Задача о касательной к параболе, не пойму как решать

[frostysh]

Вот задача, номер 47 (последняя):

Вычислить параметр параболы $y^{2} = 2px$, если известно что она касается прямой $x - 2y + 5 = 0.$

Это последняя задача коротеньких, вступительных разделов об аналитической геометрии, это я к тому что дифференцирование после геометрии, соответственно тут его использовать нельзя. Не пойму вообще как подступится, c уравнения прямой можно понять какие отрезки эта прямая отсекает на координатных осях, а именно

$$y = 0 \Rightarrow x = -5$$

$$x = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{2}$$

поэтому можно примерно построить график этой прямой, также можно понять что фокус параболы в удобных координатах будет на положительной части оси асбцис а директриса на отрицательной:



Где $F$ это фокус параболы, $p$ — прицельный параметр, $C$ — касательная точка. Интуитивно мне понятно что со всего множества парабол вида $y^{2} = 2px$, только одна будет касательной к заданой прямой в этих удобных координатах. Даже понятно после рассмотрения множества прямых с одинаковых угловым коэфициентом (параллельных) что $p$ будет пропорционально $b$ в уравнении прямых $y = \frac{1}{2}x + b$, но как это будет выглядит при этой единственной касательной, не могу понять... Рисовал и так, и сяк, туды-сюды. В общем уже два часа ночи, пойду как спать, завтра чете нагуглю.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- условие задачи наберите, тут уже совершенно незачем приводить его в виде фотографии.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ET]

Ну, давайте так:
1. Если прямая пересекается с параболой, то сколько у нее точек пересечения с ней?
2. Если прямая касается параболы, то сколько у нее точек пересечения с ней?

[DeBill]

ET в сообщении #1399684 писал(а):

Ну, давайте так:
1. Если прямая пересекается с параболой, то сколько у нее точек пересечения с ней?
2. Если прямая касается параболы, то сколько у нее точек пересечения с ней?

А еще надо спросить : "А вот если прямая не пересекается с параболой, то сколько у нее точек пересечения с ней?"
Опыт грит, что такие вопросы ввергают студентов в полный ступор...

[frostysh]

ET в сообщении #1399684 писал(а):

Ну, давайте так:
1. Если прямая пересекается с параболой, то сколько у нее точек пересечения с ней?
2. Если прямая касается параболы, то сколько у нее точек пересечения с ней?

1) Максимум две, по идее, так как в параболы только две ветки, в гиперболы например четыре ветки, то есть легко представить прямую что будет, ну раза три пересекать гиперболу.
2) Ну, если точку касания, она же общая, можно назвать точкой пересечения, то одна и только одна, иначе это буде секущая.

Хотя если честно, не пойму к чему бы это...

DeBill в сообщении #1399695 писал(а):

:D А еще надо спросить : "А вот если прямая не пересекается с параболой, то сколько у нее точек пересечения с ней?"
Опыт грит, что такие вопросы ввергают студентов в полный ступор...

Топик-стартер вообще-то давно уже не студент, протиратель штанов, вечно дремлющий на лекциях , это так, — отчаянная попытка найти хоть какую-то работу спустя много лет после универа.

[wrest]

frostysh в сообщении #1399704 писал(а):

2) Ну, если точку касания, она же общая, можно назвать точкой пересечения, то одна и только одна, иначе это буде секущая.

Хотя если честно, не пойму к чему бы это...

Количество точек пересечения параболы и прямой, если есть уравнения и того и другого, вы можете найти?
Может ли прямая пересекать параболу в одной точке и при этом не быть касательной к ней?

-- 17.06.2019, 15:25 --

frostysh в сообщении #1399704 писал(а):

легко представить прямую что будет, ну раза три пересекать гиперболу.

Было бы интересно взглянуть на такое

[Munin]

frostysh в сообщении #1399704 писал(а):

легко представить прямую что будет, ну раза три пересекать гиперболу.

Если немного подумать, то легко доказать, что точек пересечения прямой и гиперболы - не более чем две. Подсказка: это алгебраическое свойство.

frostysh в сообщении #1399704 писал(а):

это так, — отчаянная попытка найти хоть какую-то работу спустя много лет после универа.

Интересно, а что, бывает работа, на которой надо строить касательные к параболам?

[wrest]

frostysh
Побочный квест (но тоже может помочь в решении):

(Оффтоп)

Допустим, вам сказали что зеленая линия - это парабола, а красная линия - её ось симметрии.
Сможете циркулем и линейкой построить касательную к параболе в точке A?

[frostysh]

Уравнения то есть, к примеру прибавить к обеим частям по $2y$ и отнять $5$, в результате уравнение прямой трансформируется в $x = 2y - 5$, далее можем взять общую точку гиперболы $y^{2} = 2px$ и соответствующей прямой,

$$y^{2} = 2p(2y - 5)$$

$$2p = \frac{y^{2}}{2y - 5}$$

но проблема в том что мы не знаем ординаты точки касания...

О гиперболе:



Да, Вы оба, wrest, Munin, верно подметили, не нарисовал три точки пересечения в гиперболы, то я ошибся... Там или асимптота, или касательная (можно даже к двум веткам сразу, ибо симметрия), либо секущая, но только в двух точках. Спасибо что поправили.

Munin О роботе, неа. Не на роботу нужно считать параболы, роботы я вообще пока не нашел, но чтоб ее найти нужно систематично изучить-повторить много чего. И вот книжка эта, для техникумов по математики сейчас на очереди. Потом Фихтенгольц будет, и пару книжек по физике читаю, и много думаю читать, но жаль у меня только один том Фихтенгольца в бумажном виде, приходится часто во дворе заниматься, комп туда не вытянешь.

wrest в сообщении #1399729 писал(а):

frostysh
Побочный квест (но тоже может помочь в решении):

(Оффтоп)

Допустим, вам сказали что зеленая линия - это парабола, а красная линия - её ось симметрии.
Сможете циркулем и линейкой построить касательную к параболе в точке A?

