Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе

[arseniiv]

Munin в сообщении #1400410 писал(а):

Можете расписать так же подробно и аккуратно, как у vpb?

Напишу, только попозже. А пока я даже не понимаю, что там может показаться туманным, когда уже есть текст для сравнения.

[arseniiv]

Итак, я тут даже сейчас подумал обобщить это на произвольное спаривание пространств одинаковой размерности. Просто перепишу всё, что написал vpb, но абстрагировав.

Пусть у нас есть два одинаковоразмерных конечномерных $V$ и $W$ и билинейное отображение $g\colon V\times W\to F$, где $F$ достаточно хорошее, но не обязательно $\mathbb R$, чтобы дальше можно было рассматривать эрмитову форму.

Определим $\varphi\colon V\to(W\to F)$ каррированием: $\varphi(v) = (w\mapsto g(v, w))$. Видно, что для любого $v$ отображение $\varphi(v)$ линейно (проверять как написано у vpb — тут ведь пока используется билинейность и не используется «природа» $W$ (и даже размерность). Так что мы можем сказать точнее, что $\varphi\colon V\to W^*$, ну и что само $\varphi$ линейно (только теперь можем это сказать, когда стало ясно, что оно действует в линейное пространство).

Так как мы заранее потребовали конечную и равную размерность $V$ и $W$, применим тот же аргумент, что в оригинале: $\varphi$ будет изоморфизмом, если имеет тривиальное ядро. Аргумент ровно тот же, так что не переписываю. (Я так и не понял, где тут предполагалась загвоздка, ну не переписывать же всё дословно с простыми заменами.)

А теперь можно подставить $W = \overline V$. Если $V$ — комплексное векторное пространство, то по определению $\overline V$ — это комплексное же векторное пространство с тем же носителем и сложением, но с другим умножением на скаляр: $\alpha \cdot_{\overline V} \vec v := \overline\alpha \cdot_V \vec v$.

Munin, вам скорее всего будет полезно заметить, что \small $\mathrm{GL}(\overline V, \ldots) \subset\mathrm{\Gamma L}(V, \ldots) = \mathrm{\Gamma L}(\overline V, \ldots)$, и, раз случай комплексный, вообще \small $\mathrm{\Gamma L}(V, \ldots) = \mathrm{GL}(V, \ldots) \cup \mathrm{GL}(\overline V, \ldots)$, потому что автоморфизмов \small $\mathbb C$ всего два (объединение, конечно, не прямое).

В итоге получится, что в присутствии невырожденной эрмитовой формы $g\colon V\times V\to\mathbb C$, или, эквивалентно, невырожденной билинейной формы $\tilde g\colon V\times\overline V\to\mathbb C$ (у физиков аргументы наоборот, конечно), есть изоморфизмы $V\cong\overline V^*$ и $\overline V\cong V^*$ (заметим, что $\overline{\overline V} = V$ и что сопряжения «комплексное» и «линейное» коммутируют).

UPD. Подправил.

[Munin]

Спасибо! Немного более трудный язык, и немного сбило, что вы поменяли обозначения и последовательность, но читаемо.

И разумеется, новая для меня информация. Полезная.

-- 24.06.2019 20:32:12 --

arseniiv в сообщении #1401281 писал(а):

В итоге получится, что в присутствии эрмитовой формы $g\colon V\times V\to\mathbb C$, или, эквивалентно, билинейной формы $\tilde g\colon V\times\overline V\to\mathbb C$

Всё-таки, невырожденной. И той и другой.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1401300 писал(а):

и немного сбило, что вы поменяли обозначения и последовательность

Да, лень было писать $l_v$, но $\varphi$ осталась!

Munin в сообщении #1401300 писал(а):

Всё-таки, невырожденной. И той и другой.

Да, имел в виду, но не дописал. Доказательство, разумеется, так и остаётся зависящим от невырожденности. Вообще мне стоило бы обобщить до $V, W$ разных размерностей, но я боюсь ошибиться, и вам этого нужно пока не было. Но если кто-то захочет, пускай, и приятно будет почитать.

