2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение23.05.2019, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71181
Ну я, разумеется, про https://en.wikipedia.org/wiki/Plücker_embedding

-- 23.05.2019 12:03:01 --

Интересная ссылка https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_quadric
И до кучи https://ru.wikipedia.org/wiki/Плюккерова_система_координат

-- 23.05.2019 12:26:41 --

Этот общий случай по-немецки называется Graßmann-Plücker-Koordinaten, и по-французски coordonnées grassmanniennes. Хотя в русской и английской википедиях - всё-таки плюккеровскими (хотя в одном месте упоминаются как Grassmann coordinates).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение31.07.2019, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71181
Метод "основание - стены - купол".

Этим методом можно посчитать количество элементов в $\mathrm{Gr}(k,n)$ над конечными полями. Хотя бы $\mathrm{Gr}(2,4).$

    "Основание": это $\mathrm{Gr}(2,3)=\mathbb{FP}^2.$ Проективная плоскость над конечным полем $\mathbb{FP}^2$ имеет $(|\mathbb{F}|^3-1)/(|\mathbb{F}|-1)$ элементов, то есть, $|\mathbb{F}|^2+|\mathbb{F}|+1.$

    "Стены": каждая "стена" - это слой типа $\mathrm{Gr}(2,3)=\mathbb{FP}^2,$ возведённый над каждой точкой "основания". Таким образом, надо вычесть эту точку. Также "экватор" этой проективной плоскости входит в состав "купола", и его тоже надо вычесть (а в нём $|\mathbb{FP}^1|=|\mathbb{F}|+1$ элементов). Остаётся $|\mathbb{F}|^2-1$ на каждую "стену", или всего $(|\mathbb{F}|^2+|\mathbb{F}|+1)(|\mathbb{F}|^2-1)=(|\mathbb{F}|^3-1)(|\mathbb{F}|+1)$ элементов.
    В сумме "основание" и "стены" дают $(|\mathbb{F}|^2+|\mathbb{F}|+1)|\mathbb{F}|^2$ элементов.

    "Купол": это снова $\mathrm{Gr}(2,3)=\mathbb{FP}^2,$ хотя с другой геометрической интерпретацией.

Итого, получается $(|\mathbb{F}|^2+|\mathbb{F}|+1)(|\mathbb{F}|^2+1)$ элементов.
    $\begin{array}{l}2 \to 35 \\ 3 \to 130 \\ 4 \to 357 \\ 5 \to 806 \\ 7 \to 2850 \\ 8 \to 4745 \\ 9 \to 7462\end{array}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение31.07.2019, 15:07 
Заслуженный участник


20/12/10
6197
Munin в сообщении #1408112 писал(а):
можно посчитать количество элементов в $\mathrm{Gr}(k,n)$ над конечными полями
Общую формулу Вы, конечно, знаете? На всякий случай: она может быть получена из простейших соображений линейной алгебры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение31.07.2019, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71181
Конечно, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение31.07.2019, 16:45 
Заслуженный участник


20/12/10
6197
Munin в сообщении #1408120 писал(а):
Конечно, нет.
Просто это довольно популярная задача здесь на форуме (для студентов-математиков, разумеется). Ссылок с ходу не приведу, но сама идея решения довольно проста: надо конструировать базисы и попутно их считать. Начинать нужно со случая $k=1$, затем $k=2$ и т.д. В принципе, все вычисления можно провести в уме (лежа на огороде в тени укропа, например :D).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение31.07.2019, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71181
Ну поскольку я не студент-математик, я не в силах реализовать эту программу без дальнейших указаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение31.07.2019, 17:54 
Заслуженный участник


20/12/10
6197
Вот конкретная программа действий.

1. Для каждого $k$ от $1$ до $n$ найти число линейно независимых систем (т.е. упорядоченных наборов) из $k$ векторов пространства $\mathbb{F}^n$, где $\mathbb{F}$ --- данное конечное поле (пусть в нем для конкретности будет $q$ элементов).

Разберем случай $k=1$. В данном случае речь идет о линейно независимой системе из одного вектора $a_1$. Понятно, что этот вектор $a_1$ должен быть ненулевым (но лучше сказать так: есть единственное исключение --- нулевой вектор). Значит, при $k=1$ искомое количество --- это число всех ненулевых векторов пространства $\mathbb{F}^n$, которое равно (почему?) $q^n-1$.

Указание к следующему случаю $k=2$. Чтобы построить линейно независимую систему из двух векторов $a_1$, $a_2$, сначала выберем вектор $a_1$ (сколькими способами это можно сделать?), а затем выберем вектор $a_2$ (а здесь сколько способов?). Затем следует подсчитать искомое количество линейно независимых систем $a_1$, $a_2$, воспользовавшись правилом произведения из элементарной комбинаторики.

Остальные пункты потом.

P.S. Пардон, если нарушил планы. Можете все это проигнорировать. Интересно, переборщил я с уровнем детализации или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение01.08.2019, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71181
nnosipov
Вы хотя бы сразу скажите, формула там простая или рекурсивная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение01.08.2019, 15:02 
Заслуженный участник


20/12/10
6197
Munin
Формула явная и несложная.

Upd. Да, вот еще что. В частном случае $n=4$, $k=2$ Вы ранее получили ответ в виде $(q^2+q+1)(q^2+1)$ (многочлен от $q$). В общем случае Вы получите ответ уже в виде дроби (отношения двух многочленов от $q$). Естественно, при конкретных $n$ и $k$ числитель можно сократить на знаменатель и получить ответ в "причесанном" виде.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group