Пространство-время ОТО

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1391707 писал(а):

1. Существует объективное неоднородное и неизотропное пространство-время, в каждой точке которого существует его объективная кривизна. Кривизну отображает метрический тензор.

Вот это место и надо улучшать.

Есть метрический тензор $g_{\mu\nu}.$ Он отображает метрику.
Первые производные от него составляют объект связности (не тензор), в книгах по ОТО обычно называемый символами Кристоффеля, $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}.$ Он отображает ковариантное дифференцирование.
И наконец, вторые производные от метрического тензора составляют тензор кривизны Римана $R^\lambda{}_{\mu\nu\sigma}.$ Вот он как раз отображает кривизну.
Наиболее полно (для римановой геометрии). От него можно вычислить тензор кривизны Риччи $R_{\mu\nu}$ и скалярную кривизну $R.$ Они уже отображают кривизну не полностью.

sergey zhukov в сообщении #1391707 писал(а):

4. Тот факт, что никто не увлекается визуализацией этого абсолютного пространства-времени

Многие увлекаются. Есть много книг с наглядными картинками. У нас на форуме есть пользователь Geen, который рисует картинки и мультяшки (строго по расчётам), и выкладывает их на своём сайте.

sergey zhukov в сообщении #1391707 писал(а):

Как мне кажется, в СТО несложно представить дело максимально близко к тому, к чему мы привыкли в классической механике, т.е. к движению плоскости одновременности вдоль пространства параллельно самой себе. Например, так: https://radikal.ru/video/bV9IHfG5WBM
Слева здесь поворот в пространстве-времени с евклидовой метрикой, а справа - с псевдоевклидовой метрикой.

Увы, это просто ошибочное видео. Справа там "галилеевская метрика", а вовсе не псевдоеквлидова метрика СТО.

Изображений лоренцева поворота в интернете полно, в том числе в видео, и в виде модельки, которую можно самому крутить руками.

sergey zhukov в сообщении #1391707 писал(а):

Но в ОТО эта плоскость, как я понял, становится криволинейной поверхностью

Нет. Её вообще нет. Её можно проводить с большим произволом.

sergey zhukov в сообщении #1391707 писал(а):

При этом такая поверхность движется во всех направлениях сразу и вопрос о том, где будущее, а где прошлое, становится гораздо более запутанным.

Как раз нет. Локальный световой конус остаётся локальным световым конусом.

sergey zhukov в сообщении #1391707 писал(а):

Я правильно понимаю, что если бы метрика пространства времени была евклидовой, то визуализировать абсолютное пространство-время СТО и ОТО можно было бы элементарно?

Это были бы не СТО и не ОТО.

sergey zhukov в сообщении #1391707 писал(а):

Не является ли сложность СТО и ОТО результатом того, что мы используем не самые удобные переменные, вроде времени или пространства? Нет ли возможности рассматривать СТО и ОТО все же в метрике суммы квадратов, выполнив какую-нибудь замену переменных?

В начале 20 века так делали: использовали вместо координаты $t$ координату $it.$ Получалось даже хуже, чем сейчас. Следы этого подхода встречаются там и сям в учебниках и популярных книжках. С другой стороны, для опытных физиков, скажем, в физике элементарных частиц, это даже удобней.

-- 08.05.2019 18:14:40 --

sergey zhukov в сообщении #1391741 писал(а):

Так то оно так, то ведь эти векторы нулевой длины существуют, только если по осям координат мы откладываем переменные Х и t. Может, это артефакт не координатной системы, а используемых для ее осей переменных.

Нет, эти векторы нулевой длины существуют независимо от осей координат. В других осях координат будут только другие координаты этих векторов, и другая формула для вычисления длины́, а сами векторы и их дли́ны - есть сами по себе. Можно даже вообще системы координат не рисовать. Но нарисовать световые конусы.

sergey zhukov в сообщении #1391741 писал(а):

Меня смущает, что геометрия на псевдоевклидовой плоскости - это же просто геометрия, в которой длину отрезка откладывают по вертикальной оси, а его проекцию на эту ось откладывают в качестве самого отрезка:

Это как раз ошибка. Нет, не надо так думать. Надо представлять себе именно плоскость $(x,y),$ но с необычной метрикой. А откладывание длины по вертикальной оси - никакого пространства вообще не образует.

sergey zhukov в сообщении #1391741 писал(а):

Это похоже на то, что неудачный выбор переменных мы пытаемся выправить при помощи совершенно неестественного выверта. Почему бы просто не рассматривать время, как длину отрезка в евклидовых координатах "расстояние-интервал" и сосредоточится на физическом смысле интервала?