Можно добавить, что тильда тут — не какая-то общепринятая операция на формах, просто хотел сделать «другую $g$». Но это наверно и так ясно.

Munin в сообщении #1401300 писал(а):

И разумеется, новая для меня информация. Полезная.

Спасибо. В свою очередь как-то раз полез смотреть про $\mathrm{\Gamma L}$ я как раз из-за одной вашей темы.

-- Вт июн 25, 2019 00:18:21 --

Вообще мне тоже полезная, про себя в голове я даже не подозревал, какие получаются изоморфизмы (хотя это всё очевидно и прекрасно стыкуется с тем, что эрмитово сопряжение в присутствии эрмитовой формы «правильное», а простое транспонирование бессмысленно).

[Munin]

arseniiv в сообщении #1401314 писал(а):

$\varphi$ осталась! :-)

Икс и игрек попортились! :-)

[arseniiv]

Они были немые и не смогли сказать ничего против.

[arseniiv]

arseniiv в сообщении #1401281 писал(а):

потому что автоморфизмов $\mathbb C$ всего два (объединение, конечно, не прямое)

По-моему я тут сразу две ерунды в тот раз написал! Во-первых автоморфизмов $\mathbb C$ куча, просто они из-за аксиомы выбора и страшные и никому не нужны в линале (наверно), во-вторых какое ещё объединение и о каком вообще равенстве $\operatorname{\Gamma L}(\overline V) = \operatorname{\Gamma L}(V)$ можно говорить?

[Утундрий]

Риторический вопрос: можно ли

$$\int\limits_V {\nabla dV = } \oint\limits_{\partial V} {{\mathbf{n}}dS} $$

растянуть на восемь страниц?..

[Padawan]

Товарищи! Читаю я тут про все эти тензоры-формы-индексы-Ходжы (звездочку Ходжа не могу уразуметь до конца). И вижу:

nya в сообщении #1358514 писал(а):

Имея $k$-вектор $\omega \in \bigwedge^k V$ и форму объема $\operatorname{det}$ на $V$, можно канонически построоить $n-k$-форму $\operatorname{det}(\omega \wedge ?) \in (\bigwedge^{n-k} V)^*$. Имея вдобавок к этому метрику $g$ на $V$, которая индуцирует изоморфизмы $\sharp : V^* \to V$ и $\sharp : (\wedge^k V)^* = \wedge^k V^* \to \wedge^k V$, мы можем построить соответствие $\star : \omega \mapsto \sharp \operatorname{det}(\omega \wedge ?)$ имеющее тип $\star : \bigwedge^k V \to \bigwedge^{n-k} V$. Как видно из определения, универсальное свойство этого соответствия в том, что $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$, это всё в сто раз проще и понятнее чем вычисления в каких-то антисимметризованных индексах.

Разве "универсальное свойство" $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$ не ерунда? Ведь согласно постам уважаемых Slav-27 и vpb (спасибо им огромное)

Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):

Я бы сказал так. Имея дифференциальную $k$-форму $\omega$ (= антисимметрический по всем индексам тензор $\omega_{i_1...i_k}$), можно поднять у ней все индексы с помощью метрики и получить кососимметрический $k$-вектор $\omega^\sharp$ (= контравариантный антисимметрический по всем индексам тензор $g^{i_1j_1}...g^{i_kj_k}\omega_{j_1...j_k}$), а потом подставить его в $n$-форму объёма в качестве первых $k$ аргументов (свернуть этот вектор с формой объёма $\sqrt{|g|}\varepsilon_{i_1...i_n}$ по первым $k$ индексам). Получится некоторая $(n-k)$-форма $\star \omega$ (останутся $n-k$ несвернутых нижних индексов, по которым тензор антисимметричен). Это и будет то, что вы называете "дуальный тензор", а nya будет называть звёздочкой Ходжа от формы $\omega$ -- с точностью до знака, за которым надо было внимательно следить.

vpb в сообщении #1358677 писал(а):

