2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 12:28 


27/05/19
12
Дана композиция преобразований плоскости
$T_a\circ R^A_\alpha \circ T_b$, где $T_a$ - перенос на вектор $a$, $R^A_\alpha$ - поворот вокруг точки $A$ на угол $\alpha$. Нужно определить, к какому типу относится данное преобразование.

Из теоремы Шаля известно, что любое движение плоскости является сдвигом на вектор (параллельным переносом), поворотом или скользящей симметрией.

Если считать, что $a,b$ - разные векторы, то неподвижных точек у этого преобразования, как я понимаю, нет. Но чтобы точно определить тип преобразования, нужно ещё сказать, меняет ли оно ориентацию.

Как можно аккуратно доказать, что неподвижных точек нет, если их действительно нет, и что нужно сделать, чтобы проверить, меняет ли преобразование ориентацию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 13:10 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
sotu в сообщении #1396197 писал(а):
Как можно аккуратно доказать, что неподвижных точек нет, если их действительно нет, и что нужно сделать, чтобы проверить, меняет ли преобразование ориентацию?
Перейдите на язык комплексных чисел: и с неподвижными точками, и с ориентацией станет легко разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 13:20 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
sotu в сообщении #1396197 писал(а):
Если считать, что $a,b$ - разные векторы, то неподвижных точек у этого преобразования, как я понимаю, нет
Как по мне, вы понимаете неправильно. Вот я сдвигаю плоскость на вектор, поворачиваю на $0\circ$ и сдвигаю на противоположный. Противоположныу векторы разные. Могу и посложнее придумать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nnosipov в сообщении #1396209 писал(а):
Перейдите на язык комплексных чисел: и с неподвижными точками, и с ориентацией станет легко разобраться.

В данном случае комплексные числа - это "линал для бедных" (например, для школьников). Нормальный первокурсник вполне может записать преобразования на языке векторов и матриц. Это может быть ценнее в том смысле, что комплексное рассмотрение - жёстко привязано к размерности 2, а матричное - легко обобщается на размерность $n.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 14:46 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Munin в сообщении #1396225 писал(а):
Нормальный первокурсник
Я думаю, Вы понятия не имеете, что такое "нормальный первокурсник" в настоящее время.
Munin в сообщении #1396225 писал(а):
Это может быть ценнее в том смысле, что комплексное рассмотрение - жёстко привязано к размерности 2, а матричное - легко обобщается на размерность $n.$
Этот текст для кого предназначен? Если для меня, то уж как-то слишком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nnosipov в сообщении #1396236 писал(а):
Я думаю, Вы понятия не имеете, что такое "нормальный первокурсник" в настоящее время.

Нет, просто я разгильдяев-незнаек не считаю нормальными. Всё-таки есть программа первого курса, обычно включающая линейную алгебру, матрицы и ортогональные матрицы. Я сильно надеюсь, что там успевают дать нормальную форму действительных ортогональных матриц, хотя может быть, это, как "хвостовой материал", не всегда вписывается по времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 16:39 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Munin в сообщении #1396248 писал(а):
Нет, просто я разгильдяев-незнаек не считаю нормальными.
Это лишний раз доказывает, что Вы оторваны от реальности (я имею в виду реальную преподавательскую деятельность).

Теперь по делу. Комплексные числа в данном специальном случае --- это очень удобный (если не идеальный) инструмент, которым можно легко воспользоваться как для вычислений, так и для доказательства теорем предложенного типа (той же теоремы Шаля, например). Быстро, удобно, понятно. Что еще нужно-то? Будет многомерная геометрия --- будут и другие инструменты.

Впрочем, для "нормальных студентов" комплексные числа тоже перебор, как и матрицы с векторами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 16:46 


02/05/19
396
iifat в сообщении #1396210 писал(а):
Как по мне, вы понимаете неправильно. Вот я сдвигаю плоскость на вектор, поворачиваю на $0\circ$ и сдвигаю на противоположный. Противоположныу векторы разные. Могу и посложнее придумать...