Это ошибка среди начинающих, и очень распространённая. Нет, так делать не надо. Нет никаких координат "расстояние-интервал". Например, в них нельзя разместить точки событий, которые случаются в пространстве-времени.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1391745 писал(а):

В начале 20 века так делали: использовали вместо координаты $t$ координату $it.$

Нет, ТС предлагает вот что.
Он посмотрел на формулу для длины в псевдоевклидовом пространстве $ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ и предлагает переписать её в виде $dt^2=ds^2+dx^2+dy^2+dz^2$, как будто это превращает пространство в евклидово с осями координат $s,x,y,z$ и длиной $t$.
Понятно, что тогда разные векторы будут жить в разных пространствах и единого пространства-времени не получится вообще.

sergey zhukov в сообщении #1391741 писал(а):

Так то оно так, то ведь эти векторы нулевой длины существуют, только если по осям координат мы откладываем переменные Х и t.

Нет, ненулевые векторы нулевой длины - они в пространстве либо существуют, либо нет, этот факт не зависит от осей координат. Вообще, пространство можно рассматривать вообще без каких-либо координат и без осей, и работать в таком пространстве с разными векторами и их длинами.

sergey zhukov в сообщении #1391741 писал(а):

Может, это артефакт не координатной системы, а используемых для ее осей переменных.

Это утверждение также бессмысленно.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1391749 писал(а):

ТС предлагает вот что.

Да я понял уже. Известная ошибка. В конце предыдущего сообщения я про это написал.

[sergey zhukov]

Я так понял, что данная поверхность обладает однозначной кривизной в каждой точке. И обратно, заданная кривизна поверхности (в виде, скажем, функции кривизны от координат) однозначно ее определяет.

Допустим, что в первом случае мы хотим получить функцию кривизны от координат. Для этого расчерчиваем поверхность любыми координатами и определяем кривизну в каждой точке. Расчертим другими координатами, получим другую функцию кривизны... Или ту же самую?

Обратная задача: мы имеем функцию кривизны и хотим построить поверхность. Нужны нам координаты, в которых эта функция была получена, или сама функция определяет и координаты и поверхность? Если функция кривизны не определяет координаты, то как координаты задаются в отрыве от поверхности? Каким-то дифференциальным способом? На плоскости? Не могут же они быть заданы уже на поверхности, ведь ее еще предстоит построить.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1391765 писал(а):

данная поверхность

Какая данная поверхность? Кривизной обладает пространство-время.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1391765 писал(а):

Я так понял, что данная поверхность обладает однозначной кривизной в каждой точке.

Какая поверхность?

4-мерное пространство-время - это не поверхность. Оно обладает однозначным тензором кривизны в каждой точке. А вот делить его на разные "поверхности" - это основано на произволе.

sergey zhukov в сообщении #1391765 писал(а):

Допустим, что в первом случае мы хотим получить функцию кривизны от координат. Для этого расчерчиваем поверхность любыми координатами и определяем кривизну в каждой точке. Расчертим другими координатами, получим другую функцию кривизны... Или ту же самую?

Функции получим другие (надо понимать, что там 20 чисел в одном тензоре, а не одна функция), но они будут связаны с функциями в первой системе координат (с.к.) некоторым однозначным образом. Он изложен во всех учебниках ОТО (ЛЛ-2, Вайнберг, МТУ, например).

sergey zhukov в сообщении #1391765 писал(а):

Обратная задача: мы имеем функцию кривизны и хотим построить поверхность. Нужны нам координаты, в которых эта функция была получена, или сама функция определяет и координаты и поверхность?

Если понимать под кривизной тензор Римана, то функция однозначно определяет многообразие.

