2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение08.05.2018, 10:19 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Помогите пожалуйста найти ошибку в случае её присутствия. Надеюсь, что не допустил ошибки при наборе текста.

Далее будем использовать факты, полученные в статье Стечкина "Ряды Фарея" ((1'), (2'), (1*), (1**), (3*), (3)).
Пусть $n\in\mathbb{N}$, $F_n=\left\lbrace\frac{a}{b} | a, b \in \mathbb{N}, 1 \leqslant a\leqslant b\leqslant n, (a,b)=1\right\rbrace$ - ряд Фарея порядка $n$.
Будем считать, что $w_\nu \in F_n$ упорядочены по возрастанию.
Примеры:
$F_3=\left\lbrace\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 1\right\rbrace$,
$F_4=\left\lbrace\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{4}, 1\right\rbrace$.

Имеем $|F_n|=\varphi(1)+\varphi(2)+...+\varphi(n)$, где $\varphi(k)$ - функция Эйлера.

Обозначим $\delta_\nu=\omega_\nu-\frac{\nu}{\Phi}$, $\Phi=|F_n|$, $\omega_\nu \in F_n$ ($\nu=1, ..., \Phi$).

(1') Положим $S_p (n)=(\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}|\delta_\nu|^p)^{1/p}$ ($1\leqslant p<\infty$).

Нам потребуется известная формулировка гипотезы Римана в следующем виде:

(2')$RH \Longleftrightarrow S_2 (n)=O_\varepsilon (n^{-1/2 + \varepsilon})$ ($\forall \varepsilon>0$).

Лемма. Пусть $F_n = \left\lbrace \omega_1, \omega_2, ..., \omega_N\right\rbrace$ - последовательность Фарея, содержащая $0=\omega_1$, $|F_n|=N=\Phi+1$. Тогда $\sum\limits_{\nu=1}^{N}\omega_\nu=\frac{N}{2}$.

Доказательство:
Имеем $|F_n|-1=\sum\limits_{k=1}^{n} \varphi(k)$.
По определению $F_n$ каждая дробь из $F_n \backslash F_{n-1}$ имеет один из двух видов: $\frac{m}{n}, \frac{n-m}{n}$, где $m$ - такое целое число, что $0<m<n$ и числа $m$ и $n$ взаимно просты, т.е. $(m.n)=1$.

Тогда (1)'

$2\sum\limits_{\omega \in F_n \backslash F_{n-1}} \omega=\sum\limits_{(m,n)=1}(\frac{m}{n}+\frac{n-m}{n})=\sum\limits_{(m,n)=1}1=\varphi(n)$.

Перед первой суммой стоит коэффициент $2$, поскольку каждая дробь во второй сумме встретится дважды. Т.к.

(2)' $F_n=F_n \backslash F_{n-1} \cup F_{n-1} \backslash F_{n-2} \cup ... \cup F_3 \backslash F_2 \cup F_2 \backslash F_1 \cup F_1$, то с учётом, что $|F_1|=2$, $0 \in F_1$, используя индуктивные соображения, получим

(3)' $|F_n|=\sum\limits_{k=2}^{n}|F_k \backslash F_{k-1}|+1=\sum\limits_{k=1}^{n}\varphi(k)$.

Далее из равенств (2)', (3)' с учётом (1)' получим

$2\sum\limits_{\omega \in F_n} \omega=\sum\limits_{k=1}^{n}2\sum\limits_{\omega \in F_k \backslash F_{k-1}}\omega=\sum\limits_{k=1}^{n}\varphi(k)=|F_n|$. Что и требовалось.

Примечание. Далее будем предполагать, что $0 \notin F_n$.

Теорема.

$S_2 (n) > Cn$, где $C=\operatorname{const}$.

Доказательство.

(1*) $\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi} \delta_\nu^2=\Phi^{-1}(\int\limits_{0}^{1} E^2(t) dt - \frac{1}{12})$, где

$E(t)=\sum\limits_{
\omega_\nu\leqslant t} 1 -t\Phi+\frac{1}{2}$, где $\omega_\nu \in F_n$ (далее будем молча предполагать, что $\omega_\nu \in F_n$).

(1**)$\sum\limits_{\nu=1}^{m}\delta_\nu=\int\limits_{0}^{\omega_m}E(t)dt-\frac{\Phi}{2}\delta_m^2+\frac{1}{2}\delta_m$ $\Rightarrow$ при $m=\Phi$

(~) $\frac{\Phi+1}{2}=\int\limits_{0}^{1}E(t)dt-\frac{\Phi}{2}(1-1)^2+\frac{1}{2}\cdot0=\int\limits_{0}^{1}E(t)dt$ (использовали лемму и тот факт, что $\delta_\Phi=0$, т.к. $\omega_\Phi=1$) $\Rightarrow$

(2*) $\int\limits_{0}^{1}E(t)dt=\frac{\Phi}{2}+\frac{1}{2}=\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1-t\Phi+\frac{1}{2})dt=\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt-\frac{\Phi}{2}+\frac{1}{2}$.

