Геометрия и топология грассманиана

[Munin]

Ха! Я допёр! Чтобы понимать грассманиан, можно просто перечислить в гиперкубе все $k$-грани, смежные с данной вершиной.

[vpb]

Стало быть, Вы для себя клетки Шуберта открыли (в том же смысле, в котором говорят "я открыл для себя секс в 30 лет").

[Munin]

Нет пока.

[Munin]

Следующая попытка.

Munin в сообщении #1319312 писал(а):

$\mathrm{Gr}(2,4)$ - грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном пространстве. Я пытаюсь понять, как устроен $\mathrm{Gr}(2,4)$ над $\mathbb{R},$

Понятно, что на базисные вектора 2-плоскости можно натянуть на 6 пар: $(x,y),(x,z),(y,z),\quad (x,w),(y,w),(z,w).$ Три из них лежат в 3-плоскости $(x,y,z),$ а три другие - перпендикулярны ей. Эти 2-плоскости будут "опорными точками" конструкции.

Сначала "основание". Множество всех 2-плоскостей в 3-плоскости $(x,y,z).$ Это $\mathrm{Gr}(2,3)=\mathbb{RP}^2$ по "дуальности" (каждой плоскости отвечает нормальная прямая, и все такие прямые образуют полусферу $\mathbb{RP}^2=S^2/2$).

Теперь "возводим стены". 2-плоскость, лежащую в 3-плоскости $(x,y,z),$ будем поворачивать по четвёртой координате. Как это сделать? Аналогично тому, как 2-плоскость $(x,y)$ можно поворачивать по направлению к оси $z$: мы должны выбрать произвольную "неподвижную прямую" - ось поворота - и вокруг неё можно качать плоскость туда-сюда. Множество прямых - полуокружность $\mathbb{RP}^1=S^1/2,$ и над каждой прямой строится интервал $(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).$ Пока не будем их доводить до конечных точек. Получается лента Мёбиуса с выколотым краем. И такие ленты Мёбиуса возводятся над каждой 2-плоскостью в $(x,y,z)$ (уф-ф-ф!), то есть получается 2+2=4 измерения. Вроде бы, как и должно быть. Дальше эти слои будут замыкаться многообразием плоскостей, проходящих через ось $w.$

Проверим себя. Построим аналогичным методом $\mathrm{Gr}(2,3).$
"Основание". Это просто: 2-плоскость может лежать в 2-плоскости $(x,y)$ единственным образом: точка.
"Стены". Выбираем $\mathbb{RP}^1$ осей поворота, и над каждой строим интервал $(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).$ Пока у нас получается "конус": через точку проходит пучок интервалов, с "основанием конуса" в виде полуокружности.
"Замыкание стен". Это многообразие плоскостей, проходящих через ось $z.$ А что это такое? Это многообразие прямых в $(x,y),$ то есть опять-таки $\mathbb{RP}^1.$ Каждый интервал, построенный на предыдущем шаге, обоими своими концами замыкается в одной и той же точке "замыкающей $\mathbb{RP}^1$".
В итоге, получилась $\mathbb{RP}^2,$ построенная "от полюса к экватору". Правильно.

Строим "замыкание стен" $\mathrm{Gr}(2,4).$ Это многообразие плоскостей, проходящих через ось $w.$ Это будет многообразие прямых в 3-плоскости $(x,y,z),$ и мы его знаем: $\mathbb{RP}^2.$ Каждая точка этой проективной плоскости вклеивается между концами интервалов "стены". Между которыми?
- Мы взяли в "основании" плоскость - 2 измерения.
- Мы выбрали в этой плоскости ось поворота - ещё 1 измерение.
Получается, что всего таких интервалов сейчас 1+2=3 -мерное многообразие. Но на самом деле, к моменту достижения оси $w$ информация о первоначальной плоскости в "основании" теряется, остаётся только информация об оси поворота. А через неё проходило $\mathbb{RP}^1$ плоскостей, и каждая из них по-своему поворачивалась в четвёртое измерение. И таким образом, мы одной точкой заклеиваем $\mathbb{RP}^1\times 2$ концов интервалов - то есть, вклеиваем полюс в некую сферу или проективную плоскость.

Вроде бы, получилось. Проверьте?

Вопрос, возникший в конце: является ли конструкция джойном двух $\mathbb{RP}^2$? Мой ответ: нет, потому что джойн двух 2-мерных многообразий 5-мерен, а здесь у нас 4 измерения. Можно ли получить конструкцию $\mathrm{Gr}(2,4)$ из этого джойна какой-то факторизацией? Не знаю.

-- 22.05.2019 14:48:23 --

vpb в сообщении #1319350 писал(а):

Привет от ПСА...

Я уже, кажется, понял, что это отсылка к
Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. (1968)
Осталось спросить: какое именно место книжки надо читать?

[george66]

А вот здесь я доказываю, что 2-плоскость в четырёхмерном пространстве кватернионов задаётся парой чисто мнимых кватернионов нормы единица с точностью до одновременного умножения на минус один
topic133413-45.html
То есть, $Gr(2,4)$ есть декартово произведение двух сфер (чисто мнимые кватернионы нормы единица образуют сферу), сложенное пополам.

[Munin]

А разве их нельзя провращать в плоскости так, чтобы они оба умножились на $-1$?

[george66]

Munin в сообщении #1394664 писал(а):

А разве их нельзя провращать в плоскости так, чтобы они оба умножились на $-1$?

Не понял вопроса. Два трёхмерных вектора (чисто мнимых кватерниона) нормы единица задают плоскость некоторым способом. При непрерывном вращении плоскости задающие векторы меняются. Видимо, сделав "полный круг", можно сменить знак у обоих одновременно. Это спиноры.

[arseniiv]

Где, как спиноры? Не должны вроде. Если элементы группы спина, они не спиноры.

[george66]

arseniiv в сообщении #1394669 писал(а):

Где, как спиноры? Не должны вроде. Если элементы группы спина, они не спиноры.

Ну, пускай элементы группы спина.

[Munin]

george66 в сообщении #1394666 писал(а):

Два трёхмерных вектора (чисто мнимых кватерниона) нормы единица задают плоскость некоторым способом. При непрерывном вращении плоскости

Нет, не плоскости, а векторов в плоскости. Плоскость постоянна.

[george66]

Munin в сообщении #1394673 писал(а):

george66 в сообщении #1394666 писал(а):

Два трёхмерных вектора (чисто мнимых кватерниона) нормы единица задают плоскость некоторым способом. При непрерывном вращении плоскости

Нет, не плоскости, а векторов в плоскости. Плоскость постоянна.

При изменении двух векторов плоскости определяемые по ним трёхмерные вектора умножаются на общий множитель (детерминант матрицы перехода для векторов плоскости). При непрерывном преобразовании минус единица получиться не может.

[Munin]

В общем, я пока не понял, надо посмотреть.

[george66]

Это соответствует тому, что прямая в трёхмерном проективном пространстве задаётся двумя трёхмерными векторами (координатами Плюккера)

[Munin]

С ними я вообще пока не разобрался. Можно ли простых примеров на меньших размерностях?

[george66]

Munin в сообщении #1394686 писал(а):

С ними я вообще пока не разобрался. Можно ли простых примеров на меньших размерностях?

Они только для трёхмерного
https://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_coordinates