Или даже не на $0$ градусов, а на любой угол $\alpha$ — тогда точка $A$ будет неподвижной точкой.
Вообще, если модули векторов равны, а угол между ними равен $180+\alpha$ , то все точки плоскости, кроме, возможно, $A$, будут неподвижными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 17:32 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Connector в сообщении #1396279 писал(а):
Вообще, если модули векторов равны, а угол между ними равен $180+\alpha$ , то все точки плоскости, кроме, возможно, $A$, будут неподвижными?
Угол между векторами не может быть больше $180^\circ$. Вопрос сформулируйте корректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 18:09 


27/05/19
12
Через матрицы записывать пробовал. Возможно, исходные неверные, но в итоге получилось преобразование, тип которого определить я не могу:
При перемножении
$$\begin{pmatrix}
 1&  0& 0\\
 0& 1 & 0\\
 a_1&a_2  & 1
\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
 \cos\alpha&-\sin\alpha  &-x_A\bullet\cos\alpha+y_A\bullet\sin\alpha \\
 \sin\alpha&\cos\alpha  &-x_A\bullet\sin\alpha-y_A\bullet\cos\alpha \\
 0 &0  & 1
\end{pmatrix}$$

и

$$\begin{pmatrix}
 1&  0& 0\\
 0& 1 & 0\\
 b_1&b_2  & 1
\end{pmatrix}$$
Где $a_i,b_i$ - координаты векторов $a,b$, $\alpha$ - угол поворота, а $x_A,y_A$ - координаты точки $A$, получается

$$\begin{pmatrix}
 \cos\alpha+b_1 z_1&-\sin\alpha+b_2 z_1  & z_1\\
 \sin\alpha+z_2 b_1& \cos\alpha+b_2 z_2 & z_2\\
z_4+z_3 b_1 & z_5+b_2 z_3 & z_3
\end{pmatrix}$$

Где $z_1=-x_A \cos\alpha+y_A \sin\alpha + x_A

z_2=-x_A\sin\alpha-y_A\cos\alpha+y_A

z_3=a_1(-x_A\cos\alpha+y_A\sin\alpha+x_A)+a_2(-x_A\sin\alpha-y_A\cos\alpha+y_A)+1

z_4=a_1\cos\alpha+a_2\sin\alpha

z_5=-a_1\sin\alpha+a_2\cos\alpha
$

С записью в комплексных числах не знаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 18:28 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
sotu в сообщении #1396322 писал(а):
С записью в комплексных числах не знаком.
Ну и зря. С ними все решение задачи заняло бы одну строчку. Кошмар с матрицами комментировать никакого желания нет. Почему у Вас матрицы 3-го порядка? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 18:40 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Видимо, чтобы инкорпорировать в умножение матриц перенос. Так любят делать в частности в компьютерной графике, этот подход основан на вложении аффинного пространства в линейное. На правильность вычисления не смотрел.

-- Ср май 29, 2019 20:51:54 --

sotu
Давайте вас тут тогда, что ли, просветим насчёт операций с комплексными числами. :-) (Но полезные следствия вам придётся или где-то всё равно почитать, или вывести из данного.) Вы наверно знакомы с представлением комплексных чисел как плоскости. Возьмём тогда точку, которой соответствует число $z$, и сопоставим $z$ ещё и вектор с началом в нуле и концом в этой точке. Тогда сложение $z+w$ — это и сложение соответствующих векторов, а умножение на $re^{i\varphi}$ — это растяжение в $r$ раз и поворот на $\varphi$ относительно нуля. Теперь мы можем записать параллельные переносы на любой вектор и повороты вокруг любой точки в комплексной плоскости, а так же и опознать их, проведя несложные преобразования (получается свести к умножению на что-то с единичным модулем — поворот, к сумме с чем-то — перенос, и т. д.; ещё можно например будет представлять инверсию относительно окружности, отражение относительно прямой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 19:14 


27/05/19
12
Если писать формулы перехода, то получается опять "кошмар", похожий на композицию поворота и одного параллельного переноса.

Из того, что нашёл по комплексным числам и преобразованиям, можно написать формулу
$v'=v\bullet e^{i\alpha}+x_a+x_b+i(y_a+y_b)$, но пока не очень понятно, окончательный ли это ответ в смысле типа преобразования (поворот с параллельным переносом или можно его свести к чему-то одному).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 19:46 


02/05/19
396
Цитата:
Угол между векторами не может быть больше $180^\circ$. Вопрос сформулируйте корректно.

nnosipov,
Имел в виду, что вектор $b$ получается из вектора $a$ поворотом на $\beta$ $=$ $180+\alpha$, причём направление угла $\beta$ совпадает с направлением $\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тип преобразования плоскости
Сообщение29.05.2019, 19:52 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Connector
Ответ на Ваш вопрос: нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 79 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group