Т.к. (3*)

$E(t)=\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1 -t\Phi+\frac{1}{2}$, то

$E^2(t)=(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)^2+(\frac{1}{2}-t\Phi)^2+2(\frac{1}{2}-t\Phi)(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)$ $\Rightarrow$

(1) $\int\limits_{0}^{1}E^2(t)dt=\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)^2dt+\frac{1}{4}+\frac{\Phi^2}{3}-\frac{\Phi}{2}+\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt -2\Phi\int\limits_{0}^{1}t(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt$.

(~) $\&$ (2*) $\Rightarrow$

(2) $\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt=\Phi$.

Интегрируя по частям (беря $u=t$ в известной формуле), получаем

(*) $\int\limits_{0}^{1}t(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt=\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt-\int\limits_{0}^{1}(\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt)dt=0$.

Имеем
(**) $\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)^2dt \geqslant \sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}(\sum\limits_{\omega_k \leqslant \omega_\nu}1)^2 \geqslant \sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}\sum\limits_{\omega_k \leqslant \omega_\nu}1= \sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}|\left\lbrace\omega_1, \omega_2, \omega_3, ..., \omega_\nu\right\rbrace|=\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}\nu=\frac{\Phi(\Phi+1)}{2}$ для $\omega_k \in F_n$.


(1) $\&$ (2) $\&$ (*) $\&$ (**) $\Rightarrow$

$\int\limits_{0}^{1} E^2(t)dt \geqslant \frac{\Phi^2}{2} + \frac{\Phi}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\Phi^2}{3}-\frac{\Phi}{2}+\Phi-2\Phi\cdot0=\frac{5}{6}\Phi^2+\Phi+\frac{1}{4} \Rightarrow$ с учётом (1*) имеем

$\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}\delta_\nu^2=\Phi^{-1}(\int\limits_{0}^{1}E^2(t)dt-\frac{1}{12}) \geqslant \Phi^{-1}(\frac{5}{6}\Phi^2+\Phi+\frac{1}{4}-\frac{1}{12})=\frac{5}{6}\Phi +1 + \frac{1}{6\Phi} \Rightarrow$ с учётом (1')

$S_2(n)=(\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}|\delta_\nu|^2)^{1/2}=(\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}\delta_\nu^2)^{1/2} \geqslant(\frac{5}{6}\Phi +1+\frac{1}{6\Phi})^{1/2}>Cn$, $C=\operatorname{const}$, т.к.

(3) $\Phi(n)=\frac{3n^2}{\pi^2}+O(n\ln n)$.

Тогда имеем $\neg RH$, т.к. (2').

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение08.05.2018, 13:51 
Заслуженный участник


03/01/09
1252
москва
Но (2') означает, что : $S_2(n)<Cn^{-\frac 12+\varepsilon }$, а вы доказали другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение08.05.2018, 14:09 
Аватара пользователя


04/06/14
593
mihiv, верно. Но разве то, что я показал, не противоречит истинности $RH$ (опять же см. (2'))? Т.е. не противоречит ли моё окончательное неравенство тому, что привели вы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение08.05.2018, 14:30 
Заслуженный участник


03/01/09
1252
москва
А, понятно, т.е. вы доказываете, что $RH$ неверна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение08.05.2018, 14:36 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Да, верно, доказываю $\neg RH$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение09.05.2018, 07:00 
Аватара пользователя


04/06/14
593

(Оффтоп)

Если актуально, можно последовать предложенной мне идее отправить тему в раздел "Дискуссионные темы", если долгое время здесь никто не укажет на ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение10.05.2018, 12:45 
Заслуженный участник


12/08/10
982
По моему $(*)$ и $(**)$ - неправда

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение11.05.2018, 09:05 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Да, возможно. Я над этим думал, но так и не смог понять, почему это неправда, где конкретно ошибка.
Давайте сначала попытаемся разобраться например с (*) (если хотите, можно сначала с (**)).
Я так понимаю, что сомнение вызывает $\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t} 1)dt$ после знака равенства (в (*))?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение11.05.2018, 09:21 
Заслуженный участник


12/08/10
982
$\int\limits_{0}^{1}t(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t}1)dt=0$. Интеграл от положительной величины равен 0, это странно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение11.05.2018, 10:31 


14/11/08
52
Москва

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1311631 писал(а):
Я так понимаю, что сомнение вызывает $\int\limits_{0}^{1}(\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t} 1)dt$ после знака равенства (в (*))?