Это один из способов задать многообразие:
1. Поделить его на куски (будет ясно, зачем).
2. На каждом куске ввести систему координат, то есть сопоставить этому куску часть (область) пространства $\mathbb{R}^n.$ Это называется "карта".
3. Там, где куски стыкуются (вообще, надо, чтобы хоть немного перекрывались), указать способы перехода с карты на карту - функции склейки карт, такие, которые позволят переходить с куска на кусок.
4. Вся коллекция карт называется "атласом".
Атлас полностью и однозначно задаёт многообразие. Атлас может состоять из одной карты. Часто это не получается, когда многообразие просто не может быть отображено на область $\mathbb{R}^n$ без топологических перестроек. Например, сферу нельзя всю взаимно-однозначно спроецировать на плоскость, в ней надо или проделать дырку, или разрезать её на части, или что-то в этом духе. Также не получится одной картой задать тор. Ещё хуже с пространством, которое состоит из двух отдельных сфер. И так далее.

[sergey zhukov]

Да я это про обычные двумерные поверхности для простоты начал. Только как-то неудачно.

Интересно. А что, для задания кривизны четырехмерного пространства в каждой точке нужно 20 чисел? Для двумерной поверхности достаточно двух (вроде так), а для четырехмерия - уже 20?

Поскольку тензор Римана есть вторая производная от метрического тензора, то, стало быть, метрический тензор тоже однозначно задает многообразие? Но в нем ведь только 10 независимых чисел, не так ли? Значит ли это, что кривизна четырехмерия задается 10 числами в точке? Как я понял, метрический тензор сам по себе определяет все остальное.

Насчет разных координат и разных функций кривизны. Скажем, мы взяли произвольную поверхность (скажем, двумерную) и зафиксировали на ней точку. Скажем, на поверхности есть впадина и мы рассматриваем ее минимум. Тензор кривизны в этой точке будет иметь разные компоненты в разных координатах, которые мы можем на этой поверхности нарисовать, но из этих разных компонент всегда будет следовать одна и та же кривизна в этой точке. Так? Получается, что собственно координаты-то и не нужны. Тензор - это как бы специальная упаковка информации о кривизне поверхности, устойчивая к произвольному ее картированию.

А что, многообразие - это и есть собственно тензор Римана, заданный функциями от координат? Я то полагал, что вообще должна стоять задача по имеющейся функции кривизны построить многообразие. Например, построить в декартовых координатах двумерную плоскость по заданной функции ее кривизны. А теперь я так понимаю, что это же дифференциальная геометрия. Ее интересует только внутреняя геометрия поверхности, а как эта поверхность выглядит из пространства более высокой размерности - это неважно. Поэтому в дифференциальной геометрии все кончается взаимосвязью между внутренними координатами на поверхности и ее кривизной. По крайней мере нет необходимости искать функции, описывающие расположение точек такой поверхности в заданных "внешних" координатах Правильно я понимаю?

А почему всегда говорят "многообразие". Почему не просто "пространство"? Или одно есть частный случай другого? Двумерная поверхность - это многообразие?

[arseniiv]

Пространствами в математике называется довольно разнообразная куча. Например, топологические пространства, которые могут быть вообще не похожи на привычное трёхмерное пространство из школьной геометрии, если с ним сравнивать; последнее — пример аффинного евклидова пространства. Многообразия в принципе тоже бывают довольно разные, от них требуется только чтобы маленькие кусочки их были в некотором роде похожи на кусочки аффинного пространства. Римановы многообразия дают нам ещё и измерять длины кривых, они отличаются от многообразий вообще как как раз аффинное евклидово пространство от просто аффинного, где не задано скалярное произведение, дающее расстояния и углы. (Хотя в аффинном пространстве мы можем считать отношения длин отрезков, находящихся на параллельных прямых или отношения площадей, скажем, треугольников, находящихся в параллельных плоскостях.) Есть псевдоримановы многообразия и псевдоевклидовы пространства, отличающиеся свойствами скалярного произведения, ну выше уже вроде писали какими именно; наконец, среди них выделяют такие, где ровно один из знаков в сигнатуре скалярного произведения отличается от остальных — вот этими (ну и обычно лишь четырёхмерными) занимаются ОТО и СТО.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Да я это про обычные двумерные поверхности для простоты начал. Только как-то неудачно.

Тут есть сложности с низкомерными аналогиями.

У 1-мерных многообразий вообще нет кривизны. Никакой.
У 2-мерных многообразий кривизна скалярная. Всё выражается через одно число. Это даёт недостаточно интуиции.
У 3-мерных многообразий появляется тензор кривизны, но пока ещё чахлый. Тензор Римана выражается через тензор Риччи.
И только у 4-мерных многообразий тензор кривизны получается достаточно сложный, чтобы не выражаться через тензор 2 ранга.

