Ряды Фарея и гипотеза Римана

[Lia]

maximk

(Оффтоп)

Какие проблемы у Вас возникли с набором - в отсутствие набранного Вам никто сказать не сможет. Имеет смысл в таких случаях воспроизводить полный исходный код в Тестировании и там спрашивать.

[maximk]

Подскажите пожалуйста, где ошибка.

Имеем следующую вариацию формулы Эйлера-Маклорена (взял из книги Карацубы "Основы аналитической теории чисел").

$\sum\limits_{a}^{b} f(x) = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx + \rho (b) f(b) - \rho (a) f(a) - \int\limits_{a}^{b} \rho(x)f'(x)dx$. Здесь достаточно, чтобы $f(x)$ была непрерывно дифференцируема на $[a,b]$.

$\int\limits_{0}^{1} ({\rho (x)}^{3})'dx=\int\limits_{0}^{1}3\rho^2(x) \rho'(x)dx=\rho^3(1)-\rho^3(0)$.

Выражаю $\int\limits_{0}^{1} \rho^2(x)\rho'(x)dx=\frac{1}{3}(\rho^3(1)-\rho^3(0))$, подставляю в первую формулу при $a=0$, $b=1$, $f(x)=\rho^2(x)$ откуда получаю

$\int\limits_{0}^{1} \rho^2(x)dx=\sum\limits_{0}^{1} \rho^2(x) - (\rho^3(1)-\rho^3(0))+\int\limits_{0}^{1}2\rho^2(x)\rho'(x)dx= \sum\limits_{0}^{1} \rho^2(x) - (\rho^3(1)-\rho^3(0)) + \frac{2}{3}(\rho^3(1)-\rho^3(0)) = \rho^2(0)+\rho^2(1)-(1/3)(\rho^3(1)-\rho^3(0))=5/12$.

Но это противоречит известному результату (упомянутому в статье Стечкина "Ряды Фарея"):

$\int\limits_{0}^{1} \rho(kt)\rho(lt)=(k,l)^2/(12kl)$ для натуральных $k$ и $l$, ибо этот интеграл равен $1/12$ при $k=l=1$.

(Оффтоп)

Дополненный вариант моего предыдущего сообщения.

[maximk]

А если иметь в виду, что функция $\rho(x)$ периодична с периодом 1, то $\int\limits_{0}^{1}\rho^2(kt)dt=\frac{1}{k}\int\limits_{0}^{k}\rho^2(t)dt=\frac{1}{k}k\int\limits_{0}^{1}\rho^2(t)dt=\int\limits_{0}^{1}(t-\frac{1}{2})^2dt=\frac{1}{12}$.

Похоже, нашёл ошибку. Функция $\rho(x)$ не удовлетворяет условиям теоремы.

[maximk]

Хотелось бы уточнить, правильно ли я посчитал следующий интеграл. Подскажите пожалуйста.
Пусть последовательность Фарея $F_n$ порядка $n$ задана так, что она не содержит $0$.

Пусть $h_k \in F_n$, $t \in I$, $A(t)=\sum\limits_{h_k \leqslant t}1$.
Тогда

$\int\limits_{0}^{h_m}A(t)dt=(h_2-h_1)+2(h_3-h_2)+3(h_4-h_3)+...+(m-1)(h_m-h_{m-1}) =-h_1-...-h_{m-1}+(m-1)h_m$

[maximk]

Вопрос по оценке $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

Далее о том, почему эта сумма может быть интересной.

Теорема.

$B(n)=-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}+2$.

Доказательство.


Воспользуемся формулой обращения Мёбиуса (можно найти в статье Стечкина "Ряды Фарея" на 4 странице).
Пусть $H_n$ - последовательность Фарея порядка n.
Пусть $n \in \mathbb{N}$, $f: I=[0,1] \to \mathbb{C}$, $G(k)=\sum\limits_{a=1}^{k}f(\frac{a}{k})$. Тогда $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}{}f(h_\nu)=\sum\limits_{d=1}^{n}G(d)M(\frac{n}{d})$.

Пусть $d(h_\nu)$ - знаменатель дроби $h_\nu \in H_n$, $f(h_\nu)=\frac{1}{d(h_\nu)}$.