Про Ходжа. Из формы $g$ на $V$ получается форма $\widetilde g$ на $V\otimes \ldots\otimes V$, ($l$ сомножителей), по правилу $\widetilde g(v_1\otimes\ldots\otimes v_l, u_1\otimes\ldots\otimes u_l)=g(v_1,u_1)\ldots g(v_l,u_l)$. Далее, оказывается, что подпространство полностью антисимметричных тензоров, которое мы обозначим $\bigwedge^l V$, невырождено относительно формы. С другой стороны, есть билинейное отображение $\bigwedge^l V\times \bigwedge^{n-l} V\longrightarrow \bigwedge^n V$ (не что иное, как внешнее произведение форм). В силу того, что $\bigwedge^n V$ одномерно, получается билинейное отображение из $\bigwedge^l V\times \bigwedge^{n-l} V$ в ${\mathbb R}$.
Притом оно невырождено, и размерности у $\bigwedge^l V$ и $\bigwedge^{n-l} V$ одинаковы. Таким образом, двойственное пространство к $\bigwedge^l V$ канонически изоморфно $\bigwedge^{n-l} V$. Но оно изоморфно и самому $\bigwedge^l V$, в силу невырожденности ограничения формы $\widetilde g$. Поэтому получается некий канонический изоморфизм между $\bigwedge^{n-l} V$ и $\bigwedge^l V$. Это и есть звезда Ходжа.

звезда Ходжа есть линейный изоморфизм между $\bigwedge^{n-l} V$ и $\bigwedge^l V$. Как тогда может быть $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$? Ведь если $\omega\to 0$, то и $\star\omega\to 0$, а тогда и $\operatorname{det} (\omega\wedge\star\omega)\to 0$?

[arseniiv]

В тех обозначениях должно быть верным $\omega \wedge \star\omega = (\omega, \omega) \det^\sharp$, откуда $\det(\omega \wedge \star\omega) = (\omega, \omega) (\det, \det)$, и если принять, что форма объёма согласована со скалярным произведением, то есть $(\det, \det) = 1$, то да, остаётся ещё квадрат $(\omega, \omega)$, а не просто 1. Возможно, недопечатка. Действительно, «количество линейности» всех операций слева требует чего-то билинейного по $\omega$ справа.

[Padawan]

arseniiv
Спасибо! Похоже на то.
Все-таки мне все это дело гораздо понятнее в координатно-индексных обозначениях. Пытаюсь их осмыслить в терминах абстрактных тензорных произведений (дифф. формы с тензорами увязываются легко). Плюс формулу Стокса хочется на разных языках понять, а не только на языке дифф. форм. А то вон в Ландау-Лифшице интеграл берётся по $dS^{ijk}=\begin{vmatrix}dx'^i&dx''^i&dx'''^i\\dx'^j&dx''^j&dx'''^j\\dx'^k&dx''^k&dx'''^k\end{vmatrix}$ (жуть, но что-то в этом есть)

Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):

Я бы сказал так. Имея дифференциальную $k$-форму $\omega$ (= антисимметрический по всем индексам тензор $\omega_{i_1...i_k}$), можно поднять у ней все индексы с помощью метрики и получить кососимметрический $k$-вектор $\omega^\sharp$ (= контравариантный антисимметрический по всем индексам тензор $g^{i_1j_1}...g^{i_kj_k}\omega_{j_1...j_k}$), а потом подставить его в $n$-форму объёма в качестве первых $k$ аргументов (свернуть этот вектор с формой объёма $\sqrt{|g|}\varepsilon_{i_1...i_n}$ по первым $k$ индексам). Получится некоторая $(n-k)$-форма $\star \omega$ (останутся $n-k$ несвернутых нижних индексов, по которым тензор антисимметричен).

