Помогите пожалуйста найти ошибку в случае её присутствия. Надеюсь, что не допустил ошибки при наборе текста.
Далее будем использовать факты, полученные в статье Стечкина "Ряды Фарея" ((1'), (2'), (1*), (1**), (3*), (3)).
Пусть
,
- ряд Фарея порядка
.
Будем считать, что
упорядочены по возрастанию.
Примеры:
,
.
Имеем
, где
- функция Эйлера.
Обозначим
,
(
).
(1') Положим
(
).
Нам потребуется известная формулировка гипотезы Римана в следующем виде:
(2')
(
).
Лемма. Пусть
- последовательность Фарея, содержащая
,
. Тогда
.
Доказательство:
Имеем
.
По определению
каждая дробь из
имеет один из двух видов:
, где
- такое целое число, что
и числа
и
взаимно просты, т.е.
.
Тогда (1)'
.
Перед первой суммой стоит коэффициент
, поскольку каждая дробь во второй сумме встретится дважды. Т.к.
(2)'
, то с учётом, что
,
, используя индуктивные соображения, получим
(3)'
.
Далее из равенств (2)', (3)' с учётом (1)' получим
. Что и требовалось.
Примечание. Далее будем предполагать, что
.
Теорема.
, где
.
Доказательство.
(1*)
, где
, где
(далее будем молча предполагать, что
).
(1**)
при
(~)
(использовали лемму и тот факт, что
, т.к.
)
(2*)
.
Т.к. (3*)
, то
(1)
.
(~)
(2*)
(2)
.
Интегрируя по частям (беря
в известной формуле), получаем
(*)
.
Имеем
(**)
для
.
(1)
(2)
(*)
(**)
с учётом (1*) имеем
с учётом (1')
,
, т.к.
(3)
.
Тогда имеем
, т.к. (2').