Тогда по формуле обращения Мёбиуса имеем $G(d)=\frac{1}{d}+\frac{1}{d}+...+\frac{1}{d}+1=$, где $\frac{1}{d}$ встречается $d-1$ раз, ибо в сумме $\sum\limits_{a=1}^{d}f(\frac{a}{d})$ функция $d(\frac{a}{d})$ принимает значение $d$ для всех дробей $\frac{a}{d}$ за исключением дроби $\frac{d}{d}=1$,$=\frac{(d-1)}{d}+1=-\frac{1}{d}+2$. Тогда $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}f(h_\nu)=\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{d=1}^{n}(-\frac{1}{d}+2)M(\frac{n}{d})=-B(n)+2$.

Покажем, что $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

В последовательности $H_n$ имеем дроби вида $\frac{a}{n}$, где $(a,n)=1$, в количестве $\varphi(n)$ штук.

Так же имеем дроби вида $\frac{a}{n-1}$, где $(a,n-1)=1$, в количестве $\varphi(n-1)$ штук. И так далее.

Т.е. имеем дроби вида $\frac{a}{k}$, где $(a,k)=1$, в количестве $\varphi(k)$ штук для всякого $k \in \left\lbrace1,...,n\right\rbrace$.

Т.е. имеем $\varphi(k)$ штук дробей $h$ со знаменателем $k$, $h \in H_n$, для каждой из которых $d(h)=k$.

Имеем в виду, что $H_n$ состоит из дробей со знаменателями $k$ для каждого $k \in \left\lbrace1,...,n\right\rbrace$, числитель которых взаимно прост со знаменателем.

Значит $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

Выразим $B(n)$ из предыдущей формулы для неё с учётом полученного результата, получим $B(n)=-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}+2$.


Что и требовалось.


Для каждого $n\geqslant n_0$ имеем $|B(n)| \geqslant c\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$ для некоторого $c>0$.

В статье Стечкина "Ряды Фарея" после теоремы 4 указывается, что $S_2(n) \geqslant {n}^{-1}|B(n)|$.

В статье в википедии указано, что $\varphi(n) \geqslant \sqrt{n}$ $\forall n \in \mathbb{N}\backslash\left\lbrace2,6\right\rbrace$.

Используя такую оценку, я повторил результат, указанный в статье Стечкина, а именно результат теоремы 2 при $p=2$: $S_2(n)>{n}^{-\frac{1}{2}}{(\ln n)}^{\frac{1}{2}}$$(n \geqslant n_0)$.

Для этого по индукции показал, что $\sum\limits_{k=1}^{n} {k}^{-\frac{1}{2}} \geqslant \sqrt{n}$. Показать, что эта сумма не менее ${n}^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ мне не удалось (а этого было бы достаточно для опровержения $RH$).

Хотелось бы попытаться усилить этот результат.

В википедии указывается и такая оценка: $\varphi(n)>\frac{\ln2}{2}\frac{n}{\ln n}$ для всех натуральных $n \geqslant 3$.

Если использовать её, то можем получить $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k} > c\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\ln k}$.

А отсюда получить $|B(n)|>C\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\ln k}$ $(C>0)$.

Суть вопроса.

Далее у меня не хватает технических навыков, чтобы оценить эту сумму. Может есть у кого какие идеи? Возможно отсюда можно получить сильную оценку на $|B(n)|$ и в итоге на сумму $S_2(n) \geqslant {n}^{-1}|B(n)|$.

Напоминаю, гипотеза Римана эквивалента $S_2(n)=O({n}^{-\frac{1}{2}+\varepsilon})$ (см. статью Стечкина).

Надеюсь, что при наборе текста не допустил опечаток и неточностей.

[maximk]

Если не ошибаюсь, $\ln k \leqslant {k}^{\varepsilon} (\forall \varepsilon > 0)$.

Тогда $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\ln k} \geqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{k}^{-\varepsilon} \geqslant \int\limits_{1}^{n} {t}^{-\varepsilon}dt=\frac{{n}^{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}-\frac{1}{1-\varepsilon} \geqslant c{n}^{1-\varepsilon}$.

Значит $|B(n)|>C{n}^{1-\varepsilon}$.

Тогда $S_2(n)>{n}^{-1}|B(n)|>C{n}^{-\varepsilon}>C{n}^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}$.

Тогда не выполнено $S_2(n)=O({n}^{-\frac{1}{2}+\varepsilon})$, т.е. не выполнено $RH$.

Наверное где-то ошибся.

[nnosipov]

maximk в сообщении #1401047 писал(а):

Если не ошибаюсь, $\ln k \leqslant {k}^{\varepsilon} (\forall \varepsilon > 0)$.

Ошибаетесь.

[maximk]

А здесь где ошибка?

Имеем для достаточно больших $n$

$\Phi(n)=\frac{3}{{\pi}^{2}}{n}^{2}+O(n\ln n) \geqslant C{n}^{2}$,

$d(h_\nu) \leqslant n \Rightarrow \frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant \frac{1}{n}$.

