О проблеме Гольдбаха

[CherkasovMY]

vorvalm в сообщении #1236787 писал(а):

Я на вас удивляюсь не меньше
В вашей формуле $2N=P_j\pm P_i$ при знаках (+) и (-) должны быть разные индексы простых чисел.

Всё зависит от прочтения знака $\pm$. По контексту он читается как "или". Для устранения разночтений формулу можно записать в виде:
$2N=P_j +/- P_i$. Уж здесь то читается: хоть сумма, хоть разность каких-то простых чисел.

[vorvalm]

Формула не должна допускать разночтения

[grizzly]

CherkasovMY
По поводу представления чётного числа в виде разности простых чисел. Это действительно известная открытая проблема и, вероятно, не менее сложная, чем проблема Гольдбаха. В этой знаменитой книге в по-детски занимательной форме объясняется эта проблема (сама книга, конечно, не о ней).

(Манипуляции с формулами из трёх букв на уровне средних классов школы вряд ли нуждаются в комментариях.)

[vorvalm]

Распределение групп (кортежей) простых чисел с разностями (2, 4, 2, 4) и (4, 2, 4, 2)

Среди последовательных простых чисел есть группы (кортежи) с разностями между ними
(2, 4, 2, 4) и (4, 2, 4, 2), например,(11, 13, 17, 19, 23) или (97, 101, 103, 107, 109).
Будем рассматривать эти группы в ПСВ по модулю $M=p_r\#$, где такие
группы могут состоять не только из простых чисел, но и из вычетов данной ПСВ.
Приведенная группа $E[5]=(0, 2, 6, 8, 12)$ или $E[5]=(0, 4, 6, 10, 12) $
Число таких групп в ПСВ(М) равно $\varphi_5(M)=\prod_7^p(p-5),\;p\mid M(p_r)$.
Это функция Эйлера 5-го порядка.
Особенности таких групп.
1. Для $E[5]=(2, 4, 2, 4)$ второй и четвертый вычеты вида $6n + 1$, остальные $6m - 1$.
Для $E[5]=(4, 2, 4, 2)$ второй и четвертый вычеты вида $6m - 1,$ остальные $6n + 1$.
2. Для $E[5]=(2, 4, 2, 4)$ чередование последних цифр вычетов (1, 3, 7, 9, 3).
Для $E[5]=(4, 2, 4, 2)$ чередование последних цифр вычетов (7, 1, 3, 7, 9).

В ПСВ(210) всего 2 группы $E[5]=(2,4,2,4)$ и две группы $E[5]=(4,2,4,2)$
Это (11,13,17,19,23),(97,101,103,107,109),(101,103,107,109,113),(187,191,193,197,199)

Для дальнейших рассуждений создадим группу (кортеж) из двух групп $E[5]$ при
симметричном расположении вычетов.
$Q[10]=(4,2,4,2,d,2,4,2,4) $ или $Q[10]=(2,4,2,4,d,4,2,4,2) $
с общей разностью $2p_t$, где $p_t$ из интервала простых чисел ПСВ, т.е.
$p_{r+1}\leqslant {p_t-12}<p_t<p_{r+1}^2$

Выберем группу $Q[10]=(4, 2, 4, 2, d, 2, 4, 2, 4)$
Получим приведенную группу $Q[10]=(0, 4, 6, 10, 12, 2p_t-12, 2p_t-10, 2p_t-6, 2p_t-4, 2p_t) $
В ПСВ с минимальными по абсолютной величине вычетами эту группу можно представить

$Q[10]=(-p,-p+4,-p+6,-p+10,-p+12,p-12,p-10,p-6,p-4,p)$,

которая расположена в центре интервала простых чисел ПСВ.
Например, в ПСВ(210) $Q[10]=(-23,-19,-17,-13,-11,+11,+13,+17,+19,+23) $
В ПСВ(2310) $Q[10]=(-113,-109,-107,-103,-101,+101,+103,+107,+109,+113) $

Проходимость такой группы в ПСВ надо проверить по модулям $p=3,\;p=5,\;p=7.$

По модулю $p=3,\;K(3)=3+m(3)-10.$
В группе $Q[10]$ есть 5 вычетов $6n +1$ и 5 вычетов $6m-1$ сравнимых между собой
по модулю $p=3,$ следовательно, $m(3)=8,\;K(3)=3+8-10=1.$

