Ряды Фарея и гипотеза Римана

[maximk]

Ioda в сообщении #1401108 писал(а):

maximk
Что за функция $\Phi(n)$ ? Откуда следует равенство ,используемое в цепочке?

$\Phi(n)$ - мощность множества $H_n$.

Поскольку неравенство $\frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant \frac{1}{n}$ выполнено для всех $h_\nu \in H_n$, то оно выполнено для всех $\Phi$ элементов $H_n$.

-- 24.06.2019, 01:12 --

На примере с $H_4$ это выглядит так:

$\sum\limits_{h_\nu \in H_4} \frac{1}{d(h_\nu)} \geqslant \frac{1}{4}\sum\limits_{h_\nu \in H_4}1=\frac{1}{4}\cdot6$.

[Ioda]

То есть, имеем равенство:

$$\sum\limits_{h_\nu\in H_n}^{}\frac{1}{n}=\frac{\Phi(n)}{n}$$

Мне не совсем понятно ,как из того ,что вы написали следует требуемое.

[maximk]

Ioda в сообщении #1401110 писал(а):

То есть, имеем равенство:

$$\sum\limits_{h_\nu\in H_n}^{}\frac{1}{n}=\frac{\Phi(n)}{n}$$

Да.

Дело в том, что $\sum\limits_{h_\nu \in H_n} 1 = \Phi(n)$.

-- 24.06.2019, 01:24 --

Для каждой дроби $\frac{1}{d(h_\nu)}$ происходит замена на 1. А этих дробей $\Phi(n)$ штук. Если суммировать единицы в количестве $\Phi(n)$ штук, то мы получим $\Phi(n)$.

-- 24.06.2019, 01:29 --

Возможно нужно добавить, что

$\frac{1}{n}\sum\limits_{h_\nu \in H_n}1=\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{n}=\frac{\Phi(n)}{n}$.

Это дополнительный атрибут для наглядности.

[Ioda]

maximk в сообщении #1401035 писал(а):

Покажем, что $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

В последовательности $H_n$ имеем дроби вида $\frac{a}{n}$, где $(a,n)=1$, в количестве $\varphi(n)$ штук.

Так же имеем дроби вида $\frac{a}{n-1}$, где $(a,n-1)=1$, в количестве $\varphi(n-1)$ штук. И так далее.

Т.е. имеем дроби вида $\frac{a}{k}$, где $(a,k)=1$, в количестве $\varphi(k)$ штук для всякого $k \in \left\lbrace1,...,n\right\rbrace$.

Т.е. имеем $\varphi(k)$ штук дробей $h$ со знаменателем $k$, $h \in H_n$, для каждой из которых $d(h)=k$.

Имеем в виду, что $H_n$ состоит из дробей со знаменателями $k$ для каждого $k \in \left\lbrace1,...,n\right\rbrace$, числитель которых взаимно прост со знаменателем.

Значит $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

Мне не совсем понятен этот момент.

[maximk]

Еще добавлю. Так как выражение под знаком суммы (а именно $\frac{1}{n}$) не зависит от индекса суммирования, то его (выражение) можно вынести за знак суммы.

-- 24.06.2019, 01:32 --

Ioda в сообщении #1401112 писал(а):

maximk в сообщении #1401035 писал(а):

Покажем, что $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

В последовательности $H_n$ имеем дроби вида $\frac{a}{n}$, где $(a,n)=1$, в количестве $\varphi(n)$ штук.

Так же имеем дроби вида $\frac{a}{n-1}$, где $(a,n-1)=1$, в количестве $\varphi(n-1)$ штук. И так далее.

Т.е. имеем дроби вида $\frac{a}{k}$, где $(a,k)=1$, в количестве $\varphi(k)$ штук для всякого $k \in \left\lbrace1,...,n\right\rbrace$.

Т.е. имеем $\varphi(k)$ штук дробей $h$ со знаменателем $k$, $h \in H_n$, для каждой из которых $d(h)=k$.

Имеем в виду, что $H_n$ состоит из дробей со знаменателями $k$ для каждого $k \in \left\lbrace1,...,n\right\rbrace$, числитель которых взаимно прост со знаменателем.

Значит $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\varphi(k)}{k}$.

Мне не совсем понятен этот момент.

Рассмотрим на примере $H_4$.

-- 24.06.2019, 01:38 --

$\sum\limits_{h_\nu \in H_4} \frac{1}{d(h_\nu)}= \frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{1}=$, для начала сгруппируем вместе все дроби со знаменателем $4$ в их количестве $\varphi(4), остальные слагаемые перепишем в том же порядке$,$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{1}$.

-- 24.06.2019, 01:41 --

Теперь продолжим цепочку равенства, сгруппировав и дроби со знаменателем $3$ в их количестве $\varphi(3)$ штук (функция Эйлера \varphi(k) определяется как количество натуральных чисел, меньших $k$ и взаимно простых с ним).

Получим $\varphi(4)\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1}$.

[Ioda]

Кстати, что за функция $B(n)$ ?

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1401113 писал(а):

Еще добавлю. Так как выражение под знаком суммы (а именно $\frac{1}{n}$) не зависит от индекса суммирования, то его (выражение) можно вынести за знак суммы

Не стыдите меня ,я знаю это.

[maximk]

По аналогии перепишем равенство: $\varphi(4)\frac{1}{4}+\varphi(3)\frac{1}{3}+\varphi(2)\frac{1}{2}+\varphi(1)\frac{1}{1}$.

-- 24.06.2019, 01:47 --

Ioda в сообщении #1401115 писал(а):

Кстати, что за функция $B(n)$ ?

