Вопрос по оценке

.
Далее о том, почему эта сумма может быть интересной.
Теорема.
.
Доказательство.Воспользуемся формулой обращения Мёбиуса (можно найти в статье Стечкина "Ряды Фарея" на 4 странице).
Пусть

- последовательность Фарея порядка n.
Пусть

,
![$f: I=[0,1] \to \mathbb{C}$ $f: I=[0,1] \to \mathbb{C}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/b/5cb283f1f1f8e90de25cadb654d25ad282.png)
,

. Тогда

.
Пусть

- знаменатель дроби

,

.
Тогда по формуле обращения Мёбиуса имеем

, где

встречается

раз, ибо в сумме

функция

принимает значение

для всех дробей

за исключением дроби

,

. Тогда

.
Покажем, что

.
В последовательности

имеем дроби вида

, где

, в количестве

штук.
Так же имеем дроби вида

, где

, в количестве

штук. И так далее.
Т.е. имеем дроби вида

, где

, в количестве

штук для всякого

.
Т.е. имеем

штук дробей

со знаменателем

,

, для каждой из которых

.
Имеем в виду, что

состоит из дробей со знаменателями

для каждого

, числитель которых взаимно прост со знаменателем.
Значит

.
Выразим

из предыдущей формулы для неё с учётом полученного результата, получим

.
Что и требовалось.Для каждого

имеем

для некоторого

.
В статье Стечкина "Ряды Фарея" после теоремы 4 указывается, что

.
В статье в википедии указано, что

.
Используя такую оценку, я повторил результат, указанный в статье Стечкина, а именно результат теоремы 2 при

:


.
Для этого по индукции показал, что

. Показать, что эта сумма не менее

мне не удалось (а этого было бы достаточно для опровержения

).
Хотелось бы попытаться усилить этот результат.
В википедии указывается и такая оценка:

для всех натуральных

.
Если использовать её, то можем получить

.
А отсюда получить

.
Суть вопроса.Далее у меня не хватает технических навыков, чтобы оценить эту сумму. Может есть у кого какие идеи? Возможно отсюда можно получить сильную оценку на

и в итоге на сумму

.
Напоминаю, гипотеза Римана эквивалента

(см. статью Стечкина).
Надеюсь, что при наборе текста не допустил опечаток и неточностей.