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Интересно. А что, для задания кривизны четырехмерного пространства в каждой точке нужно 20 чисел? Для двумерной поверхности достаточно двух (вроде так), а для четырехмерия - уже 20?

Для двумерного многообразия в каждой точке задаётся одно число - скалярная кривизна или гауссова кривизна. Многообразие можно по-разному изображать поверхностями, но его внутренние свойства от этого не меняются.

В размерности $n$ у тензора Римана $n^2(n^2-1)/12$ независимых компонент. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor )

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Поскольку тензор Римана есть вторая производная от метрического тензора

Более точно, он построен из вторых, первых и нулевых производных.

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Поскольку тензор Римана есть вторая производная от метрического тензора, то, стало быть, метрический тензор тоже однозначно задает многообразие? Но в нем ведь только 10 независимых чисел, не так ли? Значит ли это, что кривизна четырехмерия задается 10 числами в точке? Как я понял, метрический тензор сам по себе определяет все остальное.

Метрический тензор задаёт многообразие как функция. Для того, чтобы брать производные, используются значения чисел не только в точке, но и в окрестности, так что 10 числами дело не ограничивается.

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Насчет разных координат и разных функций кривизны. Скажем, мы взяли произвольную поверхность (скажем, двумерную) и зафиксировали на ней точку. Скажем, на поверхности есть впадина и мы рассматриваем ее минимум.

Тензор кривизны Римана описывает внутреннюю геометрию поверхности. "Впадины и минимумы" - это описание поверхности с точки зрения того, как она располагается в объемлющем пространстве. Надо различать эти аспекты геометрии.

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Тензор кривизны в этой точке будет иметь разные компоненты в разных координатах, которые мы можем на этой поверхности нарисовать, но из этих разных компонент всегда будет следовать одна и та же кривизна в этой точке. Так?

Выражение "одна и та же кривизна" непереводимо на математический язык. Повторяю, нету просто "кривизны". Есть тензор Римана и другие величины (тензор Риччи, скалярная кривизна).

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Получается, что собственно координаты-то и не нужны. Тензор - это как бы специальная упаковка информации о кривизне поверхности, устойчивая к произвольному ее картированию.

Да, это инструмент, позволяющий бескоординатное описание геометрии.

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

А что, многообразие - это и есть собственно тензор Римана, заданный функциями от координат?

Многообразие - это строгий термин, обобщающий понятия поверхности, "искривлённого 3-мерного пространства", и так далее. Для дилетантов, можно считать, что многообразие - это синоним "искривлённое пространство".

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Я то полагал, что вообще должна стоять задача по имеющейся функции кривизны построить многообразие.

Есть такая задача, но есть не только она.

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Например, построить в декартовых координатах двумерную плоскость по заданной функции ее кривизны.

Нет, задача построить что-то в декартовых координатах объемлющего пространства - обычно не стоит. Это ни зачем не нужно.

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

А теперь я так понимаю, что это же дифференциальная геометрия. Ее интересует только внутренняя геометрия поверхности

Дифференциальная геометрия - обширная наука. Её интересует много что. А вот риманову геометрию (раздел дифференциальной геометрии) - да, интересует только внутренняя геометрия многообразия.

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Двумерная поверхность - это многообразие?

Да, если в каждой её точке окрестность этой точки двумерная без всяких "странностей". Например, если взять сферу, то это будет многообразие. Если взять конус, то у него будет "плохая точка" в вершине, но если её отрезать или как-то сгладить, то можно получить многообразие. Если приклеить к воздушному шарику верёвочку, это не будет многообразие.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Скажем, мы взяли произвольную поверхность (скажем, двумерную) и зафиксировали на ней точку. Скажем, на поверхности есть впадина и мы рассматриваем ее минимум. Тензор кривизны в этой точке будет иметь разные компоненты в разных координатах, которые мы можем на этой поверхности нарисовать, но из этих разных компонент всегда будет следовать одна и та же кривизна в этой точке. Так?

Да. (UPD. Если имеется в виду например скалярная кривизна или какая-то вообще точно определимая характеристика, зависящая только от тензора Римана.)

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Получается, что собственно координаты-то и не нужны.