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1401113 писал(а):

Еще добавлю. Так как выражение под знаком суммы (а именно $\frac{1}{n}$) не зависит от индекса суммирования, то его (выражение) можно вынести за знак суммы

Не стыдите меня ,я знаю это.

$B(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}M(\frac{n}{k})$

(Оффтоп)

Извините, просто пытался максимально подробно расписывать, на всякий случай.

-- 24.06.2019, 01:53 --

Касаемо этой функции. В статье Стечкина приводится такой результат для $n>n_0$:

$S_2(n) \leqslant c\frac{1}{n}{(\sum\limits_{k=1}^{n}{B}^{2}(\frac{n}{k}))}^{1/2}$

и

$S_2(n) \geqslant c\frac{1}{n}{(\sum\limits_{k=1}^{n}{B}^{2}(\frac{n}{k}))}^{1/2}$.

-- 24.06.2019, 01:55 --

Для нижней оценки использовал следствие из этого результата, также приведенное в упомянутой статье, а именно

$S_2(n)>{n}^{-1}|B(n)|$.

(Оффтоп)

Кстати, сама статья легко гуглится по запросу "Стечкин ряды Фарея", она на mathnet.

[Ioda]

maximk в сообщении #1401035 писал(а):

Тогда $\sum\limits_{h_\nu \in H_n}f(h_\nu)=\sum\limits_{h_\nu \in H_n}\frac{1}{d(h_\nu)}=\sum\limits_{d=1}^{n}(-\frac{1}{d}+2)M(\frac{n}{d})=-B(n)+2$.

По-моему здесь неверно. По определению $B(n)$ . Последнее равенство.

[maximk]

Хм, не вижу ошибки. Сейчас распишу.

-- 24.06.2019, 02:03 --

$\sum\limits_{d=1}^{n}(-\frac{1}{d}+2)M(\frac{n}{d})=-\sum\limits_{d=1}^{n}\frac{1}{d}M(\frac{n}{d})+2\sum\limits_{d=1}^{n}M(\frac{n}{d})$.

Где конкретно ошибка?

-- 24.06.2019, 02:05 --

Полнее:

$\sum\limits_{d=1}^{n}(-\frac{1}{d}+2)M(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d=1}^{n}(-\frac{1}{d}M(\frac{n}{d})+2M(\frac{n}{d}))=-\sum\limits_{d=1}^{n}\frac{1}{d}M(\frac{n}{d})+2\sum\limits_{d=1}^{n}M(\frac{n}{d})$.

-- 24.06.2019, 02:07 --

Известно равенство $\sum\limits_{d=1}^{n}M(\frac{n}{d})=1$.

-- 24.06.2019, 02:10 --

Возможно некую путаницу вносит тот факт, что здесь я использовал $d$ в качестве индекса суммирования. Эта же буква используется для обозначения знаменателя дроби $h_\nu$ - а именно $d(h_\nu)$.

[Ioda]

maximk в сообщении #1401122 писал(а):

Где конкретно ошибка?

А , показалось странным второе слагаемое, ошибки там нет. Нечасто с функцией Мертенса имею дело.

[maximk]

Нашел в сборнике трудов Н. П. Романова (ищется в Яндексе по запросу "функциональный анализ и теория чисел", выдало первой же ссылкой) очередное утверждение, связывающее гипотезу Римана с последовательностью Фарея.
Рассмотрим утверждение (7) на странице 297. Перепишем его в терминах этой темы.

$\int\limits_{0}^{1} f(x)dx - \frac{1}{\Phi}\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}f(h_\nu)=O(\Phi^{-\frac{3}{4}+\varepsilon})$.

Возможно, ошибаюсь, но, если взять $f(x)=x$, то, учитывая, что $\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi}h_\nu=\frac{\Phi+1}{2}$, утверждение (7) сборника трудов Романова примет вид

$\frac{1}{2} - \frac{1}{\Phi}\cdot\frac{\Phi+1}{2}=O(\Phi^{-\frac{3}{4}+\varepsilon})$. Обозначим это утверждение, как (7').

И что же, (7') равносильно гипотезе Римана?

[maximk]

"Алиса" опровергает гипотезу Римана?

Используем формулу обращения Мёбиуса из параграфа 2, "Основы", статьи Стечкина "Ряды Фарея", положив $f(k)=k^2$. Получаем $\sum\limits_{\nu=1}^{\Phi} {h_\nu}^2=\frac{\Phi}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}B(n)$ (обозначим эту формулу за "звездочку"). Искусственный интеллект "Алиса" утверждает, что наряду с известной оценкой $\Phi(n)=\frac{3}{\pi^2}n^2+O(n (\ln n)^{2/3})$ (назовем "квадратом") известно и то, что сумма квадратов членов последовательности Фарея порядка n (сумма из формулы "звездочка") есть $\frac{1}{\pi^2}n^2+O(n \ln n)$ (назовем "кругом"). Пользуясь утверждением со второй страницы статьи Стечкина об эквивалентности гипотезе Римана оценке для $S_2$ и утверждением со страницы 8, а именно утверждением (31), а так же полученным утверждением "звездочка" с подставленными в него оценками "квадрат" и "круг" (с целью оценить функцию B(n)), Алиса заключает, что утверждение гипотезы Римана (со страницы 8 статьи Стечкина) несовместимо с утверждениями (31) (статья Стечкина), "звездочка", "квадрат" и "круг".

P.S. При получении формулы "звездочка" использовалось определение для функции B через функцию Мёбиуса ($B(n)=\sum\limits_{d=1}^{n} \frac{1}{n} M(n/d)$), данное в статье Стечкина же, и использовались формула (8) из статьи Стечкина, а так же $\sum\limits_{d=1}^{\Phi} M(n/d)=1$ (тождество, указанное между (10) и (11) в статье Стечкина опять же)