Собственные значения a*aT

[m7onov]

Добрый день.
Есть линейное пространство $\mathcal{L}$, размерности $n$ и оператор, заданный матрицей $A=aa^T$, где $a$ - некоторый известный вектор. Требуется найти собственные значения этой матрицы.
Решал следующим образом:
$aa^Tx=\lambda x$
$a^Taa^Tx=a^T\lambda x$
$(a^Ta)(a^Tx)=\lambda(a^Tx)$
Числа $(a^Tx)$ сокращаем и получаем $\lambda=a^Ta$. Но это только одно собственное значение. Где я потерял остальные?

[Mikhail_K]

m7onov в сообщении #1391211 писал(а):

Где я потерял остальные?

Вот здесь:

m7onov в сообщении #1391211 писал(а):

Числа $(a^Tx)$ сокращаем

И нетрудно понять, какие именно были потеряны.

[Slav-27]

m7onov в сообщении #1391211 писал(а):

оператор, заданный матрицей $A=aa^T$

Обратите внимание, что это оператор ортогонального проектирования на прямую, натянутую на $a$ (и потом ещё растяжение, если $a$ не единичный).

[Евгений Машеров]

Одно и есть. Ненулевое.

[m7onov]

Mikhail_K в сообщении #1391214 писал(а):

m7onov в сообщении #1391211 писал(а):

Где я потерял остальные?

Вот здесь:

m7onov в сообщении #1391211 писал(а):

Числа $(a^Tx)$ сокращаем

И нетрудно понять, какие именно были потеряны.

если сделать так:
$(a^T a-\lambda) (a^T x) = 0$ и помимо очевидного $\lambda = a^T a$ рассмотреть вектора x, ортогональные $a$, то как из этого понять, вернее, вывести формально, $\lambda$?

[Mikhail_K]

m7onov в сообщении #1391284 писал(а):

рассмотреть вектора x, ортогональные $a$

Скажите, все ли такие вектора являются собственными? Если да, то какому собственному значению они отвечают и какова размерность образуемого ими собственного подпространства?

[TOTAL]

m7onov в сообщении #1391284 писал(а):

если сделать так:
$(a^T a-\lambda) (a^T x) = 0$ и помимо очевидного $\lambda = a^T a$ рассмотреть вектора x, ортогональные $a$, то как из этого понять, вернее, вывести формально, $\lambda$?

Из этого никак не понять, вернее, никак не вывести формально .

[m7onov]

TOTAL в сообщении #1391287 писал(а):

m7onov в сообщении #1391284 писал(а):

если сделать так:
$(a^T a-\lambda) (a^T x) = 0$ и помимо очевидного $\lambda = a^T a$ рассмотреть вектора x, ортогональные $a$, то как из этого понять, вернее, вывести формально, $\lambda$?

Из этого никак не понять, вернее, никак не вывести формально .

Вот интересно, почему?

[Mikhail_K]

m7onov в сообщении #1391288 писал(а):

Вот интересно, почему?

Ну, например первый же сделанный Вами шаг - умножение равенства на $a^T$ слева - это переход к следствию ($\Rightarrow$), а не переход к эквивалентному (равносильному) утверждению ($\Leftrightarrow$).

Потому что существуют такие векторы $x$ и $y$, для которых $x=y$ неверно (т.е. $x\neq y$), но при этом $a^Tx=a^Ty$ верно. Например, возьмите $x=0$, $y$ - любой ненулевой вектор, ортогональный $a$.

Так что, то что Вы получаете в конце логической цепочки - это следствие исходного утверждения, но не обязательно эквивалентное ему. Любые $\lambda$ и $x$, удовлетворяющие исходному уравнению $aa^Tx=\lambda x$, будут удовлетворять и конечному $(a^Ta-\lambda)(a^Tx)=0$. Но также конечному равенству могут удовлетворять и иные $\lambda$ и $x$, первоначальному равенству не удовлетворяющие.

[TOTAL]

m7onov в сообщении #1391288 писал(а):

Вот интересно, почему?

Потому что из $(a^T a-\lambda) \cdot 0 = 0$ найдете тучу всяких $\lambda$, из которых не все собственные.

[m7onov]

Спасибо

[Евгений Машеров]

Modest: вернул

"Формально" тут просто.
$Ax=aa^Tx$ и если взять любой вектор $x$, ортогональный $a$, $a^Tx=0$
то $Ax=0=0x$. То есть любой ортогональный a вектор является собственным с собственным значением 0. Получается подпространство собственных векторов размерности $n-1$
А "пропадание" оттого, что для таких векторов "сокращение" это убирание сомножителя, равного нулю, из обеих частей равенства. Это ещё ничего, что "пропало", некоторые так доказывают, что $2\cdot 2=5$ и тому подобное...

[Modest]

Сообщение Евгений Машеров с решением временно удалено. Верну, когда ТС приведёт достаточное количество содержательных попыток.

[Евгений Машеров]

Приношу свои извинения. Поскольку всё необходимое для решения уже было сказано, решил, что просто сведу воедино. Видимо, ошибся.

[pogulyat_vyshel]

m7onov в сообщении #1391211 писал(а):

Добрый день.
Есть линейное пространство $\mathcal{L}$, размерности $n$ и оператор, заданный матрицей $A=aa^T$, где $a$ - некоторый известный вектор. Требуется найти собственные значения этой матрицы.

Задача поставлена некорректно. Если $a$ это вектор то $aa^T$ это матрица не оператора, а дважды контравариантного тензора $a\otimes a$. Собственные числа такой матрицы зависят от выбора системы координат и не имеют инвариантного смысла, в отличие от собственных чисел оператора. Вменяемая версия данной задачи могла бы звучать так: задан ковектор $a=(a_i)$ и вектор $b=(b^i)\ne 0$. Найти собственные числа оператора $a\otimes b=(a_ib^j)$. Решение очевидно: переходим в систему координат, в которой $b=(1,0,\ldots,0)^T$