2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Собственные значения a*aT
Сообщение05.05.2019, 20:15 
Аватара пользователя


04/03/19
15
Добрый день.
Есть линейное пространство $\mathcal{L}$, размерности $n$ и оператор, заданный матрицей $A=aa^T$, где $a$ - некоторый известный вектор. Требуется найти собственные значения этой матрицы.
Решал следующим образом:
$aa^Tx=\lambda x$
$a^Taa^Tx=a^T\lambda x$
$(a^Ta)(a^Tx)=\lambda(a^Tx)$
Числа $(a^Tx)$ сокращаем и получаем $\lambda=a^Ta$. Но это только одно собственное значение. Где я потерял остальные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение05.05.2019, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Где я потерял остальные?
Вот здесь:
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Числа $(a^Tx)$ сокращаем
И нетрудно понять, какие именно были потеряны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение05.05.2019, 20:36 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
оператор, заданный матрицей $A=aa^T$
Обратите внимание, что это оператор ортогонального проектирования на прямую, натянутую на $a$ (и потом ещё растяжение, если $a$ не единичный).

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 05:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Одно и есть. Ненулевое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 09:42 
Аватара пользователя


04/03/19
15
Mikhail_K в сообщении #1391214 писал(а):
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Где я потерял остальные?
Вот здесь:
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Числа $(a^Tx)$ сокращаем
И нетрудно понять, какие именно были потеряны.


если сделать так:
$(a^T a-\lambda) (a^T x) = 0$ и помимо очевидного $\lambda = a^T a$ рассмотреть вектора x, ортогональные $a$, то как из этого понять, вернее, вывести формально, $\lambda$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 09:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
m7onov в сообщении #1391284 писал(а):
рассмотреть вектора x, ортогональные $a$
Скажите, все ли такие вектора являются собственными? Если да, то какому собственному значению они отвечают и какова размерность образуемого ими собственного подпространства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
m7onov в сообщении #1391284 писал(а):
если сделать так:
$(a^T a-\lambda) (a^T x) = 0$ и помимо очевидного $\lambda = a^T a$ рассмотреть вектора x, ортогональные $a$, то как из этого понять, вернее, вывести формально, $\lambda$?

Из этого никак не понять, вернее, никак не вывести формально .

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:12 
Аватара пользователя


04/03/19
15
TOTAL в сообщении #1391287 писал(а):
m7onov в сообщении #1391284 писал(а):
если сделать так:
$(a^T a-\lambda) (a^T x) = 0$ и помимо очевидного $\lambda = a^T a$ рассмотреть вектора x, ортогональные $a$, то как из этого понять, вернее, вывести формально, $\lambda$?

Из этого никак не понять, вернее, никак не вывести формально .

Вот интересно, почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
m7onov в сообщении #1391288 писал(а):
Вот интересно, почему?
Ну, например первый же сделанный Вами шаг - умножение равенства на $a^T$ слева - это переход к следствию ($\Rightarrow$), а не переход к эквивалентному (равносильному) утверждению ($\Leftrightarrow$).

Потому что существуют такие векторы $x$ и $y$, для которых $x=y$ неверно (т.е. $x\neq y$), но при этом $a^Tx=a^Ty$ верно. Например, возьмите $x=0$, $y$ - любой ненулевой вектор, ортогональный $a$.

Так что, то что Вы получаете в конце логической цепочки - это следствие исходного утверждения, но не обязательно эквивалентное ему. Любые $\lambda$ и $x$, удовлетворяющие исходному уравнению $aa^Tx=\lambda x$, будут удовлетворять и конечному $(a^Ta-\lambda)(a^Tx)=0$. Но также конечному равенству могут удовлетворять и иные $\lambda$ и $x$, первоначальному равенству не удовлетворяющие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
m7onov в сообщении #1391288 писал(а):
Вот интересно, почему?

Потому что из $(a^T a-\lambda) \cdot 0 = 0$ найдете тучу всяких $\lambda$, из которых не все собственные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 10:58 
Аватара пользователя


04/03/19
15
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Из "Собственные значения a*aT".
Сообщение06.05.2019, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
 i  Modest: вернул


"Формально" тут просто.
$Ax=aa^Tx$ и если взять любой вектор $x$, ортогональный $a$, $a^Tx=0$
то $Ax=0=0x$. То есть любой ортогональный a вектор является собственным с собственным значением 0. Получается подпространство собственных векторов размерности $n-1$
А "пропадание" оттого, что для таких векторов "сокращение" это убирание сомножителя, равного нулю, из обеих частей равенства. Это ещё ничего, что "пропало", некоторые так доказывают, что $2\cdot 2=5$ и тому подобное...

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение06.05.2019, 23:33 
Модератор


13/07/17
166
Сообщение Евгений Машеров с решением временно удалено. Верну, когда ТС приведёт достаточное количество содержательных попыток.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение07.05.2019, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Приношу свои извинения. Поскольку всё необходимое для решения уже было сказано, решил, что просто сведу воедино. Видимо, ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения a*aT
Сообщение07.05.2019, 17:46 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
m7onov в сообщении #1391211 писал(а):
Добрый день.
Есть линейное пространство $\mathcal{L}$, размерности $n$ и оператор, заданный матрицей $A=aa^T$, где $a$ - некоторый известный вектор. Требуется найти собственные значения этой матрицы.

Задача поставлена некорректно. Если $a$ это вектор то $aa^T$ это матрица не оператора, а дважды контравариантного тензора $a\otimes a$. Собственные числа такой матрицы зависят от выбора системы координат и не имеют инвариантного смысла, в отличие от собственных чисел оператора. Вменяемая версия данной задачи могла бы звучать так: задан ковектор $a=(a_i)$ и вектор $b=(b^i)\ne 0$. Найти собственные числа оператора $a\otimes b=(a_ib^j)$. Решение очевидно: переходим в систему координат, в которой $b=(1,0,\ldots,0)^T$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group