Тогда, следуя $B(n)=-\sum\limits_{h_\nu \in H_n} \frac{1}{d(h_\nu)}+2$,

$|B(n)|>c\sum\limits_{h_\nu \in H_n} \frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant c\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{n} = c\frac{\Phi(n)}{n} \geqslant C_0 n$.

Тогда $S_2(n)>{n}^{-1}|B(n)| \geqslant C_0$.

Но это противоречит $S_2(n)=o(1)$.

[Ioda]

maximk в сообщении #1401047 писал(а):

Если не ошибаюсь, $\ln k \leqslant {k}^{\varepsilon} (\forall \varepsilon > 0)$.

Наверное вы имели ввиду это:

$$\ln(k)=O(k^\varepsilon)$$

Но из этого ,как вы и сами видите, не следует, то что вам надо.

-- 23.06.2019, 22:46 --

maximk в сообщении #1401073 писал(а):

$|B(n)|>c\sum\limits_{h_\nu \in H_n} \frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant c\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{n} = c\frac{\Phi(n)}{n} \geqslant C_0 n$

По-моему подозрительно выглядит среднее неравенство.

[maximk]

Если $\ln k=O({k}^{\varepsilon})$, то $|\ln k| \leqslant c{k}^{\varepsilon}$.

Значит $\ln k \leqslant c{k}^{\varepsilon}$. Тогда $\frac{1}{\ln k} \geqslant C{k}^{-\varepsilon}$.

Или я что-то путаю?

[Ioda]

maximk в сообщении #1401085 писал(а):

Если $\ln k=O({k}^{\varepsilon})$, то $|\ln k| \leqslant c{k}^{\varepsilon}$.

А дайте определение ,что значит ,что $f(x)=O(g(x))$ ?

[maximk]

maximk в сообщении #1401073 писал(а):

По-моему подозрительно выглядит среднее неравенство.

$d(h_\nu)$ есть знаменатель дроби $h_\nu$.

В последовательности Фарея порядка n (именуемой $H_n$) содержатся только те дроби, знаменатель которых не превосходит $n$, по определению $H_n$.

Значит для любой дроби $h_\nu \in H_n$ её знаменатель, т.е. $d(h_\nu)$, не превосходит $n$, т.е. $d(h_\nu) \leqslant n$, т.е. $\frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant \frac{1}{n}$.

Т.е. это неравенство выполнено для всех $h_\nu \in H_n$.

$d(h_\nu)$ может принимать лишь значения $k \in \left\lbrace 1,...,n \right\rbrace$.

Пример: $H_4=\left\lbrace\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},1\right\rbrace$.

Здесь $d(h_\nu) \leqslant 4 (\forall h_\nu \in H_4)$.

Не понимаю, что здесь может быть подозрительного. Вроде всё на поверхности.

-- 24.06.2019, 00:20 --

Ioda в сообщении #1401087 писал(а):

maximk в сообщении #1401085 писал(а):

Если $\ln k=O({k}^{\varepsilon})$, то $|\ln k| \leqslant c{k}^{\varepsilon}$.

А дайте определение ,что значит ,что $f(x)=O(g(x))$ ?

Функция $f$ является "О" большим от функции $g$ при $x \to x_0$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_0$ имеет место неравенство $|f(x)| \leqslant C|g(x)|$.

[Ioda]

maximk
Просто выражение под суммой, как мне кажется, не зависит от индекса суммы ,а если и зависит ,то не слишком обычно ,либо у вас там опечатка.

$$\sum\limits_{h_\nu\in H_n}^{}n^{-1}$$

[maximk]

Ioda в сообщении #1401097 писал(а):

maximk
Просто выражение под суммой, как мне кажется, не зависит от индекса суммы ,а если и зависит ,то не слишком обычно ,либо у вас там опечатка.

Именно не зависит. В том-то и дело. Я заменяю все $\frac{1}{d(h_\nu)}$ на $\frac{1}{n}$, как вы и заметили.

Покажу на примере с $H_4$: $\sum\limits_{h_\nu \in H_4} \frac{1}{d(h_\nu)} = \frac{1}{d(h_1)}+\frac{1}{d(h_2)}+\frac{1}{d(h_3)}+...+\frac{1}{d(h_6)}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{1} \geqslant \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

Опечатки не вижу.

[Ioda]

maximk
Что за функция $\Phi(n)$ ? Откуда следует равенство ,используемое в цепочке?