2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение21.02.2019, 18:38 


20/03/14
12041
maximk

(Оффтоп)

Какие проблемы у Вас возникли с набором - в отсутствие набранного Вам никто сказать не сможет. Имеет смысл в таких случаях воспроизводить полный исходный код в Тестировании и там спрашивать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение06.03.2019, 16:50 
Аватара пользователя


04/06/14
627
Подскажите пожалуйста, где ошибка.

Имеем следующую вариацию формулы Эйлера-Маклорена (взял из книги Карацубы "Основы аналитической теории чисел").

$\sum\limits_{a}^{b} f(x) = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx + \rho (b) f(b) - \rho (a) f(a) - \int\limits_{a}^{b} \rho(x)f'(x)dx$. Здесь достаточно, чтобы $f(x)$ была непрерывно дифференцируема на $[a,b]$.

$\int\limits_{0}^{1} ({\rho (x)}^{3})'dx=\int\limits_{0}^{1}3\rho^2(x) \rho'(x)dx=\rho^3(1)-\rho^3(0)$.

Выражаю $\int\limits_{0}^{1} \rho^2(x)\rho'(x)dx=\frac{1}{3}(\rho^3(1)-\rho^3(0))$, подставляю в первую формулу при $a=0$, $b=1$, $f(x)=\rho^2(x)$ откуда получаю

$\int\limits_{0}^{1} \rho^2(x)dx=\sum\limits_{0}^{1} \rho^2(x) - (\rho^3(1)-\rho^3(0))+\int\limits_{0}^{1}2\rho^2(x)\rho'(x)dx= \sum\limits_{0}^{1} \rho^2(x) - (\rho^3(1)-\rho^3(0)) + \frac{2}{3}(\rho^3(1)-\rho^3(0)) = \rho^2(0)+\rho^2(1)-(1/3)(\rho^3(1)-\rho^3(0))=5/12$.

Но это противоречит известному результату (упомянутому в статье Стечкина "Ряды Фарея"):

$\int\limits_{0}^{1} \rho(kt)\rho(lt)=(k,l)^2/(12kl)$ для натуральных $k$ и $l$, ибо этот интеграл равен $1/12$ при $k=l=1$.

(Оффтоп)

Дополненный вариант моего предыдущего сообщения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение06.03.2019, 19:28 
Аватара пользователя


04/06/14
627
А если иметь в виду, что функция $\rho(x)$ периодична с периодом 1, то $\int\limits_{0}^{1}\rho^2(kt)dt=\frac{1}{k}\int\limits_{0}^{k}\rho^2(t)dt=\frac{1}{k}k\int\limits_{0}^{1}\rho^2(t)dt=\int\limits_{0}^{1}(t-\frac{1}{2})^2dt=\frac{1}{12}$.

Похоже, нашёл ошибку. Функция $\rho(x)$ не удовлетворяет условиям теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение09.06.2019, 18:30 
Аватара пользователя


04/06/14
627
Хотелось бы уточнить, правильно ли я посчитал следующий интеграл. Подскажите пожалуйста.
Пусть последовательность Фарея $F_n$ порядка $n$ задана так, что она не содержит $0$.

Пусть $h_k \in F_n$, $t \in I$, $A(t)=\sum\limits_{h_k \leqslant t}1$.
Тогда

$\int\limits_{0}^{h_m}A(t)dt=(h_2-h_1)+2(h_3-h_2)+3(h_4-h_3)+...+(m-1)(h_m-h_{m-1})
=-h_1-...-h_{m-1}+(m-1)h_m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 19:23 
Аватара пользователя


04/06/14
627
Вопрос по оценке $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

Далее о том, почему эта сумма может быть интересной.

Теорема.

$B(n)=-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}+2$.

Доказательство.


Воспользуемся формулой обращения Мёбиуса (можно найти в статье Стечкина "Ряды Фарея" на 4 странице).
Пусть $H_n$ - последовательность Фарея порядка n.
Пусть $n \in \mathbb{N}$, $f: I=[0,1] \to \mathbb{C}$, $G(k)=\sum\limits_{a=1}^{k}f(\frac{a}{k})$. Тогда $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}{}f(h_\nu)=\sum\limits_{d=1}^{n}G(d)M(\frac{n}{d})$.

Пусть $d(h_\nu)$ - знаменатель дроби $h_\nu \in H_n$, $f(h_\nu)=\frac{1}{d(h_\nu)}$.

