Неопределенность Гейзенберга

[sergey zhukov]

К сожалению, не нашел на этом форуме такую тему.

Из всего, что я слышал о неопределенности Гейзенберга, у меня сложилось такое мнение:

1. Микромир - это тот масштаб, где непрерывное приближение многих величин становится неприменимо и становится уже невозможно игнорировать, что это были именно приближения. Это тот масштаб увеличения, на котором гладкая кривая наконец превращается в скопище пикселей/квантов;

2. Любое наблюдение - это воздействие, так что в результате такого измерения получается не состояние измеряемого объекта, а комбинация "состояние объекта $+$ наблюдательное воздействие". В классической физике последнее всегда можно сделать пренебрежительно малым в сравнении с первым, и в аккуратных экспериментах так всегда и делается. Но в микромире наблюдательное воздействие квантовано. У нас, по большому счету, есть всего два варианта - либо квант воздействия, либо вообще ничего. Первое слишком грубо, т.к. составляет возмущение порядка измеряемой величины, а второе - это просто ноль информации ${\ast$}.

3. Невозможно выполнить точное измерение, если измеряемое воздействие невозможно сделать пренебрежительно малым в сравнении с измеряемой величиной. Принцип неопределенности Гейзенберга говорит, что в микромире именно это и происходит ввиду того, что пренебрежимо малой величиной в сравнении с квантом там является только точный ноль;

4. Неопределенность квантовых величин понимается, как их ненаблюдаемость, учитывая принципиальное отсутствие адекватных инструментов наблюдения.

Можно ли так понимать соотношение Гейзенберга, или оно имеет более глубокий смысл?

$\ast$ Это очень похоже на квантовый характер информации из теории информации Шеннона. Там тоже делается вывод о том, что существует мельчайший квант информации - бит (ответ типа да/нет). Невозможно получить меньше информации, однако иногда даже и ее бывает слишком много. Когда мы ставим какой-либо вопрос, ответ на который может быть типа да/нет, то не все вопросы одинаково "трудны" (с точки зрения теории информации). Самый трудный (для спрашивающего) вопрос - это такой, когда спрашивающий знает ответ (да/нет) на него с вероятностью 50/50. Тогда полученный бит информации разрешает максимально неопределенную задачу и используется с максимальной полнотой. Если же спрашивающий задает вопрос, ответ на который (да/нет) известен ему с вероятностью, скажем, 90/10, то это слишком "легкий" вопрос. С одной стороны, вообще без дополнительной информации его достоверно не разрешить, но с другой стороны, эта дополнительная информация не может быть меньше бита, а этого уже слишком много, т.к. бит может решить гораздо более неопределенный вопрос 50/50. Шеннон понял, что квантование информации - это то, что невозможно обойти. Либо ты получишь бит, либо ничего. Выход состоит в том, чтобы работать над вопросами: спрашивать не что попало, а конструировать и задавать всегда только самые трудные и неопределенные вопросы типа 50/50;

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1396049 писал(а):

1. Микромир - это тот масштаб, где непрерывное приближение многих величин становится неприменимо и становится уже невозможно игнорировать, что это были именно приближения. Это тот масштаб увеличения, на котором гладкая кривая наконец превращается в скопище пикселей/квантов;

Неа.

sergey zhukov в сообщении #1396049 писал(а):

3. Невозможно выполнить точное измерение, если измеряемое воздействие невозможно сделать пренебрежительно малым в сравнении с измеряемой величиной. Принцип неопределенности Гейзенберга говорит, что в микромире именно это и происходит ввиду того, что пренебрежимо малой величиной в сравнении с квантом там является только точный ноль;

Ну вообще если мы можем готовить в систему в одном и том же состоянии много раз, мы можем наизмерять всё с достаточной точностью.

sergey zhukov в сообщении #1396049 писал(а):

4. Неопределенность квантовых величин понимается, как их ненаблюдаемость, учитывая принципиальное отсутствие адекватных инструментов наблюдения.

