2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Геометрия и топология грассманиана
Сообщение12.06.2018, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66047
Грассманиан - https://en.wikipedia.org/wiki/Grassmannian
    - это множество (многообразие) всех подпространств данной размерности данного линейного пространства.
Например, множество всех прямых, проходящих на плоскости через $O.$ Множество всех плоскостей в пространстве, проходящих через $O.$ И так далее.

Первый грассманиан, не являющийся проективным пространством (которые, множества всех прямых, устроены понятно как: как полусферы $S^n/2$), - это $\mathrm{Gr}(2,4)$ - грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном пространстве. Я пытаюсь понять, как устроен $\mathrm{Gr}(2,4)$ над $\mathbb{R},$ и для развлечения - над конечными полями. Потом, может быть, попытаюсь обобщить это понимание до $\mathrm{Gr}(k,n).$

    Munin писал(а):
    Понял, что это множество больших кругов в 3-(полу)сфере, которую уже довольно легко наловчился представлять. Как их сообразить? Двойственный ему - тоже круг, так что тут помощи не жди. По сути, наша задача - примерно множество всех прямых в 3-мерном евклидовом пространстве.

    Помещая полюс $S^3$ в "центр мира", играем так: большой круг как-то проходит по (полу)сфере, и где-то имеет точку, ближайшую к полюсу. Отметим её. Первый параметр: расстояние этой точки от полюса. Вторые два параметра: где эта точка на сфере $r=\mathrm{const}.$ И наконец, в каком направлении наш большой круг касается этой сферы - ещё один угол.

    Неприятно, что для больших кругов, проходящих через "центр мира", нужно использовать другую параметризацию: два угла, задающих направление. Но можно опереться на это, и сказать так (для любой точки): первые два параметра: углы, задающие направление в точке касания сферы $r=\mathrm{const}.$ А остальные два: положение этой точки на $S^2$-сечении, перпендикулярном этому направлению. По сути, тоже углы на сфере.
    Munin писал(а):
    Кажется, я осознал топологию $\mathrm{Gr}(2,4)$: по написанному мной выше, это получается $\mathbb{RP}^2$ направлений, над каждой точкой которого строится слой $\mathbb{RP}^2$ "сдвигов от полюса". В целом получается не прямое произведение, но расслоение (похожее на полупрямое произведение групп) типа короткой точной последовательности $1\to\mathbb{RP}^2\to\mathrm{Gr}(2,4)\to\mathbb{RP}^2\to 1$ (я бы использовал значок $\rtimes,$ но он только за группами занят).

В общем, получается какой-то "закрученный тор".

Есть ошибки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение12.06.2018, 17:01 
Заслуженный участник


18/01/15
697
Munin
То, что Вы написали, я представить как-то не могу. Грассманиан $G(4,2)$ вкладывается, естественным образом, в проективное пространство ${\mathbb R}P^5$ , и в подходящих однородных координатах есть квадрика с уравнением
$x_1x_2+x_3x_4+x_5x_6=0$. Отсюда и геометрия, и топология его более-менее понятны. (Привет от ПСА... ). См. книжку Кострикина-Манина.

-- 12.06.2018, 16:10 --

P.S. Впрочем, нет, не понятны... Понятны в том смысле, что если припрет, я с этим разберусь, чего и Вам желаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение12.06.2018, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66047
Вот естественное вложение я пока не смотрел, и указанную вами квадрику не знаю как достать. (Кстати, а верна ли она в конечных полях? Если да, это тоже полезно.)

В Кострикине-Манине - где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение12.06.2018, 20:52 
Заслуженный участник


18/01/15
697
2-е издание, гл.4, параграф 6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение13.06.2018, 01:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5219
Munin в сообщении #1319312 писал(а):
В общем, получается какой-то "закрученный тор".

Есть ошибки?


Близко. Сравните с

https://math.stackexchange.com/question ... -manifolds

(там снизу конкретно про $(2,4)$ написано).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение13.06.2018, 03:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66047
Спасибо! Отличная ссылка. Жаль, что тема мало разработана.

Не очень понял, как строятся матрицы со звёздочками в первом ответе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение13.06.2018, 03:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5219
Munin в сообщении #1319501 писал(а):
Не очень понял, как строятся матрицы со звёздочками в первом ответе.


Вроде просто метод Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение13.06.2018, 03:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66047
Тогда звёздочек не хватает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение13.06.2018, 03:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5219
Это с обратным ходом (по-английски — reduced echelon form).

Она записана не совсем в стандартном виде (столбцы вместо строк, и нулевая строка внизу вместо вверху). Впрочем, я точно не помню, как именно принято записывать её в столбцовом варианте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение13.06.2018, 06:25 
Заслуженный участник


16/02/13
3279
Владивосток
g______d в сообщении #1319512 писал(а):
нулевая строка внизу вместо вверху
Нулевая строка у меня лично вызывает некие подозрения. Нулевая строка означает, что подпространство перпендикулярно некоему (первому ли, последнему) вектору базиса, не? А такого ж, как я понял, по постановке задачи быть не должно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение13.06.2018, 06:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5219
iifat в сообщении #1319519 писал(а):
Нулевая строка у меня лично вызывает некие подозрения. Нулевая строка означает, что подпространство перпендикулярно некоему (первому ли, последнему) вектору базиса, не? А такого ж, как я понял, по постановке задачи быть не должно.


Я так понимаю, что это не весь грассманиан, а одна клетка Шуберта (Schubert cell). Типа $(1,3,5)$, если я не ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение13.06.2018, 18:56 
Заслуженный участник


18/01/15
697
Munin в сообщении #1319501 писал(а):
Жаль, что тема мало разработана
Я не в курсе, но вообще грассманианы --- это после квадрик самые "разработанные" многообразия, вроде бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение13.06.2018, 23:10 


17/04/18
104
Munin
На грассманиане есть естественные проективные координаты - плюккеровы. Они строятся очень легко, вы берёте плоскость $\Pi \subset W$ берёте любые два лин. независимых вектора $e_1,e_2$ в $\Pi$ и делаете $e_1 \wedge e_2$ - это вектор в $\bigwedge^2 W$ определенный с точностью до умножения на константу, а значит корректно определенная точка в $\mathbb{P} (\bigwedge^2 W)$ это более менее доказательство того, что $Gr(2,4)$ проективное алг. многообразие.

Клетки Шуберта тоже гораздо удобнее понимать без координат. Зафиксируем флаг $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$. Для любой плоскости $\Pi \in Gr(2,4)$ рассмотрим набор чисел $(s_1<...<s_4)$ $s_i = min \{ k | \operatorname{dim}(\Pi \cap \mathbb{R}^k) = i\}$. Назовём этот набор символом плоскости $\sigma(\Pi)$. Тогда клетка Шуберта для $\sigma$ это
$U_\sigma = \{\Pi \in Gr(2,4) | \sigma(\Pi) = \sigma\}$
можете легко проверить что $U_\sigma$ гомеоморфно $\mathbb{R}^{|\sigma|}$ где $|\sigma| = \sum_i (s_i - i)$ и что граница $U_\sigma$ содержит $U_\tau$ для всех $\tau < \sigma$ . Это даёт хорошее представление о том как устроен грассманиан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение14.06.2018, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66047
Всем спасибо, займусь не раньше выходных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение16.06.2018, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66047
В общем, пока получается, что я недостаточно хорошо понимаю $\bigwedge^n V.$ Я могу представить себе ненулевые компоненты тензоров, но как это геометрически заплетается - увы, нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group