2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение16.06.2018, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71233
Ха! Я допёр! Чтобы понимать грассманиан, можно просто перечислить в гиперкубе все $k$-грани, смежные с данной вершиной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение17.06.2018, 12:56 
Заслуженный участник


18/01/15
1546
Стало быть, Вы для себя клетки Шуберта открыли (в том же смысле, в котором говорят "я открыл для себя секс в 30 лет").

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение17.06.2018, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71233
Нет пока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение22.05.2019, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71233
Следующая попытка.

    Munin в сообщении #1319312 писал(а):
    $\mathrm{Gr}(2,4)$ - грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном пространстве. Я пытаюсь понять, как устроен $\mathrm{Gr}(2,4)$ над $\mathbb{R},$

Понятно, что на базисные вектора 2-плоскости можно натянуть на 6 пар: $(x,y),(x,z),(y,z),\quad (x,w),(y,w),(z,w).$ Три из них лежат в 3-плоскости $(x,y,z),$ а три другие - перпендикулярны ей. Эти 2-плоскости будут "опорными точками" конструкции.

Сначала "основание". Множество всех 2-плоскостей в 3-плоскости $(x,y,z).$ Это $\mathrm{Gr}(2,3)=\mathbb{RP}^2$ по "дуальности" (каждой плоскости отвечает нормальная прямая, и все такие прямые образуют полусферу $\mathbb{RP}^2=S^2/2$).

Теперь "возводим стены". 2-плоскость, лежащую в 3-плоскости $(x,y,z),$ будем поворачивать по четвёртой координате. Как это сделать? Аналогично тому, как 2-плоскость $(x,y)$ можно поворачивать по направлению к оси $z$: мы должны выбрать произвольную "неподвижную прямую" - ось поворота - и вокруг неё можно качать плоскость туда-сюда. Множество прямых - полуокружность $\mathbb{RP}^1=S^1/2,$ и над каждой прямой строится интервал $(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).$ Пока не будем их доводить до конечных точек. Получается лента Мёбиуса с выколотым краем. И такие ленты Мёбиуса возводятся над каждой 2-плоскостью в $(x,y,z)$ (уф-ф-ф!), то есть получается 2+2=4 измерения. Вроде бы, как и должно быть. Дальше эти слои будут замыкаться многообразием плоскостей, проходящих через ось $w.$

    Проверим себя. Построим аналогичным методом $\mathrm{Gr}(2,3).$
    "Основание". Это просто: 2-плоскость может лежать в 2-плоскости $(x,y)$ единственным образом: точка.
    "Стены". Выбираем $\mathbb{RP}^1$ осей поворота, и над каждой строим интервал $(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).$ Пока у нас получается "конус": через точку проходит пучок интервалов, с "основанием конуса" в виде полуокружности.
    "Замыкание стен". Это многообразие плоскостей, проходящих через ось $z.$ А что это такое? Это многообразие прямых в $(x,y),$ то есть опять-таки $\mathbb{RP}^1.$ Каждый интервал, построенный на предыдущем шаге, обоими своими концами замыкается в одной и той же точке "замыкающей $\mathbb{RP}^1$".
    В итоге, получилась $\mathbb{RP}^2,$ построенная "от полюса к экватору". Правильно.

Строим "замыкание стен" $\mathrm{Gr}(2,4).$ Это многообразие плоскостей, проходящих через ось $w.$ Это будет многообразие прямых в 3-плоскости $(x,y,z),$ и мы его знаем: $\mathbb{RP}^2.$ Каждая точка этой проективной плоскости вклеивается между концами интервалов "стены". Между которыми?
- Мы взяли в "основании" плоскость - 2 измерения.
- Мы выбрали в этой плоскости ось поворота - ещё 1 измерение.
Получается, что всего таких интервалов сейчас 1+2=3 -мерное многообразие. Но на самом деле, к моменту достижения оси $w$ информация о первоначальной плоскости в "основании" теряется, остаётся только информация об оси поворота. А через неё проходило $\mathbb{RP}^1$ плоскостей, и каждая из них по-своему поворачивалась в четвёртое измерение. И таким образом, мы одной точкой заклеиваем $\mathbb{RP}^1\times 2$ концов интервалов - то есть, вклеиваем полюс в некую сферу или проективную плоскость.