Нет конечно, не смогу. Короче задача явно не на мой уровень познания в математике, тупо.

[wrest]

frostysh в сообщении #1399734 писал(а):

Короче задача явно не на мой уровень познания в математике, тупо.

Это задача на решение квадратного уравнения. Если это не ваш уровень, к Фихтенгольцу вы приступите не скоро

(Оффтоп)

Построение делается за четыре шага 1) окружность по известным центру окружности и точке на ней 2) прямая через две точки 3) окружность по известным центру окружности и точке на ней 4) искомая касательная

[Munin]

frostysh в сообщении #1399734 писал(а):

Там или асимптота, или касательная (можно даже к двум веткам сразу, ибо симметрия)

Вот кстати, асимптоту к двум веткам сразу - это да. Других асимптот у гиперболы нет.
А касательную к двум веткам сразу - нет. По той же причине: малое шевеление такой касательной даст сразу 3 или 4 точки пересечения.

А намекал я вот на что. Гипербола задаётся уравнением 2-й степени. Прямая - уравнением 1-й степени. Их точки пересечения - это система этих двух уравнений, которая приводится к одному уравнению 2-й степени. А значит, решений может быть 0, 1 или 2.

(Точек пересечения гиперболы и окружности, и вообще двух кривых второй степени, может быть 4. По той же причине. Вообще, если у нас есть два полиномиальных уравнения степеней $m$ и $n,$ то их можно свести к одному уравнению степени $mn,$ с соответствующим числом корней. Например, точек пересечения прямой и кубической кривой может быть до 3. (Может быть 0, но только если не учитывать бесконечно удалённую точку.))

frostysh в сообщении #1399734 писал(а):

Нет конечно, не смогу. Короче задача явно не на мой уровень познания в математике, тупо.

А вы попробуйте, она может оказаться проще, чем кажется.

[frostysh]

wrest в сообщении #1399743 писал(а):

Это задача на решение квадратного уравнения. Если это не ваш уровень, к Фихтенгольцу вы приступите не скоро

Квадратного уравнения в котором три неизвестных? Мы не знаем координаты точки касания, и мы не знаем прицельного параметра, мы не знаем фокуса параболы ни директрисы.
Фихтенгольца не так давно читал по серьезному, первый том разделы о сечениях Дедекинда, долго очень разбирался и не разобрался до конца, но вроде сама логика не сложная (у меня все время получается все абстрагировать и усложнять...), как и во всем курсе университетской математики в принципе, то есть если это верно, то это верно, если не верно, то это не верно, а дальше просто обьемная логическая конструкция, мне эта книга давно еще нравилась. Ну это так, впечатления "нуба". :)

Это просто сложная задача, там раньше все простые были (если я только в условии не путал чете), а под конец раздела геометрия, такая-эдакая задача...

wrest в сообщении #1399743 писал(а):

(Оффтоп)

Построение делается за четыре шага 1) окружность по известным центру окружности и точке на ней 2) прямая через две точки 3) окружность по известным центру окружности и точке на ней 4) искомая касательная

Попробую, хотя не понимаю с какими мыслями это построение строилось... Пока не разберусь с этим построением,



нужно погуглить или порисовать много.

Munin в сообщении #1399755 писал(а):

frostysh в сообщении #1399734 писал(а):

Там или асимптота, или касательная (можно даже к двум веткам сразу, ибо симметрия)

Вот кстати, асимптоту к двум веткам сразу - это да. Других асимптот у гиперболы нет.
А касательную к двум веткам сразу - нет. По той же причине: малое шевеление такой касательной даст сразу 3 или 4 точки пересечения.

Вообще не понял почему это нельзя касательную к двум веткам сразу, там ведь симметрия, то есть дзеркальная симметрия, тоже самое что творится на одной ветке, дзеркально отобразится второй ведь линия то ровная. Ну ладно.

Munin в сообщении #1399755 писал(а):

А намекал я вот на что. Гипербола задаётся уравнением 2-й степени. Прямая - уравнением 1-й степени. Их точки пересечения - это система этих двух уравнений, которая приводится к одному уравнению 2-й степени. А значит, решений может быть 0, 1 или 2.

А, ну да...

$$Ax^{2} + By^{2} + Cxy + Dx + Ey + F = 0$$

$$ax + by + c = 0$$

$$x = - \frac{by + c}{a}$$

Логично, второй порядок будет.

Munin в сообщении #1399755 писал(а):

(Точек пересечения гиперболы и окружности, и вообще двух кривых второй степени, может быть 4. По той же причине. Вообще, если у нас есть два полиномиальных уравнения степеней $m$ и $n,$ то их можно свести к одному уравнению степени $mn,$ с соответствующим числом корней. Например, точек пересечения прямой и кубической кривой может быть до 3. (Может быть 0, но только если не учитывать бесконечно удалённую точку.))

Пасибо, я вроде это не так давно учил по книге одного математика, которую я полностью прочитал и использую терь как справочник, но как-то забыл.

[EUgeneUS]

frostysh

Возвращаясь к параболе и прямой.
Если у Вас есть квадратное уравнение, то
а) сколько у него может быть решений?
б) при каких условиях получается то или иное количество решений?

[ihq.pl]

frostysh, вам предлагают супер короткое решение. Но есть еще короче:))