Тип преобразования плоскости

[sotu]

Дана композиция преобразований плоскости
$T_a\circ R^A_\alpha \circ T_b$, где $T_a$ - перенос на вектор $a$, $R^A_\alpha$ - поворот вокруг точки $A$ на угол $\alpha$. Нужно определить, к какому типу относится данное преобразование.

Из теоремы Шаля известно, что любое движение плоскости является сдвигом на вектор (параллельным переносом), поворотом или скользящей симметрией.

Если считать, что $a,b$ - разные векторы, то неподвижных точек у этого преобразования, как я понимаю, нет. Но чтобы точно определить тип преобразования, нужно ещё сказать, меняет ли оно ориентацию.

Как можно аккуратно доказать, что неподвижных точек нет, если их действительно нет, и что нужно сделать, чтобы проверить, меняет ли преобразование ориентацию?

[nnosipov]

sotu в сообщении #1396197 писал(а):

Как можно аккуратно доказать, что неподвижных точек нет, если их действительно нет, и что нужно сделать, чтобы проверить, меняет ли преобразование ориентацию?

Перейдите на язык комплексных чисел: и с неподвижными точками, и с ориентацией станет легко разобраться.

[iifat]

sotu в сообщении #1396197 писал(а):

Если считать, что $a,b$ - разные векторы, то неподвижных точек у этого преобразования, как я понимаю, нет

Как по мне, вы понимаете неправильно. Вот я сдвигаю плоскость на вектор, поворачиваю на $0\circ$ и сдвигаю на противоположный. Противоположныу векторы разные. Могу и посложнее придумать...

[Munin]

nnosipov в сообщении #1396209 писал(а):

Перейдите на язык комплексных чисел: и с неподвижными точками, и с ориентацией станет легко разобраться.

В данном случае комплексные числа - это "линал для бедных" (например, для школьников). Нормальный первокурсник вполне может записать преобразования на языке векторов и матриц. Это может быть ценнее в том смысле, что комплексное рассмотрение - жёстко привязано к размерности 2, а матричное - легко обобщается на размерность $n.$

[nnosipov]

Munin в сообщении #1396225 писал(а):

Нормальный первокурсник

Я думаю, Вы понятия не имеете, что такое "нормальный первокурсник" в настоящее время.

Munin в сообщении #1396225 писал(а):

Это может быть ценнее в том смысле, что комплексное рассмотрение - жёстко привязано к размерности 2, а матричное - легко обобщается на размерность $n.$

Этот текст для кого предназначен? Если для меня, то уж как-то слишком.

[Munin]

nnosipov в сообщении #1396236 писал(а):

Я думаю, Вы понятия не имеете, что такое "нормальный первокурсник" в настоящее время.

Нет, просто я разгильдяев-незнаек не считаю нормальными. Всё-таки есть программа первого курса, обычно включающая линейную алгебру, матрицы и ортогональные матрицы. Я сильно надеюсь, что там успевают дать нормальную форму действительных ортогональных матриц, хотя может быть, это, как "хвостовой материал", не всегда вписывается по времени.

[nnosipov]

Munin в сообщении #1396248 писал(а):

Нет, просто я разгильдяев-незнаек не считаю нормальными.

Это лишний раз доказывает, что Вы оторваны от реальности (я имею в виду реальную преподавательскую деятельность).

Теперь по делу. Комплексные числа в данном специальном случае --- это очень удобный (если не идеальный) инструмент, которым можно легко воспользоваться как для вычислений, так и для доказательства теорем предложенного типа (той же теоремы Шаля, например). Быстро, удобно, понятно. Что еще нужно-то? Будет многомерная геометрия --- будут и другие инструменты.

Впрочем, для "нормальных студентов" комплексные числа тоже перебор, как и матрицы с векторами.

[Connector]

iifat в сообщении #1396210 писал(а):

Как по мне, вы понимаете неправильно. Вот я сдвигаю плоскость на вектор, поворачиваю на $0\circ$ и сдвигаю на противоположный. Противоположныу векторы разные. Могу и посложнее придумать...

Или даже не на $0$ градусов, а на любой угол $\alpha$ — тогда точка $A$ будет неподвижной точкой.
Вообще, если модули векторов равны, а угол между ними равен $180+\alpha$ , то все точки плоскости, кроме, возможно, $A$, будут неподвижными?