Ну как это ненаблюдаемость?

sergey zhukov в сообщении #1396049 писал(а):

Шеннон понял, что квантование информации - это то, что невозможно обойти. Либо ты получишь бит, либо ничего.

Да вроде нет. Утяжелённая монетка имеет информационную энтропию меньше бита. Вполне честный кубик с разными числами на гранях имеет информационной энтропией нецелое число $\log_2 6$ бит. Ничто нам не мешает передавать данные трёхуровневым сигналом, например, просто в цифровой технике оказывается удобным на каком-то из уровней воспринимать её как двоичную последовательность.

Про соотношение неопределённостей на популярном уровне, по-моему, стоит знать, что оно есть уже для классических волновых пакетов: частота и положение пакета — не числа, а имеют некоторое распределение, у которого практически полезно может быть найти матожидание («среднее значение») и корень из дисперсии («неопределённость» первого). Как два крайних случая можно предложить плоскую волну (это уже не волновой пакет, конечно), для которой положение максимально неопределено, а частота точная, и дельта-функцию, для которой всё наоборот.

При рассмотрении волновых функций в КМ с положением и импульсом творится ровно аналогичное, и даже чуть удобнее, потому что волновые функции комплекснозначны; ну а вообще в квантовой теории есть более общие соотношения неопределённостей, и это всё можно вывести из более глубоких вещей, но хотя бы этот взгляд говорит, что ничего нового квантовая теория не открывает. И собственно кванты полей начинаются лишь при рассмотрении теории поля, а КМ не теория поля, и там нет никаких квантов, но есть соотношения неопределённостей.

[george66]

Представьте, что катится тяжёлый шарик, а на пути у него горка. Шарик катится в горку, постепенно замедляясь, кинетическая энергия убывает. Если начальная скорость шарика достаточно велика, он переедет через горку и опять начнёт ускоряться. А если нет, то не переедет. Теперь аналогичный опыт с электроном. Летит электрон, на пути у него металлическая сетка, на сетку подан отрицательный заряд. Электрон тормозится, теряет скорость, кинетическая энергия уменьшается. Если начальная скорость достаточно велика, он проскочит и опять начнёт разгоняться. А если нет, то он всё равно иногда проскакивает (туннельный эффект). Кинетическая энергия шарика на вершине горки при этом должна стать отрицательной, чего не бывает. Но есть соотношение неопределённостей, не дающее точно измерить одновременно кинетическую энергию шарика и момент времени. Поэтому, если шарик проскакивает вершину быстро (момент времени определён достаточно точно), измерить энергию в этот момент мы можем только с очень большой погрешностью. Может, она и отрицательная, но проверить нельзя. Таким образом, некоторые величины нельзя измерить одновременно и частицы этим пользуются по полной программе.

[arseniiv]

Вот кстати я ещё думал, что «соотношение» между энергией и временем это не соотношение и плохой пример. Часто популяризаторы любят ещё говорить о несохранении энергии на небольших временных масштабах, что наверно даже хуже, чем объяснение хокинговского излучения рождением пар.

[Munin]

sergey zhukov
Какой вы многостаночник! И как вы всё успеваете! С ОТО уже разобрались, раз за квантовую физику принялись?

-- 28.05.2019 22:59:39 --

sergey zhukov в сообщении #1396049 писал(а):

1. Микромир - это тот масштаб, где непрерывное приближение многих величин становится неприменимо и становится уже невозможно игнорировать, что это были именно приближения. Это тот масштаб увеличения, на котором гладкая кривая наконец превращается в скопище пикселей/квантов;

Одна из первейших и грубейших ошибок дилетантов - это аналогия квантов с пикселями. Ничего подобного.

sergey zhukov в сообщении #1396049 писал(а):

4. Неопределенность квантовых величин понимается, как их ненаблюдаемость, учитывая принципиальное отсутствие адекватных инструментов наблюдения.