По модулю $p=5,\;K(5)=5+m(5)-10.$
В группе $Q[10]$ есть два вычета $10m+1$, три вычета $10n+3$, три вычета $10x+7,$
два вычета $10y+9,$ сравнимые между собой по модулю $p=5,$ т.е.
$m(5)=6,\;K(5)=5+6-10=1.$

По модулю $p=7,\;K(p)=7+m(p)-10.$
В группе $Q[10]$ есть 4 пары вычетов, сравнимых по модулю $p=7,\;m(7)=4$
$K(7)=7+4-10=1$
Например, сравнивая вычеты натуральной группы, имеем
$+19-(-23)=42,\;+23-(-10)=42,\;+11-(-17)=28,\;+17-(-11)=28$ или
$+109-(-101)=210,\;+101-(-109)=210,\;+103-(-107)=210 $,
$+107-(-103)=210$

По модулям $p>7$ эта группа безусловно проходит в ПСВ.
Это означает, что такие группы (кортежи) типа $Q[10]$ существуют в любой ПСВ.
Остается доказать, что число групп $Q[10]$ в ПСВ нечетное.

Число групп (кортежей) вычетов $Q[10]$ в ПСВ(M) определяется по формуле

$A_{10}\varphi_{10}(M)=A_{10}\prod_{11}^p(p-10),\;p\mid M$, где $\varphi_{10}(M)$ функция Эйлера десятого порядка.

$A_{10}=\prod{K(p)}/{\varphi_{10}(p)}$ - коэффициент проходимости группы $Q[10]$, здесь
$K(p)=p+m(p)-10 $ - проходимость группы по модулю $p$ нечетная при четном $m(p)$
Функции $\varphi_{10}(p),\;\varphi_{10}(M)$ - нечетные.
Для определения $m(p)$ необходимо найти все возможные сравнимые вычеты группы $Q{10}.$

Расположим вычеты группы в следующем порядке.
В первой колонке находятся вычеты группы в порядке убывания сравнимые с 0.
В последующих колонках расположены вычеты, подлежащие сравнению
с вычетами первой колонки

$2p_t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10\;\;\;\;\;\;2p_t-6\;\;\;\;\;\;2p_t-4 $

$2p_t-4\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10\;\;\;\;\;\;2p_t-6$

$2p_t-6\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12\;\;\;\;\;\;2p_t-10$

$2p_t-10\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12\;\;\;\;\;\;2p_t-12$

$2p_t-12\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10\;\;\;\;\;\;12$

$\;12\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6\;\;\;\;\;\;10$

$\;10\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\;\;\;\;\;\;6$

$\;\;6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4$

$\;\;4$

Т.к. вычеты группы четные, то для упрощения вычислений делим их на 2.
Все вычисления оставляем читателю и приводим окончательный результат, т.е.
число (в скобках) сравнимых вычетов по следующим модулям.
Парные модули.
$p_t-2(2),\;p_t-3(2),\;p_t-5(4),\;p_t-7(2),\;p_t-8(4),\;p_t-9(2),\;p_t-11(2)$

$12(2),\;10(2),\;8(2),\;6(6),\;4(4),\;2(4)$

Непарные модули $p_t(1),\;p_t-4(1),\;p_t-6(3),\;p_t-10(1),\;p_t-12(1)$ являются
вычетами группы Q[10] взаимно простые с модулем $M(p_r)$ и мы их не учитываем.
Остальные только парные модули, т.е. получаем $m(p)=2k$, отсюда проходимость
группы $K(p)=p +2k-10$ нечетная, следовательно число групп $Q[10]$ в ПСВ
нечетное и одна группа находится в центре интервала простых чисел любой ПСВ.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1292000 писал(а):

Распределение групп (кортежей) простых чисел с разностями (2, 4, 2, 4) и (4, 2, 4, 2)
одна группа находится в центре интервала простых чисел любой ПСВ.

А где распределение групп (кортежей) простых чисел?

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #1292000 писал(а):

одна группа находится в центре интервала простых чисел любой ПСВ.