Вроде бы, получилось. Проверьте?

Вопрос, возникший в конце: является ли конструкция джойном двух $\mathbb{RP}^2$? Мой ответ: нет, потому что джойн двух 2-мерных многообразий 5-мерен, а здесь у нас 4 измерения. Можно ли получить конструкцию $\mathrm{Gr}(2,4)$ из этого джойна какой-то факторизацией? Не знаю.

-- 22.05.2019 14:48:23 --

vpb в сообщении #1319350 писал(а):
Привет от ПСА...

Я уже, кажется, понял, что это отсылка к
Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. (1968)
Осталось спросить: какое именно место книжки надо читать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение22.05.2019, 22:44 
Заслуженный участник


31/12/15
727
А вот здесь я доказываю, что 2-плоскость в четырёхмерном пространстве кватернионов задаётся парой чисто мнимых кватернионов нормы единица с точностью до одновременного умножения на минус один
topic133413-45.html
То есть, $Gr(2,4)$ есть декартово произведение двух сфер (чисто мнимые кватернионы нормы единица образуют сферу), сложенное пополам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение22.05.2019, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71233
А разве их нельзя провращать в плоскости так, чтобы они оба умножились на $-1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение22.05.2019, 23:53 
Заслуженный участник


31/12/15
727
Munin в сообщении #1394664 писал(а):
А разве их нельзя провращать в плоскости так, чтобы они оба умножились на $-1$?

Не понял вопроса. Два трёхмерных вектора (чисто мнимых кватерниона) нормы единица задают плоскость некоторым способом. При непрерывном вращении плоскости задающие векторы меняются. Видимо, сделав "полный круг", можно сменить знак у обоих одновременно. Это спиноры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение23.05.2019, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25888
Где, как спиноры? Не должны вроде. Если элементы группы спина, они не спиноры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение23.05.2019, 00:10 
Заслуженный участник


31/12/15
727
arseniiv в сообщении #1394669 писал(а):
Где, как спиноры? Не должны вроде. Если элементы группы спина, они не спиноры.

Ну, пускай элементы группы спина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение23.05.2019, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71233
george66 в сообщении #1394666 писал(а):
Два трёхмерных вектора (чисто мнимых кватерниона) нормы единица задают плоскость некоторым способом. При непрерывном вращении плоскости

Нет, не плоскости, а векторов в плоскости. Плоскость постоянна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение23.05.2019, 00:57 
Заслуженный участник


31/12/15
727
Munin в сообщении #1394673 писал(а):
george66 в сообщении #1394666 писал(а):
Два трёхмерных вектора (чисто мнимых кватерниона) нормы единица задают плоскость некоторым способом. При непрерывном вращении плоскости

Нет, не плоскости, а векторов в плоскости. Плоскость постоянна.

При изменении двух векторов плоскости определяемые по ним трёхмерные вектора умножаются на общий множитель (детерминант матрицы перехода для векторов плоскости). При непрерывном преобразовании минус единица получиться не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение23.05.2019, 02:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71233
В общем, я пока не понял, надо посмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение23.05.2019, 02:34 
Заслуженный участник


31/12/15
727
Это соответствует тому, что прямая в трёхмерном проективном пространстве задаётся двумя трёхмерными векторами (координатами Плюккера)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение23.05.2019, 03:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71233
С ними я вообще пока не разобрался. Можно ли простых примеров на меньших размерностях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия и топология грассманиана
Сообщение23.05.2019, 03:53 
Заслуженный участник


31/12/15
727
Munin в сообщении #1394686 писал(а):
С ними я вообще пока не разобрался. Можно ли простых примеров на меньших размерностях?

Они только для трёхмерного
https://en.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCcker_coordinates

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Xaositect


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group