4, 2, 4, 2), например,(11, 13, 17, 19, 23) или (97, 101, 103, 107, 109).
Будем рассматривать эти группы в ПСВ по модулю $M=p_r\#$, где такие
группы могут состоять не только из простых чисел, но и из вычетов данной ПСВ.
Приведенная группа $E[5]=(0, 2, 6, 8, 12)$ или $E[5]=(0, 4, 6, 10, 12) $
Число таких групп в ПСВ(М) равно $\varphi_5(M)=\prod_7^p(p-5),\;p\mid M(p_r)$.
Это функция Эйлера 5-го порядка.
Особенности таких групп.
1. Для $E[5]=(2, 4, 2, 4)$ второй и четвертый вычеты вида $6n + 1$, остальные $6m - 1$.
Для $E[5]=(4, 2, 4, 2)$ второй и четвертый вычеты вида $6m - 1,$ остальные $6n + 1$.
2. Для $E[5]=(2, 4, 2, 4)$ чередование последних цифр вычетов (1, 3, 7, 9, 3).
Для $E[5]=(4, 2, 4, 2)$ чередование последних цифр вычетов (7, 1, 3, 7, 9).

В ПСВ(210) всего 2 группы $E[5]=(2,4,2,4)$ и две группы $E[5]=(4,2,4,2)$
Это (11,13,17,19,23),(97,101,103,107,109),(101,103,107,109,113),(187,191,193,197,199)

Для дальнейших рассуждений создадим группу (кортеж) из двух групп $E[5]$ при
симметричном расположении вычетов.
$Q[10]=(4,2,4,2,d,2,4,2,4)
$ или $Q[10]=(2,4,2,4,d,4,2,4,2)
$
с общей разностью $2p_t$, где $p_t$ из интервала простых чисел ПСВ, т.е.
$p_{r+1}\leqslant {p_t-12}<p_t<p_{r+1}^2$

Выберем группу $Q[10]=(4, 2, 4, 2, d, 2, 4, 2, 4)$
Получим приведенную группу $Q[10]=(0, 4, 6, 10, 12, 2p_t-12, 2p_t-10, 2p_t-6, 2p_t-4, 2p_t)
$
В ПСВ с минимальными по абсолютной величине вычетами эту группу можно представить

$Q[10]=(-p,-p+4,-p+6,-p+10,-p+12,p-12,p-10,p-6,p-4,p)$,

которая расположена в центре интервала простых чисел ПСВ.
Например, в ПСВ(210) $Q[10]=(-23,-19,-17,-13,-11,+11,+13,+17,+19,+23)
$
В ПСВ(2310) $Q[10]=(-113,-109,-107,-103,-101,+101,+103,+107,+109,+113)
$

Проходимость такой группы в ПСВ надо проверить по модулям $p=3,\;p=5,\;p=7.$

По модулю $p=3,\;K(3)=3+m(3)-10.$
В группе $Q[10]$ есть 5 вычетов $6n +1$ и 5 вычетов $6m-1$ сравнимых между собой
по модулю $p=3,$ следовательно, $m(3)=8,\;K(3)=3+8-10=1.$

По модулю $p=5,\;K(5)=5+m(5)-10.$
В группе $Q[10]$ есть два вычета $10m+1$, три вычета $10n+3$, три вычета $10x+7,$
два вычета $10y+9,$ сравнимые между собой по модулю $p=5,$ т.е.
$m(5)=6,\;K(5)=5+6-10=1.$

По модулю $p=7,\;K(p)=7+m(p)-10.$
В группе $Q[10]$ есть 4 пары вычетов, сравнимых по модулю $p=7,\;m(7)=4$
$K(7)=7+4-10=1$
Например, сравнивая вычеты натуральной группы, имеем
$+19-(-23)=42,\;+23-(-10)=42,\;+11-(-17)=28,\;+17-(-11)=28$ или
$+109-(-101)=210,\;+101-(-109)=210,\;+103-(-107)=210
$,
$+107-(-103)=210$

По модулям $p>7$ эта группа безусловно проходит в ПСВ.
Это означает, что такие группы (кортежи) типа $Q[10]$ существуют в любой ПСВ.
Остается доказать, что число групп $Q[10]$ в ПСВ нечетное.