Тогда по формуле обращения Мёбиуса имеем $G(d)=\frac{1}{d}+\frac{1}{d}+...+\frac{1}{d}+1=$, где $\frac{1}{d}$ встречается $d-1$ раз, ибо в сумме $\sum\limits_{a=1}^{d}f(\frac{a}{d})$ функция $d(\frac{a}{d})$ принимает значение $d$ для всех дробей $\frac{a}{d}$ за исключением дроби $\frac{d}{d}=1$,$=\frac{(d-1)}{d}+1=-\frac{1}{d}+2$. Тогда $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}f(h_\nu)=\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{d=1}^{n}(-\frac{1}{d}+2)M(\frac{n}{d})=-B(n)+2$.

Покажем, что $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

В последовательности $H_n$ имеем дроби вида $\frac{a}{n}$, где $(a,n)=1$, в количестве $\varphi(n)$ штук.

Так же имеем дроби вида $\frac{a}{n-1}$, где $(a,n-1)=1$, в количестве $\varphi(n-1)$ штук. И так далее.

Т.е. имеем дроби вида $\frac{a}{k}$, где $(a,k)=1$, в количестве $\varphi(k)$ штук для всякого $k \in \left\lbrace1,...,n\right\rbrace$.

Т.е. имеем $\varphi(k)$ штук дробей $h$ со знаменателем $k$, $h \in H_n$, для каждой из которых $d(h)=k$.

Имеем в виду, что $H_n$ состоит из дробей со знаменателями $k$ для каждого $k \in \left\lbrace1,...,n\right\rbrace$, числитель которых взаимно прост со знаменателем.

Значит $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

Выразим $B(n)$ из предыдущей формулы для неё с учётом полученного результата, получим $B(n)=-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}+2$.


Что и требовалось.


Для каждого $n\geqslant n_0$ имеем $|B(n)| \geqslant c\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$ для некоторого $c>0$.

В статье Стечкина "Ряды Фарея" после теоремы 4 указывается, что $S_2(n) \geqslant {n}^{-1}|B(n)|$.

В статье в википедии указано, что $\varphi(n) \geqslant \sqrt{n}$ $\forall n \in \mathbb{N}\backslash\left\lbrace2,6\right\rbrace$.

Используя такую оценку, я повторил результат, указанный в статье Стечкина, а именно результат теоремы 2 при $p=2$: $S_2(n)>{n}^{-\frac{1}{2}}{(\ln n)}^{\frac{1}{2}}$$(n \geqslant n_0)$.

Для этого по индукции показал, что $\sum\limits_{k=1}^{n} {k}^{-\frac{1}{2}} \geqslant \sqrt{n}$. Показать, что эта сумма не менее ${n}^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ мне не удалось (а этого было бы достаточно для опровержения $RH$).

Хотелось бы попытаться усилить этот результат.

В википедии указывается и такая оценка: $\varphi(n)>\frac{\ln2}{2}\frac{n}{\ln n}$ для всех натуральных $n \geqslant 3$.

Если использовать её, то можем получить $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k} > c\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\ln k}$.

А отсюда получить $|B(n)|>C\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\ln k}$ $(C>0)$.

Суть вопроса.

Далее у меня не хватает технических навыков, чтобы оценить эту сумму. Может есть у кого какие идеи? Возможно отсюда можно получить сильную оценку на $|B(n)|$ и в итоге на сумму $S_2(n) \geqslant {n}^{-1}|B(n)|$.

Напоминаю, гипотеза Римана эквивалента $S_2(n)=O({n}^{-\frac{1}{2}+\varepsilon})$ (см. статью Стечкина).

Надеюсь, что при наборе текста не допустил опечаток и неточностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 20:39 
Аватара пользователя


04/06/14
627
Если не ошибаюсь, $\ln k \leqslant {k}^{\varepsilon} (\forall \varepsilon > 0)$.

Тогда $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\ln k} \geqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{k}^{-\varepsilon} \geqslant \int\limits_{1}^{n} {t}^{-\varepsilon}dt=\frac{{n}^{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}-\frac{1}{1-\varepsilon} \geqslant c{n}^{1-\varepsilon}$.

Значит $|B(n)|>C{n}^{1-\varepsilon}$.

Тогда $S_2(n)>{n}^{-1}|B(n)|>C{n}^{-\varepsilon}>C{n}^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}$.

Тогда не выполнено $S_2(n)=O({n}^{-\frac{1}{2}+\varepsilon})$, т.е. не выполнено $RH$.

Наверное где-то ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 20:53 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
maximk в сообщении #1401047 писал(а):
Если не ошибаюсь, $\ln k \leqslant {k}^{\varepsilon} (\forall \varepsilon > 0)$.
Ошибаетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 22:23 
Аватара пользователя


04/06/14
627
А здесь где ошибка?

Имеем для достаточно больших $n$

$\Phi(n)=\frac{3}{{\pi}^{2}}{n}^{2}+O(n\ln n) \geqslant C{n}^{2}$,

$d(h_\nu) \leqslant n \Rightarrow \frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant \frac{1}{n}$.