[vicvolf]

Я про название сообщения. Один кортеж, состоящий из простых чисел - это не распределение кортежей простых чисел.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1292422 писал(а):

Один кортеж, состоящий из простых чисел - это не распределение кортежей простых чисел.

ПСВ по модулю $M=p_r\#$ представляет собой прошедший через решето Эратосфена
праймориал $p_r\#.$
Если в каждой ПСВ есть как минимум одна группа (кортеж) из простых чисел типа $E[5]=(2,4,2,4)$
или $E[5]=(4,2,4,2)$, то зто уже говорит об определенном
распределении таких групп в натуральном ряду

[vorvalm]

Интересные формулы

$$\pi(x^n)\sim\frac{x^{n-1}}{n}\pi(x)$$

$$\pi_2(x^n)\sim\frac{x^{n-1}}{n^2}\pi_2(x)$$

[vicvolf]

vorvalm А откуда взяты формулы? Пожалуйста, ссылку или вывод.

[vorvalm]

Элементарно

$$\pi(x^n)\sim\frac{x^n}{\ln(x^n)}=\frac{x^{n-1}}{n}\frac{x}{ \ln x}=\frac{x^{n-1}}{n}\pi (x)$$

аналогично и вторая формула

[vorvalm]

Задача Эйлера

Всем, знакомым с теорией чисел, известен случай с Эйлером, когда
он доказал, что число Ферма №5= 2^{32}+1$
является составным не вычисляя самого числа.
Этот случай стал обрастать различным инсинуациями, доходящими до абсурда.
Некоторые авторы пишут, что Эйлер был вынужден применить этот метод,
так как не мог вычислить это число.
А число то (4 294 967 297) не представляло никакой сложности для Эйлера.
Скорее всего Эйлер решил отказаться от решета Эратосфена и использовать метод
сравнений по модулю со степенными вычетами.
По моему Эйлер шел таким путем. Это число Ферма №5 представляем
степенным сравнением

$2^{32}+1(\mod p)=0$
или $ 2^{32}\equiv -1(\mod p) $ (1)

Сравнение с −1 неудобно для дальнейших вычислений , поэтому
возводим это сравнение в квадрат и получим

$2^{64}\equiv 1(\mod p)$ (2)

Это сравнение выполняется при $64n=p -1 $, т.е. мы возводим сравнение в степень n ,
которая должна быть четной, т.к. нам надо находить квадратичный вычет
от этого сравнения, следовательно, получим

$p=128k+1$ (3)

Остается найти минимальное простое число p
, которое удовлетворяло бы сравнения (2) и (1)

$2^{64n}\equiv 1(\mod p) $ (4)

Подставляем последовательно натуральные значения k в (3)
и находим при $ k=2,p=257$, но при данном p не выполняется сравнение (1)
При $ k=3$ и $k=4$ простых чисел нет.
Берем $ k=5, p=641$ и будем иметь

$2^{640}\equiv 1(\mod{641})$
или $2^{64}\equiv 1(\mod{641}) $

получим квадратичный вычет

$2^{32}\equiv -1(\mod{641})$ или $2^{32}+1(\mod {641})=0$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1400802 писал(а):

Задача Эйлера

А какое это имеет отношение к проблеме Гольдбаха?

[arseniiv]

vorvalm
$2^{64}\equiv 1\pmod p$
2^{64}\equiv 1\pmod p

Если вместо p будет много символов, придётся писать \pmod{...}: $3\equiv 43\pmod{40}$.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1401471 писал(а):

vorvalm в сообщении #1400802 писал(а):

Задача Эйлера

А какое это имеет отношение к проблеме Гольдбаха?

Самое непосредственное.
Гольдбах предложил Эйлеру гипотезу суммы трех простых чисел, но Эйлер
усилил ее суммой двух простых.

-- Вт июн 25, 2019 17:44:36 --

arseniiv в сообщении #1401489 писал(а):

vorvalm
$2^{64}\equiv 1\pmod p$
2^{64}\equiv 1\pmod p

Если вместо p будет много символов, придётся писать \pmod{...}: $3\equiv 43\pmod{40}$.

Извините, но можно подробнее ?