А почему пишут, например, $\star F_{kl}=\frac{1}{2!}F^{ij}\sqrt{|g|}\varepsilon_{ijkl}$? Какой смысл в коэффициенте $1/2$?
И еще, какой смысл этой операции? Вот я понимаю, когда берут простой бивектор $\xi\wedge\eta$ в $\mathbb R^4$, и в его ортогональном дополнении берут бивектор такой же площади, ориентированный так, чтобы вместе с первым получалась положительная ориентация. Потом по линейности распространяют это на все бивекторы (не только простые). Это возможно, потому что описанная операция является билинейной и кососимметричной (относительно исходных векторов $\xi$, $\eta$). Всё наглядно. А как понять, что мы делаем с 2-формами? Просто говорим, что 2-форма и бивектор это одно и то же в силу поднимания и опускания индексов, и делаем то же самое? Или мы делаем другое? Не могу уяснить как подъём-опускание индексов связан со сверткой бивектора с формой объёма. Как-то это в индексной записи можно объяснить?

[arseniiv]

Пока никто не пришёл, ещё напишу.

Насколько я лично понимаю, все $\frac 1 {n!}$ возникают из-за того что элементы внешней алгебры представляются элементами непосредственно тензорной, а это не очень хорошо и в общем у нас выходит свобода с отдельными произвольными множителями для вложения каждой из внешних степеней в соответствующую тензорную (кроме первых двух). И в самых удобных способах вложения или такие факториальные множители будут при антисимметризации в формуле для выражения $\wedge$, или полезут в другие места. Вроде так.

То есть, с меньшим рукомахательством, допустим мы хотим чтобы «естественная антисимметризация» $T(V) \to \wedge(V)\colon v_1 \otimes \ldots \otimes v_n \mapsto v_1 \wedge \ldots \wedge v_n$ (она определена железно единственным образом по определению $\wedge(V)$ как фактора $T(V)$) в композиции с интересующим нас вложением обратно $\wedge(V) \to T(V)$ давала тождественное отображение, то это вложение должно отправлять $v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \mapsto \frac 1 {n!} \sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma 1} \otimes \ldots \otimes v_{\sigma n}$. А если мы хотим (мнимой?) простоты в этом месте, то факториал вылезет в другом. Или даже при этом определении где-нибудь вылезет, надо все «отензоренные» определения будет аккуратно сверять.

Padawan в сообщении #1518338 писал(а):

А как понять, что мы делаем с 2-формами?

У формы вместо площади ведь этакая «плотность» или «поток» в каком-то направлении, которые можно захватить соответствующим $m$-вектором и посчитать, сколько туда «влезло», так что вроде с одной стороны это не так уж непрозрачно, а с другой действительно не сильно что-то новое, чем просто то же самое, что с $m$-векторами, но дуализованное.

[vpb]

Padawan в сообщении #1518319 писал(а):

Как тогда может быть $\operatorname{\det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$?

Никак не может, ясно дело.

[svv]

В физике чаще используется версия звёздочки Ходжа, которая $p$-вектору ставит в соответствие $n-p$-форму, и наоборот. Например, в случае тензора электромагнитного поля, бивектору $F^{kl}$ сопоставляется 2-форма
$(^*F)_{ij}=\frac 1{2!}|g|^{1/2}\varepsilon_{ijkl}F^{kl}$,
а 2-форме $F_{kl}$ бивектор
$(^*F)^{ij}=\frac 1{2!}|g|^{-1/2}\varepsilon^{ijkl}F_{kl}$.

Для наглядности выпишу компоненты тензора ЭМ поля в лоренцевой системе координат через компоненты $\mathbf E$ и $\mathbf H$:
$\begin{array}{rr}F_{ik}=\begin{bmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&-H_z&H_y\\-E_y&H_z&0&-H_x\\-E_z&-H_y&H_x&0\end{bmatrix}&\quad\quad F^{ik}=\begin{bmatrix}0&-E_x&-E_y&-E_z\\E_x&0&-H_z&H_y\\E_y&H_z&0&-H_x\\E_z&-H_y&H_x&0\end{bmatrix}\\ \\(^*F)^{ik}=\begin{bmatrix}0&H_x&H_y&H_z\\-H_x&0&-E_z&E_y\\-H_y&E_z&0&-E_x\\-H_z&-E_y&E_x&0\end{bmatrix}&\quad\quad (^*F)_{ik}=\begin{bmatrix}0&-H_x&-H_y&-H_z\\H_x&0&-E_z&E_y\\H_y&E_z&0&-E_x\\H_z&-E_y&E_x&0\end{bmatrix}\end{array}$