Ну как сказать. Координаты — это универсальный инструмент, чтобы что-то считать или задать.

sergey zhukov в сообщении #1391802 писал(а):

Тензор - это как бы специальная упаковка информации о кривизне поверхности, устойчивая к произвольному ее картированию.

Лучше и проще сказать, что тензор[ное поле] — это геометрический объект. Это как раз говорит о том, что он не зависит от того, с какого боку мы решили на что-то смотреть. Тензоры можно определить, не прибегая ни к каким координатам, и доказывать многие вещи о них тоже, но комментария к предыдущей цитате это не отменяет.

[Sicker]

Munin в сообщении #1391827 писал(а):

В размерности $n$ у тензора Римана $n^2(n^2-1)/12$ независимых компонент. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor
)

Извиняюсь за мои пять копеек но у меня выходит максимум 18 независимых компонент для 4-мерного тензора кривизны. Как считал - рассмотрим число независимых контуров обхода, в 4-мерии их шесть - $xy,xz,xt,yz,yt,zt$, и умножим их на число независимых векторов, определяющих положение переносимого по контуру вектора, перпендикулярного пути переноса, их три штуки, $6\cdot3=18$, где ошибка?

[Munin]

Sicker в сообщении #1391945 писал(а):

и умножим их на число независимых векторов, определяющих положение переносимого по контуру вектора, перпендикулярного пути переноса

Это почему? Какое это отношение имеет к тензору кривизны? Вопросы риторические, пожалуйста, не отвечайте на них, или занимайтесь своими проблемами в своей отдельной теме. (20 компонент получается, я проверял.)

-- 09.05.2019 13:02:53 --

$$\begin{gathered} R_{0101},R_{0102},R_{0103},R_{0112},R_{0113},R_{0123},R_{0202},R_{0203},R_{0212},R_{0213}, \\ R_{0223},R_{0303},\_,R_{0313},R_{0323},R_{1212},R_{1213},R_{1223},R_{1313},R_{1323},R_{2323}, \\ R_{0312}=-(R_{0123}+R_{0231}) \end{gathered}$$

[sergey zhukov]

Да, я как-то тоже однажды понял, что у одномерного объекта ведь нет кривизны. Похоже, что в одномерном мире ничего, подобного ОТО просто нет? Соответственно, одномерная аналогия для ОТО не то что неполна, она вообще невозможна?

Я понял, что кривизна - это уже какая-то редукция полной информации, вроде произведения главных кривизн поверхности. Имея только это произведение, мы не имеем уже всей информации о многообразии. А имея тензор Римана, из редукции которого, как я понял, и получается кривизна, мы имеем всю информацию о многообразии. Я просто не сразу понял, что кривизна, точнее, искривленное состояние в точке, двух- и более мерного многообразия - это более сложное понятие, чем просто касательная окружность в одномерном случае. Как вы тут правильно заметили, это последнее даже вообще к кривизне отношения не имеет совсем.

По поводу описания без координат: я понял, что, скажем, тензор Римана - это просто дифференциальное уравнение, которое к тому же организовано по принципу "используй предыдущее направление шага, как координаты для следующего шага". Тогда построение объекта становится возможно, исходя только из отношений внутри самого объекта.

Так я все же правильно понимаю, что метрический тензор содержит всю информацию о структуре многообразия? Его постоянно упоминают, как главный тензор в любом разговоре, где речь вообще заходит о тензорах. Или этот тензор - что-то вроде полной информации о каждой точке многообразия без информации о связи между этими точками? Т.е. это не дифференциальное уравнение?

Сегодня услышал, что первая квадратичная форма - это и есть метрический тензор. Так ли это? Зачем тогда два названия?

Я немного познакомился с геометрией Римана и составил для себя такую картину:

1. Плоскую кривую естественно приближать равнозвенной ломаной. Все, что нужно знать при последовательном построении этой кривой – под каким углом к предыдущему направлению сделать следующий шаг. Два равных шага и угол между ними задают три точки, на которых можно построить окружность, поэтому приближение равнозвенной ломаной – это на самом деле приближение сегментами касательного круга. Задав таблицу “номер шага – радиус окружности”, можно построить всю кривую. Плоская кривая в каждой своей точке не содержит никакой другой информации, кроме этого радиуса. Любая другая информация о точке кривой – это на самом деле информация о расположении каких-то произвольных координат относительно этой точки, что не является внутренней информацией о самой кривой;