Неопределённость классических величин. Нет, причина неопределённости глубже.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[sergey zhukov]

arseniiv в сообщении #1396060 писал(а):

Про соотношение неопределённостей на популярном уровне, по-моему, стоит знать, что оно есть уже для классических волновых пакетов

Это связано с разложением в дискретный ряд Фурье? Мне хорошо понятно, что такое частотно-временная неопределенность спектра сигнала. Дельта-функция - пример сигнала с равномерным спектром?

arseniiv в сообщении #1396060 писал(а):

Ну вообще если мы можем готовить в систему в одном и том же состоянии много раз...

Разве т.н. коллапс волновой функции - это не случайный процесс? Проведя эксперимент много раз, можно получить только среднее этих результатов или распределение вероятностей, как я понимаю. Если возникает необходимость многократно повторить эксперимент, чтобы получить результат, то это может означать одно из двух: сильный шум или вероятностная природа измеряемой величины. Разве нет?

arseniiv в сообщении #1396060 писал(а):

как это ненаблюдаемость?

Я хотел сказать, что раз инструментов для наблюдения нет, то получаются ненаблюдаемые величины. Грубо говоря, любая теория, даже теория бильярдных шариков, основанная на существовании неделимых частиц, должна предсказывать некую неопределенность при попытках точно все определить на уровне самых маленьких шариков.

sergey zhukov в сообщении #1396049 писал(а):

Ничто нам не мешает передавать данные трёхуровневым сигналом

Информации меньше одного бита не существует в любом случае. Алфавиты большего, чем двоичный, размера, как раз несут более одного бита информации на символ, т.к. отвечают на более сложный вопрос. Например, трехбуквенный алфавит должен в оптимальном случае отвечать на вопрос, имеющий три равновероятных ответа. Все алфавиты сводятся к двоичному, в котором понятие "бит" очевиднее всего.
Да, результат броска несимметричной монеты имеет энтропию меньше бита на бросок. Но для того, чтобы ее получить, нам все равно нужно получить целый бит (результат броска). Т.е. мы и так почти уверены, что монета упадет, скажем, орлом вверх, но нам все равно придется ее подбросить, чтобы это стало достоверно. Наша вероятностная информация об асимметрии монеты в этом случае просто пропадает даром. Единственный способ использовать вероятностную информацию - вместо вопроса "орел или решка" поставить вопрос так, чтобы оба ответа стали равновероятны.

[amon]

Квантовая механика не запрещает измерить какую-нибудь одну величину с произвольной точностью. Соотношение Гейзенберга говорит о том, что существуют величины, которые нельзя одновременно измерить с произвольной точностью.

[Pavia]

sergey zhukov в сообщении #1396128 писал(а):

Это связано с разложением в дискретный ряд Фурье? Мне хорошо понятно, что такое частотно-временная неопределенность спектра сигнала. Дельта-функция - пример сигнала с равномерным спектром?

Нет. И чего же такого у спектра неопределённого? (Я к тому что этот термин выбран неправильно и только всех путает)

sergey zhukov в сообщении #1396128 писал(а):

Разве т.н. коллапс волновой функции - это не случайный процесс?

С чего вдруг? Вы составили условие задачи и решили его по строгому алгоритму в результате у вас функция коллапсировала(разрушилась).

sergey zhukov в сообщении #1396128 писал(а):

Если возникает необходимость многократно повторить эксперимент, чтобы получить результат, то это может означать одно из двух: сильный шум или вероятностная природа измеряемой величины. Разве нет?

А что при малом шуме не надо многократно проводить эксперимент? Вам знакомо понятие истинное значение?

sergey zhukov в сообщении #1396049 писал(а):

4. Неопределенность квантовых величин понимается, как их ненаблюдаемость, учитывая принципиальное отсутствие адекватных инструментов наблюдения.

Насколько помню эта фраза мне попадалась в книгах.

А вот так её критиковал Борн.