[nnosipov]

Connector в сообщении #1396279 писал(а):

Вообще, если модули векторов равны, а угол между ними равен $180+\alpha$ , то все точки плоскости, кроме, возможно, $A$, будут неподвижными?

Угол между векторами не может быть больше $180^\circ$. Вопрос сформулируйте корректно.

[sotu]

Через матрицы записывать пробовал. Возможно, исходные неверные, но в итоге получилось преобразование, тип которого определить я не могу:
При перемножении

$$\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1 & 0\\ a_1&a_2 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha &-x_A\bullet\cos\alpha+y_A\bullet\sin\alpha \\ \sin\alpha&\cos\alpha &-x_A\bullet\sin\alpha-y_A\bullet\cos\alpha \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}$$

и

$$\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1 & 0\\ b_1&b_2 & 1 \end{pmatrix}$$

Где $a_i,b_i$ - координаты векторов $a,b$, $\alpha$ - угол поворота, а $x_A,y_A$ - координаты точки $A$, получается

$$\begin{pmatrix} \cos\alpha+b_1 z_1&-\sin\alpha+b_2 z_1 & z_1\\ \sin\alpha+z_2 b_1& \cos\alpha+b_2 z_2 & z_2\\ z_4+z_3 b_1 & z_5+b_2 z_3 & z_3 \end{pmatrix}$$

Где $z_1=-x_A \cos\alpha+y_A \sin\alpha + x_A z_2=-x_A\sin\alpha-y_A\cos\alpha+y_A z_3=a_1(-x_A\cos\alpha+y_A\sin\alpha+x_A)+a_2(-x_A\sin\alpha-y_A\cos\alpha+y_A)+1 z_4=a_1\cos\alpha+a_2\sin\alpha z_5=-a_1\sin\alpha+a_2\cos\alpha $

С записью в комплексных числах не знаком.

[nnosipov]

sotu в сообщении #1396322 писал(а):

С записью в комплексных числах не знаком.

Ну и зря. С ними все решение задачи заняло бы одну строчку. Кошмар с матрицами комментировать никакого желания нет. Почему у Вас матрицы 3-го порядка?

[arseniiv]

Видимо, чтобы инкорпорировать в умножение матриц перенос. Так любят делать в частности в компьютерной графике, этот подход основан на вложении аффинного пространства в линейное. На правильность вычисления не смотрел.

-- Ср май 29, 2019 20:51:54 --

sotu
Давайте вас тут тогда, что ли, просветим насчёт операций с комплексными числами. (Но полезные следствия вам придётся или где-то всё равно почитать, или вывести из данного.) Вы наверно знакомы с представлением комплексных чисел как плоскости. Возьмём тогда точку, которой соответствует число $z$, и сопоставим $z$ ещё и вектор с началом в нуле и концом в этой точке. Тогда сложение $z+w$ — это и сложение соответствующих векторов, а умножение на $re^{i\varphi}$ — это растяжение в $r$ раз и поворот на $\varphi$ относительно нуля. Теперь мы можем записать параллельные переносы на любой вектор и повороты вокруг любой точки в комплексной плоскости, а так же и опознать их, проведя несложные преобразования (получается свести к умножению на что-то с единичным модулем — поворот, к сумме с чем-то — перенос, и т. д.; ещё можно например будет представлять инверсию относительно окружности, отражение относительно прямой).

[sotu]

Если писать формулы перехода, то получается опять "кошмар", похожий на композицию поворота и одного параллельного переноса.

Из того, что нашёл по комплексным числам и преобразованиям, можно написать формулу
$v'=v\bullet e^{i\alpha}+x_a+x_b+i(y_a+y_b)$, но пока не очень понятно, окончательный ли это ответ в смысле типа преобразования (поворот с параллельным переносом или можно его свести к чему-то одному).

[Connector]

Цитата:

Угол между векторами не может быть больше $180^\circ$. Вопрос сформулируйте корректно.

nnosipov,
Имел в виду, что вектор $b$ получается из вектора $a$ поворотом на $\beta$ $=$ $180+\alpha$, причём направление угла $\beta$ совпадает с направлением $\alpha$.

[nnosipov]

Connector
Ответ на Ваш вопрос: нет.