Число групп (кортежей) вычетов $Q[10]$ в ПСВ(M) определяется по формуле

$A_{10}\varphi_{10}(M)=A_{10}\prod_{11}^p(p-10),\;p\mid M$, где $\varphi_{10}(M)$ функция Эйлера десятого порядка.

$A_{10}=\prod{K(p)}/{\varphi_{10}(p)}$ - коэффициент проходимости группы $Q[10]$, здесь
$K(p)=p+m(p)-10
$ - проходимость группы по модулю $p$ нечетная при четном $m(p)$
Функции $\varphi_{10}(p),\;\varphi_{10}(M)$ - нечетные.
Для определения $m(p)$ необходимо найти все возможные сравнимые вычеты группы $Q{10}.$

Расположим вычеты группы в следующем порядке.
В первой колонке находятся вычеты группы в порядке убывания сравнимые с 0.
В последующих колонках расположены вычеты, подлежащие сравнению
с вычетами первой колонки

$2p_t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10\;\;\;\;\;\;2p_t-6\;\;\;\;\;\;2p_t-4
$

$2p_t-4\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10\;\;\;\;\;\;2p_t-6$

$2p_t-6\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10$

$2p_t-10\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12$

$2p_t-12\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12$

$\;12\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10$

$\;10\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6$

$\;\;6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4$

$\;\;4$

Т.к. вычеты группы четные, то для упрощения вычислений делим их на 2.
Все вычисления оставляем читателю и приводим окончательный результат, т.е.
число (в скобках) сравнимых вычетов по следующим модулям.
Парные модули.
$p_t-2(2),\;p_t-3(2),\;p_t-5(4),\;p_t-7(2),\;p_t-8(4),\;p_t-9(2),\;p_t-11(2)$

$12(2),\;10(2),\;8(2),\;6(6),\;4(4),\;2(4)$

Непарные модули $p_t(1),\;p_t-4(1),\;p_t-6(3),\;p_t-10(1),\;p_t-12(1)$ являются
вычетами группы Q[10] взаимно простые с модулем $M(p_r)$ и мы их не учитываем.
Остальные только парные модули, т.е. получаем $m(p)=2k$, отсюда проходимость
группы $K(p)=p +2k-10$ нечетная, следовательно число групп $Q[10]$ в ПСВ
нечетное и одна группа находится в центре интервала простых чисел любой ПСВ.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение13.02.2018, 12:43 


23/02/12
3217
vorvalm в сообщении #1292000 писал(а):
Распределение групп (кортежей) простых чисел с разностями (2, 4, 2, 4) и (4, 2, 4, 2)
одна группа находится в центре интервала простых чисел любой ПСВ.

А где распределение групп (кортежей) простых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение13.02.2018, 18:31 


31/12/10
1555
vorvalm в сообщении #1292000 писал(а):
одна группа находится в центре интервала простых чисел любой ПСВ.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение14.02.2018, 12:50 


23/02/12
3217
Я про название сообщения. Один кортеж, состоящий из простых чисел - это не распределение кортежей простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение15.02.2018, 10:19 


31/12/10
1555
vicvolf в сообщении #1292422 писал(а):
Один кортеж, состоящий из простых чисел - это не распределение кортежей простых чисел.

