Круги вращаются.

[Fedorov]

Два круга изначально находятся в положении А .



Круг радиуса $2R$ начинает вращение с угловой скоростью $ \omega$. Одновременно, круг радиуса $R$ начинает катиться без проскальзывания по кругу радиуса $2R$ с угловой скоростью $3\omega$.

Круги возвращаются в исходное положение А.

Сколько оборотов вокруг своих центров сделали круги?

P.S. Для меня было неожиданно, что эта задача вызывает у многих затруднения.

[wrest]

Fedorov в сообщении #1394163 писал(а):

круг радиуса $R$ начинает катиться без проскальзывания по кругу радиуса $2R$ с угловой скоростью $3\omega$.

(Попытка решения)

Поскольку условия я понял смутно, то у меня три решения
Первая попытка.
$3\omega$ это скорость обращения малого круга вокруг большого.
Пока малый круг катится вокруг большого, большой сделает $\dfrac{1}{3}$ оборота вокруг своего центра, т.к. угловая скорость большого круга в три раза меньше скорости обращения малого.
Малый круг сделает один оборот обращаясь вокруг большого, минус сколько он прокатился по большому -- а это кажись $2/3$, итого малый круг обернется $1 - \dfrac{2}{3}=1/3$ раз.
Итого, парадоксальным образом оба круга обернутся вокруг своих центров на треть оборота каждый.
Да, тут предполагаем что малый круг катится вокруг большого по часовой стрелке.

Вторая попытка
Считаем, что $3\omega$ это скорость вращения малого круга вокруг своего центра. Тогда, если большой круг стоит, то малый обращается вокруг большого со скоростью $\dfrac{3}{2}\omega$, прибавляем к этому скорость вращения большого круга (условие - без проскальзывания) и получаем что скорость обращения малого круга вокруг большого равна $(1+\dfrac{3}{2})\omega=\dfrac{5}{2}\omega$.
Время, которое нужно малому кругу чтобы обернуться вокруг большого и вернуться в положение $A$, равно $\dfrac{2}{5}\omega$
Ответ: за это время малый круг совершит $3\cdot \dfrac{2}{5}+1=2\dfrac{1}{5}$ оборота вокруг своего центра, а большой круг совершит $\dfrac{2}{5}$ оборота вокруг своего центра.

Попытка номер три
Считаем что малый круг должен не просто обернуться вокруг большого, а ещё что "положение $A$" это в точности начальное положение (т.е. каждый круг сделал целое число оборотов вокруг своего центра).

Тогда умножаем все из попытки номер два на $5$, и тогда ответ:
Чтобы вернуться в положение $A$, малый круг совершит 11 оборотов вокруг своего центра, а большой совершит 2 оборота вокруг своего центра.

[Fedorov]

wrest

(Оффтоп)

Ну, конечно, имеется в виду 3-й случай.

[vicvolf]

Fedorov в сообщении #1394163 писал(а):

Круг радиуса $2R$ начинает вращение с угловой скоростью $ \omega$.

Что угловая скорость круга меняется?

Цитата:

Одновременно, круг радиуса $R$ начинает катиться без проскальзывания по кругу радиуса $2R$ с угловой скоростью $3\omega$.

Если без проскальзывания, то угловую скорость малого круга указывать не надо. У меня сложилось впечатление, что условие задачи нуждается в уточнении.

[rascas]

Fedorov в сообщении #1394163 писал(а):

Круги возвращаются в исходное положение А.

Сколько оборотов вокруг своих центров сделали круги?

Большой круг один оборот, а малый соответственно три оборота.

[vicvolf]

Направления вращения кругов заданы неправильно. Угловые скорости должны относиться, как радиусы, если нет проскальзывания. Поэтому угловая скорость меньшего круга в два раза больше, а не в три, и соответственно меньший круг делает два оборота, а большой - один.

[EUgeneUS]

vicvolf в сообщении #1394452 писал(а):

Угловые скорости должны относиться, как радиусы, если нет проскальзывания

Вы ошибаетесь. Приварим большой круг к его оси. Малый может вращаться вокруг него с любой угловой скоростью.

[svv]

Fedorov в сообщении #1394163 писал(а):

Для меня было неожиданно, что эта задача вызывает у многих затруднения.

Возможно, потому, что условие плохо сформулировано. У меня тоже возникает несколько интерпретаций, только, в отличие от wrest, не хочется решать в каждом варианте.

[Dmitriy40]

svv в сообщении #1394527 писал(а):

Fedorov в сообщении #1394163 писал(а):

Для меня было неожиданно, что эта задача вызывает у многих затруднения.