Цитата:

Специфика этой процедуры состоит в том, что
микроскопические координаты вводятся только для того, чтобы
сделать отдельные явления* по крайней мере
теоретически определенными. Для практических целей они не
существуют: экспериментатор считает только число
частиц, отклонившихся на данный угол, не заботясь о
подробностях траектории; существенная часть
траектории, в которой осуществляется реакция атома на
электроны, не доступна наблюдению. Но из таких числовых
данных мы можем вывести заключение о механизме
столкновения. Знаменитым примером этого является
работа Резерфорда по рассеянию $\alpha$-частиц; здесь, однако,
микроскопическими координатами являются не
электронные фазы, а расстояние ядра от начальной
траектории $\alpha$-частицы. Опираясь на статистику рассеяния, Резерфорд смог доказать справедливость кулоновского
закона для взаимодействия между ядром и $\alpha$-частицей.
Из применяемой при этом формулы распределения
частиц по различным углам отклонения
микроскопическая координата исключается.
Таким образом, мы имеем пример оценки поля сил
с помощью расчета статистическими методами, а не с
помощью измерения ускорения и второго закона
Ньютона.

Да треки частиц мы можем наблюдать в камере Вильсона.

[Pavia]

george66

george66 в сообщении #1396071 писал(а):

Поэтому, если шарик проскакивает вершину быстро (момент времени определён достаточно точно), измерить энергию в этот момент мы можем только с очень большой погрешностью. Может, она и отрицательная, но проверить нельзя. Таким образом, некоторые величины нельзя измерить одновременно и частицы этим пользуются по полной программе.

А Вы в каком учебнике это прочитали?

[Munin]

Pavia в сообщении #1396167 писал(а):

А вот так её критиковал Борн.

Ссылку на источник цитирования дайте, будьте добры.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1396128 писал(а):

Это связано с разложением в дискретный ряд Фурье? Мне хорошо понятно, что такое частотно-временная неопределенность спектра сигнала. Дельта-функция - пример сигнала с равномерным спектром?

Свойства преобразования Фурье помогают вывести соотношение неопределённостей, ну и вообще пощупать ситуацию, но само разложение, и разложение именно в ряд, с этим не так чтобы прямо связаны.

У дельта-функции $\delta(x)$ преобразование Фурье равно константе (может быть 1, в зависимости от нормировки в определении п. Ф.), но если сдвинуть её из нуля: $\delta(x-a)$, оно (как и у произвольной функции) умножится на растянутую в $1/a$ раз мнимую экспоненту от времени, то есть если принимать во внимание фазу, нельзя сказать «равномерным».

sergey zhukov в сообщении #1396128 писал(а):

Если возникает необходимость многократно повторить эксперимент, чтобы получить результат, то это может означать одно из двух: сильный шум или вероятностная природа измеряемой величины. Разве нет?

Нет. Состояние изолированной квантовой системы прекрасно можно описать в точности, ну а взаимодействие её с большой системой, ведущей себя классически, это уже отдельная тема.

sergey zhukov в сообщении #1396128 писал(а):

Я хотел сказать, что раз инструментов для наблюдения нет, то получаются ненаблюдаемые величины.

Ну вот например фазу системы как целого мы как раз действительно не можем измерить, и она действительно ненаблюдаема. (Но вообще это вызвано тем, что она сама по себе ни на что не влияет — только разности фаз подсистем.) Но мы можем измерить те же энергию, импульс и т. п.. Да, это не классическое идеальное измерение, но так сложилось, что люди не путаются в словах, так что не будем придумывать два отдельных. Главное, что мы можем точно описать эволюцию квантовой системы, оставленной самой по себе, и (статистическую) эволюцию ансамбля систем (состояние которого описывается т. н. оператором плотности), взаимодействующих с чем-то идеализированно классическим.

Дискретность появляется по другому поводу, и подойти к ним можно, рассмотрев сначала гармонический осциллятор (квантовый), и одномерный, где стационарные состояния будут иметь не все возможные энергии, а лишь лесенку, и болееразмерный, где есть смысл смотреть на момент импульса. Подобным ситуации с осциллятором образом в квантовых полях потом выделяют частицы, но не стоит забывать, что состояния осциллятора с определённой энергией или состояния поля с определённым числом частиц природе не краше, чем их линейные комбинации (принцип суперпозиции). Когда в народе начинают говорить «кванты то, кванты сё», обычно начисто забывают про последний, и это невыразимо плохо для понимания.

