2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Собственные значения a*aT
Сообщение05.05.2019, 20:15 
Аватара пользователя
Добрый день.
Есть линейное пространство $\mathcal{L}$, размерности $n$ и оператор, заданный матрицей $A=aa^T$, где $a$ - некоторый известный вектор. Требуется найти собственные значения этой матрицы.
Решал следующим образом:
$aa^Tx=\lambda x$
$a^Taa^Tx=a^T\lambda x$
$(a^Ta)(a^Tx)=\lambda(a^Tx)$
Числа $(a^Tx)$ сокращаем и получаем $\lambda=a^Ta$. Но это только одно собственное значение. Где я потерял остальные?

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение05.05.2019, 20:23 
Аватара пользователя
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Где я потерял остальные?
Вот здесь:
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Числа $(a^Tx)$ сокращаем
И нетрудно понять, какие именно были потеряны.

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение05.05.2019, 20:36 
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
оператор, заданный матрицей $A=aa^T$
Обратите внимание, что это оператор ортогонального проектирования на прямую, натянутую на $a$ (и потом ещё растяжение, если $a$ не единичный).

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 05:54 
Аватара пользователя
Одно и есть. Ненулевое.

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 09:42 
Аватара пользователя
Mikhail_K в сообщении #1391214 писал(а):
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Где я потерял остальные?
Вот здесь:
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Числа $(a^Tx)$ сокращаем
И нетрудно понять, какие именно были потеряны.


если сделать так:
$(a^T a-\lambda) (a^T x) = 0$ и помимо очевидного $\lambda = a^T a$ рассмотреть вектора x, ортогональные $a$, то как из этого понять, вернее, вывести формально, $\lambda$?

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 09:54 
Аватара пользователя
m7onov в сообщении #1391284 писал(а):
рассмотреть вектора x, ортогональные $a$
Скажите, все ли такие вектора являются собственными? Если да, то какому собственному значению они отвечают и какова размерность образуемого ими собственного подпространства?

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:06 
Аватара пользователя
m7onov в сообщении #1391284 писал(а):
если сделать так:
$(a^T a-\lambda) (a^T x) = 0$ и помимо очевидного $\lambda = a^T a$ рассмотреть вектора x, ортогональные $a$, то как из этого понять, вернее, вывести формально, $\lambda$?

Из этого никак не понять, вернее, никак не вывести формально .

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:12 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #1391287 писал(а):
m7onov в сообщении #1391284 писал(а):
если сделать так:
$(a^T a-\lambda) (a^T x) = 0$ и помимо очевидного $\lambda = a^T a$ рассмотреть вектора x, ортогональные $a$, то как из этого понять, вернее, вывести формально, $\lambda$?

Из этого никак не понять, вернее, никак не вывести формально .

Вот интересно, почему?

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:25 
Аватара пользователя
m7onov в сообщении #1391288 писал(а):
Вот интересно, почему?
Ну, например первый же сделанный Вами шаг - умножение равенства на $a^T$ слева - это переход к следствию ($\Rightarrow$), а не переход к эквивалентному (равносильному) утверждению ($\Leftrightarrow$).

Потому что существуют такие векторы $x$ и $y$, для которых $x=y$ неверно (т.е. $x\neq y$), но при этом $a^Tx=a^Ty$ верно. Например, возьмите $x=0$, $y$ - любой ненулевой вектор, ортогональный $a$.

Так что, то что Вы получаете в конце логической цепочки - это следствие исходного утверждения, но не обязательно эквивалентное ему. Любые $\lambda$ и $x$, удовлетворяющие исходному уравнению $aa^Tx=\lambda x$, будут удовлетворять и конечному $(a^Ta-\lambda)(a^Tx)=0$. Но также конечному равенству могут удовлетворять и иные $\lambda$ и $x$, первоначальному равенству не удовлетворяющие.

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:49 
Аватара пользователя
m7onov в сообщении #1391288 писал(а):
Вот интересно, почему?

Потому что из $(a^T a-\lambda) \cdot 0 = 0$ найдете тучу всяких $\lambda$, из которых не все собственные.

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:58 
Аватара пользователя
Спасибо

 
 
 
 Из "Собственные значения a*aT".
Сообщение06.05.2019, 11:16 
Аватара пользователя
 i  Modest: вернул


"Формально" тут просто.
$Ax=aa^Tx$ и если взять любой вектор $x$, ортогональный $a$, $a^Tx=0$
то $Ax=0=0x$. То есть любой ортогональный a вектор является собственным с собственным значением 0. Получается подпространство собственных векторов размерности $n-1$
А "пропадание" оттого, что для таких векторов "сокращение" это убирание сомножителя, равного нулю, из обеих частей равенства. Это ещё ничего, что "пропало", некоторые так доказывают, что $2\cdot 2=5$ и тому подобное...

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 23:33 
Сообщение Евгений Машеров с решением временно удалено. Верну, когда ТС приведёт достаточное количество содержательных попыток.

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение07.05.2019, 17:05 
Аватара пользователя
Приношу свои извинения. Поскольку всё необходимое для решения уже было сказано, решил, что просто сведу воедино. Видимо, ошибся.

 
 
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение07.05.2019, 17:46 
Аватара пользователя
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Добрый день.
Есть линейное пространство $\mathcal{L}$, размерности $n$ и оператор, заданный матрицей $A=aa^T$, где $a$ - некоторый известный вектор. Требуется найти собственные значения этой матрицы.

Задача поставлена некорректно. Если $a$ это вектор то $aa^T$ это матрица не оператора, а дважды контравариантного тензора $a\otimes a$. Собственные числа такой матрицы зависят от выбора системы координат и не имеют инвариантного смысла, в отличие от собственных чисел оператора. Вменяемая версия данной задачи могла бы звучать так: задан ковектор $a=(a_i)$ и вектор $b=(b^i)\ne 0$. Найти собственные числа оператора $a\otimes b=(a_ib^j)$. Решение очевидно: переходим в систему координат, в которой $b=(1,0,\ldots,0)^T$

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group