ПСВ по модулю $M=p_r\#$ представляет собой прошедший через решето Эратосфена
праймориал $p_r\#.$
Если в каждой ПСВ есть как минимум одна группа (кортеж) из простых чисел типа $E[5]=(2,4,2,4)$
или $E[5]=(4,2,4,2)$, то зто уже говорит об определенном
распределении таких групп в натуральном ряду

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение27.10.2018, 12:07 


31/12/10
1555
Интересные формулы

$$\pi(x^n)\sim\frac{x^{n-1}}{n}\pi(x)$$

$$\pi_2(x^n)\sim\frac{x^{n-1}}{n^2}\pi_2(x)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение27.10.2018, 12:48 


23/02/12
3217
vorvalm А откуда взяты формулы? Пожалуйста, ссылку или вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение27.10.2018, 14:10 


31/12/10
1555
Элементарно

$$\pi(x^n)\sim\frac{x^n}{\ln(x^n)}=\frac{x^{n-1}}{n}\frac{x}{ \ln x}=\frac{x^{n-1}}{n}\pi (x)$$

аналогично и вторая формула

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение22.06.2019, 15:24 


31/12/10
1555
Задача Эйлера

Всем, знакомым с теорией чисел, известен случай с Эйлером, когда
он доказал, что число Ферма №5= 2^{32}+1$
является составным не вычисляя самого числа.
Этот случай стал обрастать различным инсинуациями, доходящими до абсурда.
Некоторые авторы пишут, что Эйлер был вынужден применить этот метод,
так как не мог вычислить это число.
А число то (4 294 967 297) не представляло никакой сложности для Эйлера.
Скорее всего Эйлер решил отказаться от решета Эратосфена и использовать метод
сравнений по модулю со степенными вычетами.
По моему Эйлер шел таким путем. Это число Ферма №5 представляем
степенным сравнением

$2^{32}+1(\mod p)=0$
или $ 2^{32}\equiv -1(\mod p) $ (1)

Сравнение с −1 неудобно для дальнейших вычислений , поэтому
возводим это сравнение в квадрат и получим

$2^{64}\equiv 1(\mod p)$ (2)

Это сравнение выполняется при $64n=p -1 $, т.е. мы возводим сравнение в степень n ,
которая должна быть четной, т.к. нам надо находить квадратичный вычет
от этого сравнения, следовательно, получим

$p=128k+1$ (3)

Остается найти минимальное простое число p
, которое удовлетворяло бы сравнения (2) и (1)

$2^{64n}\equiv 1(\mod p) $ (4)

Подставляем последовательно натуральные значения k в (3)
и находим при $ k=2,p=257$, но при данном p не выполняется сравнение (1)
При $ k=3$ и $k=4$ простых чисел нет.
Берем $ k=5, p=641$ и будем иметь

$2^{640}\equiv 1(\mod{641})$
или $2^{64}\equiv 1(\mod{641})
$

получим квадратичный вычет

$2^{32}\equiv -1(\mod{641})$ или $2^{32}+1(\mod {641})=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.06.2019, 15:14 


23/02/12
3217
vorvalm в сообщении #1400802 писал(а):
Задача Эйлера
А какое это имеет отношение к проблеме Гольдбаха?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.06.2019, 16:57 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
vorvalm
$2^{64}\equiv 1\pmod p$
2^{64}\equiv 1\pmod p

Если вместо p будет много символов, придётся писать \pmod{...}: $3\equiv 43\pmod{40}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение25.06.2019, 17:35 


31/12/10
1555
vicvolf в сообщении #1401471 писал(а):
vorvalm в сообщении #1400802 писал(а):
Задача Эйлера
А какое это имеет отношение к проблеме Гольдбаха?

Самое непосредственное.
Гольдбах предложил Эйлеру гипотезу суммы трех простых чисел, но Эйлер
усилил ее суммой двух простых.

-- Вт июн 25, 2019 17:44:36 --

arseniiv в сообщении #1401489 писал(а):
vorvalm
$2^{64}\equiv 1\pmod p$
2^{64}\equiv 1\pmod p

Если вместо p будет много символов, придётся писать \pmod{...}: $3\equiv 43\pmod{40}$.

Извините, но можно подробнее ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 271 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group