[Sicker]

sergey zhukov в сообщении #1396128 писал(а):

Информации меньше одного бита не существует в любом случае. Алфавиты большего, чем двоичный, размера, как раз несут более одного бита информации на символ, т.к. отвечают на более сложный вопрос. Например, трехбуквенный алфавит должен в оптимальном случае отвечать на вопрос, имеющий три равновероятных ответа. Все алфавиты сводятся к двоичному, в котором понятие "бит" очевиднее всего.
Да, результат броска несимметричной монеты имеет энтропию меньше бита на бросок. Но для того, чтобы ее получить, нам все равно нужно получить целый бит (результат броска). Т.е. мы и так почти уверены, что монета упадет, скажем, орлом вверх, но нам все равно придется ее подбросить, чтобы это стало достоверно. Наша вероятностная информация об асимметрии монеты в этом случае просто пропадает даром. Единственный способ использовать вероятностную информацию - вместо вопроса "орел или решка" поставить вопрос так, чтобы оба ответа стали равновероятны.

Ну вообще-таки информационная энтропия определяется для достаточно большого $N$ длины сообщения, так что эти ваши поправки стремятся к нулю. Тут все так же, как и с термодинамической энтропией

[arseniiv]

А, точно, забыл же ответить ещё и на эту часть.

sergey zhukov в сообщении #1396128 писал(а):

Информации меньше одного бита не существует в любом случае. Алфавиты большего, чем двоичный, размера, как раз несут более одного бита информации на символ, т.к. отвечают на более сложный вопрос. Например, трехбуквенный алфавит должен в оптимальном случае отвечать на вопрос, имеющий три равновероятных ответа. Все алфавиты сводятся к двоичному, в котором понятие "бит" очевиднее всего.
Да, результат броска несимметричной монеты имеет энтропию меньше бита на бросок. Но для того, чтобы ее получить, нам все равно нужно получить целый бит (результат броска). Т.е. мы и так почти уверены, что монета упадет, скажем, орлом вверх, но нам все равно придется ее подбросить, чтобы это стало достоверно. Наша вероятностная информация об асимметрии монеты в этом случае просто пропадает даром. Единственный способ использовать вероятностную информацию - вместо вопроса "орел или решка" поставить вопрос так, чтобы оба ответа стали равновероятны.

Ну нет, по-моему это надругательство над теорией информации, кодирования и/или вероятностей. :) Можно всё упримитивизировать в ноль, но зачем?

Одно из оснований алгоритмов сжатия в том, что если символы алфавита выпадают в сообщениях неравновероятно, такие сообщения несут меньше информации, чем равнодлинные с равновероятным выпаданием. Если же всё сначала приводить к целому числу битов как у вас, мы не сможем не кривя душой сжать последовательность выпадений нечестной монетки, хотя если не делать таких искусственных предположений, мы сможем и нам не будет нигде по этому случаю неудобно.

-- Ср май 29, 2019 20:25:12 --

Sicker в сообщении #1396314 писал(а):

Ну вообще-таки информационная энтропия определяется для достаточно большого $N$ длины сообщения

Да? Ну вот, а я-то думал, что для любого. Даже считал что-то. Неужели это было во сне.

[Pavia]

Munin
Борн М.-Физика в жизни моего поколения. Сборник статей (1963)

arseniiv

arseniiv в сообщении #1396304 писал(а):

Свойства преобразования Фурье помогают вывести соотношение неопределённостей, ну и вообще пощупать ситуацию, но само разложение, и разложение именно в ряд, с этим не так чтобы прямо связаны.

И в каком это месте она помогает?
Открываем школьный учебник для углублённого изучения
Мякишев Г.Я.-Физика. Оптика. Квантовая физика. 11 кл. (2002)
И там без Фурье выведено.