Тогда, следуя $B(n)=-\sum\limits_{h_\nu \in H_n} \frac{1}{d(h_\nu)}+2$,

$|B(n)|>c\sum\limits_{h_\nu \in H_n} \frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant c\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{n} = c\frac{\Phi(n)}{n} \geqslant C_0 n$.

Тогда $S_2(n)>{n}^{-1}|B(n)| \geqslant C_0$.

Но это противоречит $S_2(n)=o(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 22:36 


05/07/18
159
Из далекой-далекой галактики.
maximk в сообщении #1401047 писал(а):
Если не ошибаюсь, $\ln k \leqslant {k}^{\varepsilon} (\forall \varepsilon > 0)$.

Наверное вы имели ввиду это:
$$\ln(k)=O(k^\varepsilon)$$
Но из этого ,как вы и сами видите, не следует, то что вам надо.

-- 23.06.2019, 22:46 --

maximk в сообщении #1401073 писал(а):
$|B(n)|>c\sum\limits_{h_\nu \in H_n} \frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant c\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{n} = c\frac{\Phi(n)}{n} \geqslant C_0 n$

По-моему подозрительно выглядит среднее неравенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 22:49 
Аватара пользователя


04/06/14
627
Если $\ln k=O({k}^{\varepsilon})$, то $|\ln k| \leqslant c{k}^{\varepsilon}$.

Значит $\ln k \leqslant c{k}^{\varepsilon}$. Тогда $\frac{1}{\ln k} \geqslant C{k}^{-\varepsilon}$.

Или я что-то путаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 22:54 


05/07/18
159
Из далекой-далекой галактики.
maximk в сообщении #1401085 писал(а):
Если $\ln k=O({k}^{\varepsilon})$, то $|\ln k| \leqslant c{k}^{\varepsilon}$.

А дайте определение ,что значит ,что $f(x)=O(g(x))$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 23:11 
Аватара пользователя


04/06/14
627
maximk в сообщении #1401073 писал(а):
По-моему подозрительно выглядит среднее неравенство.

$d(h_\nu)$ есть знаменатель дроби $h_\nu$.

В последовательности Фарея порядка n (именуемой $H_n$) содержатся только те дроби, знаменатель которых не превосходит $n$, по определению $H_n$.

Значит для любой дроби $h_\nu \in H_n$ её знаменатель, т.е. $d(h_\nu)$, не превосходит $n$, т.е. $d(h_\nu) \leqslant n$, т.е. $\frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant \frac{1}{n}$.

Т.е. это неравенство выполнено для всех $h_\nu \in H_n$.

$d(h_\nu)$ может принимать лишь значения $k \in \left\lbrace 1,...,n \right\rbrace$.

Пример: $H_4=\left\lbrace\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},1\right\rbrace$.

Здесь $d(h_\nu) \leqslant 4 (\forall h_\nu \in H_4)$.

Не понимаю, что здесь может быть подозрительного. Вроде всё на поверхности.

-- 24.06.2019, 00:20 --

Ioda в сообщении #1401087 писал(а):
maximk в сообщении #1401085 писал(а):
Если $\ln k=O({k}^{\varepsilon})$, то $|\ln k| \leqslant c{k}^{\varepsilon}$.

А дайте определение ,что значит ,что $f(x)=O(g(x))$ ?

Функция $f$ является "О" большим от функции $g$ при $x \to x_0$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_0$ имеет место неравенство $|f(x)| \leqslant C|g(x)|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 23:33 


05/07/18
159
Из далекой-далекой галактики.
maximk
Просто выражение под суммой, как мне кажется, не зависит от индекса суммы ,а если и зависит ,то не слишком обычно ,либо у вас там опечатка.
$$\sum\limits_{h_\nu\in H_n}^{}n^{-1}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение23.06.2019, 23:43 
Аватара пользователя


04/06/14
627
Ioda в сообщении #1401097 писал(а):
maximk
Просто выражение под суммой, как мне кажется, не зависит от индекса суммы ,а если и зависит ,то не слишком обычно ,либо у вас там опечатка.

Именно не зависит. В том-то и дело. Я заменяю все $\frac{1}{d(h_\nu)}$ на $\frac{1}{n}$, как вы и заметили.

Покажу на примере с $H_4$: $\sum\limits_{h_\nu \in H_4} \frac{1}{d(h_\nu)} = \frac{1}{d(h_1)}+\frac{1}{d(h_2)}+\frac{1}{d(h_3)}+...+\frac{1}{d(h_6)}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{1} \geqslant \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

Опечатки не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды Фарея и гипотеза Римана
Сообщение24.06.2019, 00:03 


05/07/18
159
Из далекой-далекой галактики.
maximk
Что за функция $\Phi(n)$ ? Откуда следует равенство ,используемое в цепочке?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group