2. Можно было бы предположить, что криволинейную поверхность можно всюду приблизить касательным шаром, но тогда поверхность в каждой точке описывалась бы только одним числом – радиусом касательного шара – что невозможно. Должно быть два числа. Криволинейной поверхности в каждой точке правильно касается не просто шар, а общая поверхность второго порядка – эллипсоид/гиперболоид, которая имеет два параметра. Форма этой поверхности однозначно задает метрический тензор. Эти фигуры не осесимметричны относительно нормали к точке касания поверхности. Своими малыми и большими осями в каждой точке поверхности они задают на ней сетку взаимно перпендикулярных линий-координат, которые не являются произвольными, а следуют непосредственно из структуры самой поверхности. Вдоль этих линий идут главные направления метрического тензора. Величина главных значений метрического тензора как-то связана с густотой этих линий или их расходимостью, этого я не могу понять;

3. Тензор я всегда представляю в виде жесткого пучка векторов заданной длины, углы между которыми тоже фиксированы. Почти как один вектор, только тут еще сохранение углов добавляется. Матрица тензора – это просто совокупность проекций всех этих векторов на любую систему координат. Эти проекции просто так построчно сверху вниз и записаны. Количество строк в матрице тензора – это число его векторов. Число столбцов – это число векторов в системе координат, на которую он проецируется. В процессе вращения такого пучка внутри любой системы координат все проекции всех векторов тензора меняются, но их взаимное расположение и величина не меняются. Тензор в чистом виде – это когда пучок и координаты совпадают по величине и направлению. Тогда матрица тензора становится единичной;

4. Метрический тензор на искривленной поверхности определяет в каждой точке сжатие/растяжение по главным направлениям наших мысленных плоских построений таким образом, чтобы они давали результат, который мы действительно измерим. Например, если я на эллиптической поверхности построил из одной точки два одинаковых перпендикулярных отрезка (по главным направлениям метрического тензора), то согласно плоскому представлению между их концами я должен получить диагональ квадрата. Метрический тензор показывает, как я должен сжать этот чертеж по вертикали и горизонтали, чтобы диагональ действительно стала равна тому, что я измерю на опыте. Если же я построил отрезки под углом к главным направлениям метрического тензора, то сжатие/растяжение моего чертежа в двух перпендикулярных направлениях тоже будет происходить под этим углом;

5. В дифференциальной геометрии поверхность не мыслится, как полученная из плоскости какой-то деформацией. Такие понятия, как “растяжение”, “сжатие”, “сдвиг” вообще не применяются к поверхности (максимум только к нашим представлениям о том, как это должны быть, если оно плоское). Криволинейная поверхность нигде не растянута и не сжата, это не ее внутренние свойства. Хотя бы потому, что способов получить из плоскости заданную поверхность сжатием/растяжением бесконечно много. Внутри самой поверхности существует только кривизна и больше ничего.

Вот еще такой вопрос: в чем разница между ковариантным и инвариантным? Что такое "общая ковариантность"? И что такое контравариантный? Вообще приставка "ко" часто используется, но я не могу ее понять.

[Munin]

Вы что-то поняли, но вы не поняли, что если вы будете продолжать называть вещи неправильно, то с вами невозможно будет ничего обсудить.

Например, некоторые ваши высказывания, если их перевести на нормальный язык одним способом, будут правильными, а если перевести другим способом, будут неправильными.

В то же время, ясно, что вы неправильно представляете себе, что такое тензор. Вы неправильно представляете себе, что такое кривизна, и как она связана с сеткой координат, и какую роль там играет метрический тензор.

Приставка "ко-" обычно используется для обозначения двойственного объекта. Другой вариант - это пара терминов "ковариантный" и "контравариантный". Термин "общая ковариантность" опять же не связан с этой парой (напрямую). Можете для начала считать, что это три разных вещи.

[Eule_A]

sergey zhukov в сообщении #1392024 писал(а):

в чем разница между ковариантным и инвариантным?

Этот вопрос аккуратно и подробно рассматривается в книге В.Ф. Журавлёва "Основы теоретической механики", параграф 2.

sergey zhukov в сообщении #1392024 писал(а):

И что такое контравариантный?

Термины "ковариантный" и "контравариантный" в такой паре встречаются, например, применительно к тензорам. Можно и в другом месте встретить, но в контексте данной темы это совершенно точно не требуется.