Одну из величин $\varepsilon_{0123}$ и $\varepsilon^{0123}$ можно выбрать равной $1$, тогда другая будет равна $-1$, соответственно, существует два разных стандарта. Я использовал соглашение
$\varepsilon_{0123}=-\varepsilon^{0123}=1,$
у Ландау и Лифшица наоборот.

Padawan в сообщении #1518338 писал(а):

А почему пишут, например, $\star F_{kl}=\frac{1}{2!}F^{ij}\sqrt{|g|}\varepsilon_{ijkl}$? Какой смысл в коэффициенте $1/2$?

Так как и $F^{ij}$, и $\varepsilon_{ijkl}$ антисимметричны по индексам $i,j$, каждая независимая компонента $F$, которая входит в сумму, входит в неё дважды. Поэтому без коэффициента $\frac 1 2$ в формулах для компонент $(^*F)^{ik}$ и $(^*F)_{ik}$ всюду появились бы множители $2$.

Иначе говоря, множитель $\frac 1{p!}$ обеспечивает $^{**}\mathsf T=\pm\mathsf T$, где $\mathsf T$ это $p$-вектор или $p$-форма. Здесь описано, чем определяется выбор знака, в частности, для тензора ЭМ поля $^{**}F=-F$.

Padawan в сообщении #1518338 писал(а):

И еще, какой смысл этой операции? Вот я понимаю, когда берут простой бивектор $\xi\wedge\eta$ в $\mathbb R^4$, и в его ортогональном дополнении берут бивектор такой же площади, ориентированный так, чтобы вместе с первым получалась положительная ориентация. Потом по линейности распространяют это на все бивекторы (не только простые). Это возможно, потому что описанная операция является билинейной и кососимметричной (относительно исходных векторов $\xi$, $\eta$). Всё наглядно. А как понять, что мы делаем с 2-формами? Просто говорим, что 2-форма и бивектор это одно и то же в силу поднимания и опускания индексов, и делаем то же самое? Или мы делаем другое? Не могу уяснить как подъём-опускание индексов связан со сверткой бивектора с формой объёма.

Для звезды Ходжа $*: \bigwedge^p V\to \bigwedge^{n-p} V^*$, как по мне, получается даже проще. Покажу на примере $n=4, p=2$. Требуется лишь форма объёма
$\Omega: V^4\to\mathbb R.$
Как Вы сказали, достаточно определить оператор $*$ для простых бивекторов. Определяем:
$^*(\xi\wedge\eta)=\Omega(\xi,\eta,\cdot,\cdot)$
Зафиксировав два аргумента 4-формы, получили 2-форму.

[Slav-27]

Звёздочка Ходжа определяется соотношением $\alpha\wedge\star\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\mathrm{Vol}$.

Подробности: post1503089.html#p1503089.

Геометрическая интерпретация:

Slav-27 в сообщении #1503508 писал(а):

$V$ -- ориентированное вещестенное евклидово пространство. Ненулевому разложимому $k$-вектору $\alpha=u_1\wedge...\wedge u_k$ сопоставляем разложимый $(n-k)$-вектор $\star\alpha$ в ортогональном дополнении к линейной оболочке $u_1,...,u_k$, имеющий такой же объём: их ровно два -- берём тот из них, чтобы $\alpha\wedge\star\alpha$ было положительно. Этим вкупе с линейностью звёздочка однозначно определяется.

Если $V$ псевдоевклидово, то надо поменять "ненулевому разложимому $k$-вектору" на "разложимому $k$-вектору ненулевого объёма".

UPD. А ещё надо "чтобы $\alpha\wedge\star\alpha$ было положительно" поменять на "чтобы оно было одинакового знака с объёмом $\alpha$".