Вопрос по оценке
.
Далее о том, почему эта сумма может быть интересной.
Теорема..
Доказательство.Воспользуемся формулой обращения Мёбиуса (можно найти в статье Стечкина "Ряды Фарея" на 4 странице).
Пусть
- последовательность Фарея порядка n.
Пусть
,
,
. Тогда
.
Пусть
- знаменатель дроби
,
.
Тогда по формуле обращения Мёбиуса имеем
, где
встречается
раз, ибо в сумме
функция
принимает значение
для всех дробей
за исключением дроби
,
. Тогда
.
Покажем, что
.
В последовательности
имеем дроби вида
, где
, в количестве
штук.
Так же имеем дроби вида
, где
, в количестве
штук. И так далее.
Т.е. имеем дроби вида
, где
, в количестве
штук для всякого
.
Т.е. имеем
штук дробей
со знаменателем
,
, для каждой из которых
.
Имеем в виду, что
состоит из дробей со знаменателями
для каждого
, числитель которых взаимно прост со знаменателем.
Значит
.
Выразим
из предыдущей формулы для неё с учётом полученного результата, получим
.
Что и требовалось.Для каждого
имеем
для некоторого
.
В статье Стечкина "Ряды Фарея" после теоремы 4 указывается, что
.
В статье в википедии указано, что
.
Используя такую оценку, я повторил результат, указанный в статье Стечкина, а именно результат теоремы 2 при
:
.
Для этого по индукции показал, что
. Показать, что эта сумма не менее
мне не удалось (а этого было бы достаточно для опровержения
).
Хотелось бы попытаться усилить этот результат.
В википедии указывается и такая оценка:
для всех натуральных
.
Если использовать её, то можем получить
.
А отсюда получить
.
Суть вопроса.Далее у меня не хватает технических навыков, чтобы оценить эту сумму. Может есть у кого какие идеи? Возможно отсюда можно получить сильную оценку на
и в итоге на сумму
.
Напоминаю, гипотеза Римана эквивалента
(см. статью Стечкина).
Надеюсь, что при наборе текста не допустил опечаток и неточностей.