Если

это вектор то

это матрица не оператора, а дважды контравариантного тензора

.
Если

— вектор (и надо признать, ровно это написано у ТС там наверху), то

вообще бессмысленно, но если это столбец координат вектора

в ортонормированном базисе, то

уже закономерно является матрицей и оператора

. Конечно, задача об операторе

красивее в своей простоте, но не надо забывать, какие у людей бывают курсы линала (короткие и несистемные).