Возможно, потому, что условие плохо сформулировано. У меня тоже возникает несколько интерпретаций,

Поддерживаю, тоже не понимаю в каком варианте нужен ответ (точки А на обоих кругах совмещаются за 2 оборота малого вокруг своей оси, большой при этом делает 2/3 своего оборота; точки А совмещаются на кругах в показанной ориентации через 6 оборотов малого вокруг своей оси и соответственно 2 оборота большого, если же надо для малого учесть его проворот относительно оси большого, то считать лень). И думаю именно выбор нужного варианта и вызывает затруднения, в остальном то задача проста.

[vicvolf]

EUgeneUS в сообщении #1394453 писал(а):

vicvolf в сообщении #1394452 писал(а):

Угловые скорости должны относиться, как радиусы, если нет проскальзывания

Вы ошибаетесь. Приварим большой круг к его оси. Малый может вращаться вокруг него с любой угловой скоростью.

Возможно я неправильно понял условие задачи. Я считал, что точка касания кругов не меняет своего положения. Но если меньший круг вращается в ту же сторону, что и большой, то у него может быть любая угловая скорость и в том числе указанная.

[vicvolf]

Кажется я понял условие. Большой круг делает один оборот, при этом точка на большом круге из положения А проходит путь $4\pi R$. Малый круг за это время делает 3 оборота, т.е. точка на малом круге проходит путь $6\pi R$ относительно большого круга. Так как нет проскальзывания, то за один оборот большого круга точка на малом круге проходит путь $4\pi R+6\pi R=10\pi R$, т.е. совершает 5 оборотов. Поэтому, когда большой круг делает 2 оборота, то точка на малом круге проходит путь $20\pi R$, кратный $4\pi R$ и точки на обеих кругах возвращаются в положение A, сделав соответственно 2 и 10 оборотов. Задача простая, если я правильно понял условие.

[Fedorov]

vicvolf в сообщении #1394732 писал(а):

Кажется я понял условие.

Не совсем поняли. Вопрос был:
Сколько оборотов вокруг своих центров сделали круги?

P.S. Что удивляет. Задача типа
"Корабль плывет со скоростью ..., человек идет по палубе со скоростью ..." или
"Платформа движется со скоростью ..., круг катится по ней без проскальзывания с угловой скоростью ..."
не вызывают вопросов и затруднений в понимании формулировки.

Задача сформулирована четко, однозначно. Картинка тривиальная... Но, затруднения очевидны!

[svv]

Первый вопрос.

Fedorov в сообщении #1394163 писал(а):

круг радиуса $R$ начинает катиться без проскальзывания по кругу радиуса $2R$ с угловой скоростью $3\omega$.

Угловая скорость $3\omega$ — это а) угловая скорость вращения центра малого круга вокруг центра большого круга, или б) угловая скорость вращения малого круга как твёрдого тела?
Наверное, не надо объяснять, что это разные скорости. Например, если оба круга вращаются без проскальзывания, но центр малого круга неподвижен, то первая угловая скорость равна нулю, а вторая нет.

Второй вопрос.

Fedorov в сообщении #1394163 писал(а):

Круги возвращаются в исходное положение А.

Что это значит: а) возникло такое же взаимное расположение кругов, как на картинке, или же б) дополнительно, круги соприкасаются теми же своими точками, что и вначале?

[pogulyat_vyshel]

Исходное положение в такого сорта задачах означает только одно: все точки системы заняли исходное положение. Обозначим через $O$ центр большого круга, через $B$ -- центр малого круга. В системе имеются три угловых скорости:
$\boldsymbol\omega_O$ угловая скорость большого круга
$\boldsymbol\omega_B$ угловая скорость малого круга
$$\boldsymbol\omega_{OB}$ угловая скорость системы координат с осью проходящей через $OB$.
Первые две угловые скорости даны по условию.
Третья находится из формулы Эйлера $\boldsymbol v_B=[\boldsymbol\omega_O,\boldsymbol{OA}]+[\boldsymbol\omega_B,\boldsymbol{AB}]=[\boldsymbol\omega_{OB},\boldsymbol{OB}].$
Дальше остаются совсем уже смешные рассуждения основанные на формулах типа $\varphi_O\boldsymbol n=\boldsymbol\omega_O t$, где $\varphi_O$ -- угол поворота большого круга, а $\boldsymbol n$ -- единичная нормаль к плоскости.
$\varphi_O=\varphi_B=\varphi_{OB}=0\pmod {2\pi}$

[pogulyat_vyshel]

Fedorov в сообщении #1394163 писал(а):

Сколько оборотов вокруг своих центров сделали круги?

круги делают обороты не вокруг своих центров, а относительно системы координат наблюдателя 3 и 9