$(\ast)$, средний терм, второе слагаемое, внутренний интеграл, пределы интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение11.05.2018, 15:45 
Аватара пользователя


04/06/14
593
Да, похоже на то, что и (*), и (**) ошибочны.

Предлагаю альтернативу. Еще попытка.
Будем использовать две известные леммы.
Лемма 1.
Для любых монотонных на $[a,b]$ функций $f$ и $g$
$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\int\limits_{a}^{b}g(x)dx\leqslant (b-a)\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx$.

Лемма 2.
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$, а функция $g(x)$ не меняет знака на $[a, b]$, тогда $\exists \xi \in [a, b]: \int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int\limits_{a}^{b}g(x)dx$.

Т.к. $A(t)=\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t} 1$ (назовём эту функцию так) монотонна на $[0, 1]$, то положив $f(x)=g(x)=\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant t} 1=A(t)$, $[a, b]=[0, 1]$ в лемме 1, имеем

(*) $\int\limits_{0}^{1}A^2(t)dt=\int\limits_{0}^{1}A(t)\cdot A(t)dt \geqslant \frac{1}{1-0}\int\limits_{0}^{1}A(t)dt\int\limits_{0}^{1}A(t)dt=(\int\limits_{0}^{1}A(t)dt)^2=$, в силу (2), $=\Phi^2$.

Т.к. функция $g(t)=t$ не меняет знака на $[0, 1]$, а функция $f(t)=A(t)$ непрерывна на $(0, \omega_1)$ и на $(\omega_\nu, \omega_{\nu+1})$ $\forall \nu \in \left\lbrace1, ...,\Phi-1\right\rbrace$, а $\int\limits_{0}^{1}tA(t)dt=\int\limits_{0}^{\omega_1}tA(t)dt+\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi-1}\int\limits_{\omega_\nu}^{\omega_{\nu+1}}tA(t)dt$, то по лемме 2
$\exists \xi \in [0, \omega_1]: \int\limits_{0}^{\omega_1}tA(t)dt=A(\xi)\int\limits_{0}^{\omega_1}tdt$ $\& \forall \nu \in \left\lbrace1, ..., \Phi-1\right\rbrace \exists \xi_\nu \in [\omega_\nu, \omega_{\nu+1}]: \int\limits_{\omega_\nu}^{\omega_{\nu+1}}tA(t)dt=A(\xi_\nu)\int\limits_{\omega_\nu}^{\omega_{\nu+1}}tdt$, причем $\xi \leqslant 1 \& \forall \nu \in \left\lbrace1, ..., \Phi-1\right\rbrace \xi_\nu \leqslant 1 \Rightarrow \int\limits_{0}^{1} tA(t)dt=\int\limits_{0}^{\omega_1}tA(t)dt+\int\limits_{\omega_1}^{\omega_2}tA(t)dt+...+\int\limits_{\omega_{\Phi-1}}^{\omega_\Phi}tA(t)dt \leqslant A(1)(\int\limits_{0}^{\omega_1}tdt+\int\limits_{\omega_1}^{\omega_2}tdt+...+\int\limits_{\omega_{\Phi-1}}^{\omega_\Phi}tdt)=A(1)\int\limits_{0}^{1}tdt=\frac{A(1)}{2}=\frac{\sum\limits_{\omega_\nu \leqslant 1}1}{2}=\frac{\Phi}{2}$
(**).

В итоге по аналогии с предыдущей попыткой доказательства можем с учётом этих оценок и (2) рассмотреть (1) и получить $\neg RH$ (если попытка успешна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение18.05.2018, 02:47 
Аватара пользователя


04/06/14
593

(Оффтоп)

Предлагаю переместить тему в раздел "Дискуссионные темы". На ошибку не указывают уже неделю, выдерживают интригу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение18.05.2018, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3578

(Оффтоп)

Вникать лень, но Ваша теорема заведомо неверна: известно, что $\lim\limits_{n\to\infty}S_2(n)=0$ (это в некотором смысле эквивалентно асимптотическому закону распределения простых чисел, и в статье Стечкина это, вроде, упоминается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение18.05.2018, 11:40 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15356
Кронштадт
 !  maximk, замечание за повторный искусственный подъем темы бессодержательным сообщением. На будущее, пожалуйста, учтите, что отсутствие интереса к теме и отсутствие ошибок - это разные вещи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group